Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Далее рассмотрим различные случаи представления всех решений. а а Если а = 4Ь, то общим решением будет у = (Сг+Сгх)е г . Если же а ~ 4Ь, то общее решение принимает вид У = Ссегс*+Сге (2) Из (1) следует, что каким бы нн было число а (действительным или комплексным), все решения у ограниченными быль не могут. Действительно, если Кеа > О, то функция у не ограничена прн х < 0; если Кеа < О, то функция у не ограничена при х > 0; если Кеа = О, то неограниченносгь функции у щкже очевидна. Теперь рассмотрим решения, представленные формулой (2).
Пусть КеЛ, < 0 или Ке Л, < О. Тогда решения (2) не все ограничены при х < О. Пусть Ке Л, > 0 или Ке Л, > О. Тогда не все решения (2) ограничены при х ) О. Наконец, если КеЛ, = Ке Лг = О, т.е. если Лс — — »7,, Л, = г?г ( Ус и Уг), то все решения при всех х Е (-сю, +со) будут ограничены. Действительно, в этом случае все решения предсгавляются в ниде произвольной линейной комбинации ограниченных ФУНКЦИЙ Згп7га, СОК Гса, Згп?га, СОЯ'Угх. Итак, для ограниченности всех решений имеем условия: а l а' а Га' --+1,( — -Ь=;7„---)?---Ь= 7, (7,?ь?г)» 2)с4'2?4 откуда находим а = — г(7» Ч-7г)» Ь = -7г7н где гг н уг — любые отличные друг от друга действительные числа.
В частности, если а— действительный параметр, т. е. 7, = — г,, то все решения будут ограничены при ь > 0 (а = 0). в 337. При каких а и Ь все решения уравнения у" + ау'+ Ьу = О стремяшя к нулю при х -»+со? м Восгюльзуемся представлениями (!) и (2) всех решений из предылущего примера. В случае (1) асе решения стремятся к нулю при х — +со, если Ке а ) О. В случае (2) все решения стремятся к нулю при х — +со, если КеЛг < 0 и Ке Л, < 0 одновременно. В частности, если а и Ь вЂ” действительные параметры, то в случае (1) все решения стремятся аг к нулю при х -» +сю, когда а ) О (Ь = -4- > 0). Эти же условия (а > О, Ь > 0) пригодны и в случае (2). Действительно, если Ь < О, то адин нз корней Л, илн Лг независимо от а будет положительным, т.е. егм или еям — Ч-оо при х — +оо.
Если Ь = О, то уравнение имеет решение у = С?ь О, которое нс стремится к нулю. Таким образом, необходимо, чтобы Ь было положительным. Пусть Ь > 0 и а < О. Тогда действительная часть одного из корней (Л, или Л,) обязательно будет неотрицательной, следовательно, ец* или е"'* не будет стремиться к нулю при аг х — +со. Остается рассмотреть случай, когда а > 0 и Ь > 0 одновременно. Если 0 < Ь < -4-, то оба корня Лг и Л, отрицательны, поэтому у -+ 0 при х — +со. Если Ь > -4-, то корни Лг, Л, комплексно сопряженные и имеют отрицательную действительную часш, поэтому у — 0 при х — » +ос.
Э» 338. Прн каких действительных а и Ь кахшое решение уравнения ух+ ау'+Ьу = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? м Исходим из представления решений (1) и (2) уравнения из примера 336. Ясно, что формула (1) не определяет колеблющихся решений, которые при некотором а обращались бы в нуль на бесконечном множестве точек х. рассмотрим решения (2). Если Л, и Лг — действительные корни, то, как известно, сумма двух экспоненцнальных срункций может обратиться в нуль только в конечном числе точек х. Пусть !48 Гл.
2. Диффереииивльнме уравиеива высших порядков Л, = — ч + 1~/Ь вЂ” ад-, Л2 = — ~ф — 2)/Ь вЂ” ад-, т.е, 4Ь > ат. Тогда 2 2 22 ( 2 р= С, соз)(Ь вЂ” ~~-х+ Сзйп)~Ь вЂ” -~- х( е 2* = Асов !1)~Ь вЂ” -4- х — (а е 2*. Как видим, все решения (при произвольных значениях А и х) в атом с22У2ас обращаются в нуль на бесконечном множестве точек (хь), где ~+Ья+ф хь —— (/с Е а.). м а2 ~(ь-- !пп (у(х)е') = О. Если а = 4Ь, то согласно (1) имеем Ош ((С2+С,, )ен' ") =К Ясно, что это соотношение может выполняться лля произвольных С2 и С2 только прн условии Ке (! — Та) < О, или реп > 2. В случае, когда Л, ~ Л,, условие (1) принимает вид: (С 2л,.~-п* ! С 222+12 ) О которое лля произвольных С, и С, зквивалентно соотношениям 1пп е'~си!* = О и !1гп е'2'"и* = О. (2) а ах Отсюда следует, что последнее возможно лишь в случае, когда одновременно выполняются неравенства Ке(Л! + 1) < О и Ке(Л2+ 1) < О.
Если а н Ь вЂ” действителыеые параметры, то последние неравенства можно записать более конкретно. а2 Пусть Ь < -4-. Тогда Л, н Л2 — действительные корни и если Л, < О, то и Л, < О. Следовательно, имеем два условия: а а (аз Ь< —, --+!+)~ — — Ь<О, 4' 2 2(4 (3) при которых выполняются соотношения (2). Решив совместно неравенства (3), получаем следующее условие выполнения соотношения (1): а а>2, а-1<Ь< —.
4 Пусть Ь > -4-. Тогда Л, 2' = -ч х 2)2Ь вЂ” -4- и соотношении (2) будут выполнены, если — у + 1 < О, или а > 2. Таким образом, если а и Ь действительные параметры, то указанное в условии задачи соотношение выполняется при а > 2 и Ь > а — 1, т. е. при 2 < а < Ь+ 1. м 340. Для заданного Ь > О подобрать такое а, при котором решение уравнения на+ар'+Ьр = 0 с начальными условиями р(0) = 1, у'(0) = О возможно быстрее стремится к нулю при х — +сю. а2 а Рассмотрим три случая. Пусть Ь = -4-.
Тогда решение задачи имеет вид: р,=(1+ — )е 2 339. При каких а и Ь все решения уравнения уа+ау'+ Ьу = О удовлетворяют соотношению у = о(е ") при х +со? м Мы должны найти такие значения параметроа а и Ь, чтобы при всех значениях С, и С, (произвольных постоянных в решениях (1) иля (2) уравнения из примера 336) выполнялось условие: 0 3. Линейные диффереащиальные урааиещщ с пастааииыми ааэфг(апгиентами 149 Ясно, что а должно быть положительным, иначе уг не будет стремиться к нулю при х +со. Следовательно, а = 2чгЬ. Далее, пусть а > 2г/Ь. Тогда задача имеет решение аг ы=)г — — Ь.
-1/4 уг = (-Лге"*+ Лге *) — е (2) Наконец, если О < а < 2ъгЬ, то / а а' Уг —— (Х вЂ” э!пыгх+соэыгх) е г, ы, = г((Ь вЂ” —. 'х2ыг \( 4 (3) Осгается сравнить решения (1), (2), (3) при досгаточно больших х > О. Пусть х — ь +со. Тогда для решений (!), (2), (3) соответственно имеем аснмптотические формулы Уг =0(хе * ), У, =0(еы гь*), Уг — — 0(е г ), (4) Так как !но ., = Вш хе *( гг =О нри а<2ьгЬ, то хе '~-ь О быстрее, чем е г . Далее, всилутого, что -*,Гь 1!ш -, = !ап хе *(~~~" г) = 0 при а > 2гГЬ, ( ь), е Рьье. гб то хе *~ -ь 0 также быстрее, чем е( г)*.
Таким образом, из (4) следует, что решение (1), пояученное при а = 2ьгЬ, стремится к нулю при х -ь +оо быстрее ссыльных решений. М 341. Найти периодическое решение уравнения у+х+4х = е' ' и на комплексной плоскости С начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении ьи от Ода+со. и Заметим, что обозначения х, х используются в механике и имеют смысл первой и второй производной по времени. Поскольку характеристическое уравнение Л +Л+4 = О имеет корни Л, г = — 2хг-2-, то срез дн решений однородного уравнения нет периодического решения, отличного от тождественного нуля. Далее, так как гьь и' — х г, то частное решение ищем в виде х = Ае~'.
Имеем: ьа и=в 4+ йи — мг 1 А= — — —, 4+ йи — ыг' Отделяя действительную и мнимую части, лля множителя А получаем выражение А= А~+!Аз, 4 — гиг г,=,г,= — .~ц= .ь« (4 — и ) 4 и (4-и ) +ьь (4 мг)гп г ' Исследуя обычным способом функции Аг, А, и !А~ на экстремум, находим: Аг —— Т при 1 гиг = гГ2 и А, ь — — — ч при ыг = гг'6; Агы„щ -0,5 при ыз = !! — к — щ 1,94; (А(„щ 0,51 при ы = г/Зь5.
Вычисляя еще Аг(ыг) щ -0,23, Аг(гиг) щ -0,22, А,(ьиг) - 0,1, 1!щ А, = Т, йп А, = О, +О и +ьь 1пп Аг = О, Пщ Аг — — О, полУчаем необходимые данные дла постРоениЯ эскиза гРафика кРивой и +ь и + на пльюкостн С (рис, 26), м. 150 Гл. 2. Длв(гферевциальиме уравнения амешмк иарилиов 342. дано уравнение ун+ау'+Ьу = у(х), причем (у(х)) < гп ( — со < х < оо), а корни харак- теристического уравнения удовлетворяют неравенству Лл < Л, < О. Найти решение, ограниченное при -оо < х < +со. Показать, что: а) все остальные решения при х — +оо неограниченно приближаются к этому решению; б) если У периодическая функция, то решение также периодическое.
«Исходя из общего решения однородного уравнения у = С, е '* + Сле '* и применяя метод вариации произвольных постоянных С, и Сл, для общего решения неоднород- ного уравнения получим выражение ел'* л,* у = С1е '*+ Слеп*+ — 3 (х)е '* да — — у(х)е л* ах. (1) л — л л,— л Так как несобственные интегралы / ((в)е ' дз, / Г'(з)е ' дз Х -и сходятсл абсолютно в силу оценки / ~У(з)е ""~ дз < пл / е "" дз, то решение (1) можно записать более компактно: л лг лн о Далее, поскольку справедливо неравенство Г елп еллл ~ +г л|л елл гп гл .«.-/" Л~ — Лл Л| — Лл ЛлЛл Ь о о то пз (2) следует, что частное решение данного уравнения, ограниченное при х Е (-сс, +оо), имеет вид л,л л,л у = / У(х — 1) — дт. (3) Л,— Л о Ясно, что С,ели + С,ем* -л О при х — +оо, позтому из (2) вытекает, что все решения стремятся к частному решению (3) при х — +оо, наконец, полагая в (3) х+ т вместо х, где т — период функции Г", получаем чы е' — е лл ллл г е — е ллл у(х+т)= ~у(Х+т-1) Ф= / У(х — 1) Ж = у(а).
Л,— Л, Л,— Лл 0 О Следовательно, функция у также т-периодическая. м % 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами 4.1. Лввейвое дифференциальное уравнение тз-го порядка с верввеивыии иозффвцнеитвмв. Линейно звиисимые Щувицив. Определитель Вроиеипго. Пинейным ди44мренанальным ураннением и -го нарядна с перемен нымн коз44иннентамн называется уравнение вида ат(х)у'ю+ ал(х)ум "+ .. + а„,(х)у'+ а„(х)у = 4(х), б4.
Лииейяые лиффереишщльиые ууаввешш с перемеииымв казффицвевтамв 151 где Эи, а; (1 = 6, и) — известные функции. Если у,(х) — частное решение уравнения (1) при р и О, то посредспюм замены у = вгз(х), «'(х) = и(х) порядок уравнения (1) при з» н О можно понизить. Функции у; (1 = 1, и) нпываотся линейно эасасимыми на сепаенте [а, Ь], если существуют такие постоянные сп (1 = 1, и), одновременно не равные нулю, что на [а, ь] выполняется тождество а,у(+а)У)+ ...
+ а»У» Ы О. (2) Если тождество (2) справедливо лишь при а, = аз = ... = аи = О, то укаэанные Функции называются лилейла лезависимими на сегменте [а, Ь]. Определитель У( Уз У У) Уз Ув (3) )г(х) = )У(ун Уз~ " 1У») = М-1) ( -О (»-1) У) Уз " У» называется алределителем Врсяскага. 4.2. Критерий ляиейцой везависвмости функций.
если (и — 1) раэ ш(фференцирусмыс Функции У1, уз, ..., У» линейно зависимы на сегменте (а, Ь], то Щх) ш О на [а, Ь]. Если линейно независимые функции у„у„..., у» являются решениями линейного спнорспного уравнения У +Р)(х)у + ''' +1»(х)у (4) где Р; (3 = 1, и) непрерывные на сегменте [а, ь] функции, то )и'(х) та О на [а, ь]. л Общее решение уравнения (4) при х Е [а, Ы есть линейная комбинация у = г., "С;у;(х) ли(=1 пейна независимых частных решений у; этого уравнения. 4.3. Фуидамевтальвяя система решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
