Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 36
Текст из файла (страница 36)
А тогда из (1) следует, что а, + а,х': — 0 (х Ы 0), что при а, + а, ~ 0 невозможна. Таким образом, функции у,, уг, уг линейно независимые на интервале г г ( — 1, 1). С другой стороны, известно, что линейное однородное дифференциальное уравнение и-го порошка с непрерывными на интервале (о, Ь) коэффициентами (Ро(х) = 1) имеет только и ли- нейно независимых частных решений на (а, Ь). В данном случае имеем 5, 5 у" — — у'+ — у = О. х хг Видим, что коэффициенты Р,(х) = — —, Рг(х) = — г разрывны в точке хо — — 0 н х, б ( — 1, 1).
5 5 Следовательно, нет уверенности, что число линейно независимых частных решений совпадет с порядком уравнения. Этот пример показывает, что требование непрерывности коэффициентов уравнения (4), п.4.2, которое обеспечивает равенство числа независимых частных его решений порядку уравнения, не является излишним. М 354. Доказать, что лва решения уравнения у" + р(х)у' + д(х)у = О (р, д — непрерывные на интервале (а, Ь) функции), имеющие максимум при одном и том же значении хо б (о, Ь), линейно зависимые на (а, Ь).
М ВыбеРем числа аг и аг так, чтобы в точке хо, где РешениЯ У,(х) и Ж(х) имеют макси- мальное значение, выполнялось равенство агро(хо) + агуг(хо) = О- 156 Гл. 2. Дло(зферевцвальвые ураввеввв высших порядков Поскольку частные решения принимают максимальные значения в точке хо, то азу~о(хо) 4 агуг(хо) = О. Из (!) и (2) следует, по решение (2) у(х) = а,у,(х) + агуг(х) (3) удовлетворяет начальным условиям у(хо) = у'(хо) = О. Так как функции р и д непрерывные, то задача Коши у = -р(х)у — з)(х)у; у(хо) = у (хо) = О имеет единственное решение.
Очевидно, что этим решением является у = 0 на (а, (з). В силу этого,из (3) следует, что а!Уз(х) + агУг(х) = 0 на (о, Ь), т.е. частные решения уз и уг в связи с равенством (!), где а, + а, х О, оказались линейно г зависимыми на интервале (а, Ь), Ш 355. Даны 4 решения уравнения уо'+ ху = О, графики которых касаются друг друга в одной точке.
Сколько срели этих решений имеется линейно независимых? < В силу условия, лля частных решений у„уг, уз, уо в точке х, выполняются условия: Уз(хо) = Уг(хо) = Уз(хо) = Уо(хо)1 Уз(хо) = Уг(хо) = Уз(хо) = Уо(хо) (1) Тогда для функций из = Уз Угз иг = Уг — Уз из = Уз У4 являющихся решениями данного уравнения, выполняются начальные условия ! и,(хо) = иг(хо) = из(хо) = и,(хо) = иг(хо) = из(хо) = О. Для произвольных чисел а, и а, можно выбрать число а, так, чтобы о г азиз(хо)+ азиз(хо)+ азиз(хо) = О, а, +аз+аз Ф О.
В силу существования единственного решения задачи Коши уо' = — ху, у(хо) = у'(хо) = уо(хо) = О, где у(х) = азиз(х) 4 агиг(х) -~ а,из(х), имеем тождество: а,из(х)+азиз(х)+ азиз(*) = О,:об Х, хо б Х, где Х вЂ” некоторый интервал. Определив аз из (3) и подставив в (4), получим (2) (3) (4) аз(из — А из) Ч- гзг(иг — Зугиз) — ш О, (5) оз где )уз = — о~о', зуг = -+'- о (из(хо) Ф 0). Так как числа аз и аг произвольные, то из (5) следует, из(хо) ' из(хо) что из(х) — зузиз(х) ш О, иг(х) — Яиз(х) = О, х б Х, откуда уз = уз + (!уз + зуг)(уз у4) уг = уз + ))г(уз — уо). Следовательно, по меньшей мере два решения линейно зависят от двух остальных, которые могут быть линейно независимыми.
Если же уо — — уу, ( у = сопз1), то тогда имеется три линейно зависимых решения (у„уг, У4 выражаются линейно через функцию уз). Предосташшем читателю разобрать случай, когда и",(х,) = и,"(хо) = = из(хо) = О > 356. Могут ли графики двух решений уравнения у +Р(х)у + ... +Р„(х)у -0 с непрерывными коэффициентами на плоскости хОУ: а) пересекаться; б) касаться друг друга? < Пусть ун уг — два различных решения данного уравнения. Тогда и функция у = у, — уг также есть решение этого уравнения, причем в случае а) у(хо) = О, а в случае б) у(хо) = у'(хо) = О, где хо — абсцисса точки пересечения (касания) графиков решений уз и уг.
Если и = 1, то, в силу единственности решения задачи Коши, в случае а) имеется только тривиальное решение у(х) = у,(х) — уг(х) ш О. Следовательно, двух различных решений нет. Зтот вывод справедлив и в случае 6). 9 4. Лииейиме дифференциальные ураввевиа е иеремеввыми коэффициентами !57 Пуси и = 2. Тогда в случае а) имеем задачу ь ~ ~! уь + Р, (х) у' + Рг (х)у = О; у(хе) = О, в которой у'(хв) произвольное, поскольку не задано.
Следовательно, графики двух решений задачи (1) могут пересекаться при х = х,. Анююгичная ситуация и при и > 2. В случае б) получается задача Коши (и = 2); и ~ ~ ~ ! ! уи+ Рйх)у'+ Рг(х)у = О; (2) у(х„) = у'(хз) = О, имеющая, вследствие непрерывности коэффициентов, единственное решение, проходящее через точку (ха у(хе)). Если же и > 2, то задача Коши уп'+Р,(х)у'" и+ ... + Р„(х)у = О, ! ~ и ~ ~ ! ~ ~ ~ и ~ ~ ~ ~ г ~ | м щ ) у(хе) = у'(хс) = О становится неопределенной, так как не заданы значения у"(ха), у'и(ха), ..., ум п(хе).
Следовательно, в этом случае через точку (хм у(хе)) проходит две (и более) кривых, касающихся друг друга в этой точке. М Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения. 357. у, = 1, уг = с)их. м Очевилно, функции у, и уг линейно независимые, поэтому согласно (5), п.4.3, имеем ! 1 сох х у Π— з)па у' = О, Π— созх у или у" з)пх — у~соха = О.
В 358. у) — — е*, уг —— айх, уг — — ейх. М Функции уг и уг являются линейными комбинациями функций е* и е *. Следовательно, фактически имеется лишь два линейно независимых решения: е* и е *. Их простейшее дифференциальное уравнение имеет вид у" — у = О. ~ Решить уравнения. 359.
(1+ х )у" — 2ху'+ 2у = О, у) (х) = х. м Согласно п.4.1, с помощью замен у = хх(х), х' = и понижаем порядок данного уравнения: х(1+ х )и'+ 2и = О. Общее решение его имеет вид и = С, ( ! + — т) . Интегрируя уравнение з' = С, ( 1+ -т(, окон/ !) чательно находим х = С,х — — ~- + С,, или г у = Сх +Сгх — Сп > 360.
ау и — у" — ху'-)- у = — 2хг, у,(х) = е*, уг(х) = х. м Полагая у = хз(х), з' = и(х), соответствующее однородное уравнение приведем к виау х и +2хи' — (2+х )и = О. ПосколькучастиомУ Решению У, соответствУетчастное Решение х,, то з, = Ухт = е . Но х', = и), поэтому и)(х) = (е ! = е*) з- — — )т1) есть частное Решение последнего УРавнениЯ. Согласно 158 Гл. 2. Двфферевцввчьаые ураввеивв высших порядков п.4.1, производим замену и = е* ~- — -т) И'(х), И"(х) = ы(х). Тогда получим уравнение , I! — ~,х х /1 ( — 1 '+2 (- — !+х) =О, общее решение которого г -ы !.)=С, е (х — !)з Решая затем уравнение 2 И'(х) = С, е (х — 1)з находим; 2 И'(х) = С, / (1+ — ) е ~ ах+ Сз = х — ! =С~ ! е йх+2! — ох — ! е *г(~ — ! +С!=-Се *( — + — 1+Сь !в-! ! (,*-1!! ,) Тогда , г'1 1 ~ 1, Г! 1 ! и(х) = С,е* !х- — — ) — -С,е * ( — + — !, хз! 2 Г,х хз! ' е* е' х(х) = Сз / е* ~ — — — ! г(х — — ! е * !! — + — у! г(х + Сз = Сз — + С1 — + Сз, х! 2! 'х Р! х х где С, = 2г.
Наконец, у = С,е + Сзе'+ С,х есть общее решение однородного уравнения. Для получения общего решения неоднородного уравнения применим метод вариации произвольных постоянных. Тогда получим систему уравнений С',е '+Сгзе*-Ь Сзх = О, — С,'е *+ С!с*+ Сз = О, С~е "+ Сзе* = -2х~, из котоРой находим С', = е*(х — х ), Сз = -е *(х + х), Сз = 2х. Интегрируя последние соотношения и подставив значения Сп С„Сз в выражение для общего решения однородно~о уравнения, после некоторых упрошений накопим общее решение данного уравнения: у = С, е ' + Сзе" + Сзх + х'.
в 361. х (2х — 1)у'"+ (4х — 3)ху" — 2ху + 2у = О; у,(х) = х, уз(х) = —. < Полагая у = хх(х), х'(х) = в(х), получаем уравнение х'(2х — 1)и + 2х(5х — 3)ви + 6(х — 1)в = О. Из соотношений у,(х) = хз,(х), зз(х) = вз(х) находим частное решение дая последнего уравнения и,(х) = — г. Применив еще раз указанную замену, можем записать; 1 И'(х) И" (х) = ы(х). Тогда (1) примет вид (1 — 2х)ы'+ 2ы = О. Интегрируя зто уравнение, получаем ы = С,(! — 2х), или И"(х) = С~(1 — 2х). Я 4. Ливейиме дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами 159 Из последнего уравнения следует, что В'(х) = С,(х — х ) + С,.
Производя, далее, очевидные 2 подстановки, имеем уравнение 1' 1 1> С2 '(х) =с,( — — -)+ —, х) из которого находим 1 '> С2 .(Х) = С, (-- — )п 1х1т! — — + С,. х ) 2хз Остается записать общее решение данного уравнения: с у = С (1+ х )п ~ !) + — + С х. М 5(п х 362.
*у" ч- 2у'+ ху = 0; у,(х) = — (х Ф 0). М Для нахождения второго частного решения у, Лиувилля: воспольз>емся формулой Остроградского— 2 где Р,(х) = — (х ~ О). У,'/ = С, ехр (- /Р!(Х)2(х), Тогда получим уравнение относительно у,: С1 0102 1!!Ут = хр! решив которое, имеем 2(Х - 5!Пх ут —— С у! ) — + Сту, = — у, С, с!Ох+ Ст —. ) .2 2 Х Тогда общим решением будет (2) р (2Х Ч- 1) + 4рх — 4 гн О, возможное лишь тогда, когда одновременно выполняются равенства: 2р 44р=О и р — 4=0.
Отсюда находим р = -2. Следовательно, у, = е '* — частное решение. Исходя из дифференциального уравнения (1) предыдущею примера, легко находим общее решение дифференциального уравнения у" + Р!(Х)у' + р2(х)у = О по известному его частному решению у,(х): ехр (- / Р,(х) 2(х) у=у,(х) С, / 2(х+ Сз ут(х) (!(юриула наели). Воспользовавшись формулой, сразу напишем общее решение даннопз уравнения у = с,, + с,е '*. м 5(п х СО5Х 5!Пх 51П Х СО5Х У = а,у,(х)+а!У!(х) = а, — а2С,— + а!С! — — — С! — + С! — —, х ~ О, х х х х х где С„С, — новые произвольные постоянные, Отметим, что формула (2) фактически описывает общее решение.
м 363. (2Х+ 1)у" + 4ху' — 4у = О. и Попьпаемся найти частное решение этого уравнения в виде у, = е2, где р = соп51. Подставив у, в уравнение и сакра~ив обе части на еы, получаем тождество 160 Гл. 2. Диффереипивльвме урввиевия высших порядков Зб4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
