Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Совокупность и линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения п-го порядка называется его фулдамевгвалы(ой сисмемой. Фунцаментальная сисгема решений вполне определяет линейное однородное уравнение (4). Такое уравнение имеет виа У) Уз " У у У) Уз Ул У (5) (в-1) (и-1) (и-1) (л-О у) Уз . У» У (») (в) (») (в) 4.4. Формула Остроградского — Лиувилля. Если в (3) у(, уз, ..., У» — фундаментальная система решений уравнения (4), то двя опрелеаителя Вронского справедлива е)орм)иа Оаироградского — Виуаилля »1 1= » 1»1 и)(-'1'»ииа), *и где хв Е [а, Ь], х Е [а, Ь]. 4.5.
Общее решение неоднородного линейного двффереицивлыюго уравнения с переменными козффицвеигвмя. Если известно общее решение однородного уравнения, то общее решение неоднородного пмвнения с непрерывной на [а, Ы правой частью можно найти, применяя метод вариации произвольных постоянных (см. б 3). 152 Гл. 2. Двйиуереиивальиые ураввенвя высших порадков Р (! — х )у — ау+и у=О называется уравнением гуеймгиева. Заменив аргумент х по формуле х = созг, получим уравнение д'у — +ау=О. д( 4.7.
Дифференциальные уравнения второго иорвдка. Среди уравнений высших порядков, часто встречающихся в приложениях, важное место занимают диукйеренциальные уравнения ваорого порядка ун + Р,(х)у' + Рз(х)у = О, (7) где Р, и Р, — непрерывные на (а, Ь) функции. С помощью замены 1 у = ехр ( — — / Р,(х) дх) Я(х) 2./ его можно привести к каноническому виду 42 — + д(х)х = О, (8) дх2 где 1, 1 Х(х) = Рз(х) — — Р1'(х) — — Р, (х). 2 4 При этом считакн, что Р, Е С'(а, Ь).
Функция Х называется инвариангпои уравнения (7). Любое уравнение второго порядка Ря(х)у" + Р,(х)у'-> Р,(х)у = 0 (9) с непрерывными на (а, Ь) коэффициентами можно привести к так называемой самосопрязкенной дорис д 7 ду~ — (Р(х) — ) + а(х)у = О д 7' путем почленного умножения уравнения (9) на функцию о, где 4.8. Связь между линейным дифференциальным уравнением второго ворцмга в уравнением Эйлера — Ривжати. Если в (7) положим у' = ук(х), то получим уравнение Эйлера — Риккати 2 — = -х — Р,(х)х — Рз(х). дх Обратно, уравнение Эйлера — Риккати у = Р(х) + (г(х)у + В(х)у (10) (12) с помощью замены и ий(х) можно привести к линейному уравнению второго порядка. 4.6. Уравнение Эйлера.
Ураввевве Чебышева. Дифференциальное уравнение вида (ах+Ь)"у'ю+а,(ах+Ь)" 'уы в+ ... +а„,(ах+Ь)у'+а„у=О называется урапнением Эйлера. С помощью замены ах+ Ь = хе его можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами. При а = 1, Ь = 0 уравнение Эйлера переходит в уравнение х"уио+ а~х" ~ум и+ ... + а„~ху'+ а„у = О, которое также называют уравнением Эйлера. У авнение 9 4. Линейные днфферевшмльвме ураввенна с перемеввьавн коэфймниевтамн 153 4.9. Сведение линейного двфферевшшльпого уравнения второго порядка с переменными коэффиииеитами к уравнению с постоявиымв коэффвциеатами. Иногла уравнение (7) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами.
Если такое сведение возможно, то только с цомошью замены ( = а ( у/Рг(х) лх| (14) где 1 — новый аргумент. 4.10. 06 асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений второго порядка. Если 1з (1)( (~ -гьь пРи (з ( 1 ( +оо, С > О, а > 0 — постоанные, то дифомРеициальиое С уравнение у'+ (1+ У(1))у = О имеет два линейно независимых решения у~(1) = созг+ О ()в), уг(1) = пп1+ О (-в) при 1 — +со, а уравнение у" — (1 — У(1))у = о — решения уз(1) =е (1+О(рг)), уг(1)=е '(1-ьО(гх)) при 1-~+со. Исследовать, являются лн данные функции линейно зависимымн. 343. у, = х+ 2, у = х — 2. < Согласно определению линейной зависимости функций (см. п.
4.1) должны найтись такие числа а, и аг, одновременно не равные нулю, что выполняется тождество относительно х: а,(х+ 2) + аг(х — 2) в О, х Е (-со, +со). Отсюда (если такое тождество выполняется) следуют равенства а,+а,=о, 2(а,— аг)=0, или а, = аг = О. Следовательно, функции у, н уг линейно независимые. м 344. у, = бх+ 9, у, = Вх+ Иц < Пользуясь определением линейной зависимости функций, можем написать: аз(ба+ 9) +аз(бх+!2) и О, х Е (-со, +ею). Отсюда ба, + баг —— О, 9аз + 12аг — — О. Фактически получили олно уравнение с двумя неиз- вестными. Поэтому, положив, например, а, = — 1, найдем аг = д. Таким образом, согласно 3 определению, данная система функций линейно зависимая.
1ь 345. у, = х — в+ 3, уг — — 2хг+х, уз — — 2х — 4. М ПО аНаЛОГИИ С ПрЕдюдущИМ СсетаапяЕМ таждЕСПЗО ПО Х Е (-Ссг +ОО): а з(х' — х + 3) + аг(2х'+ х) + аз(2х — 4) п О, нз которого следует, что должны выполняться равенства а, + 2аг = О, -а, +а, + 2аз = О, Заз — 4аз = О. Легко убедиться, что третье уравнение системы является следствием первых двух. Поэтому положив, например, а, = 4, для аг и аз получим аг = -2, аз = 3. По определению система функций уз, уг, уз линейно зависима на числовой прямой.
М 346. уз -- х, уг = е*, уз --хег. < Положив в тождестве по х а,х+аге'+азхе*по, х Е( — оо, +со), 154 Гл. 2. Двффереипвальвме уравиевив вмсшик ворядков х = О, получаем аг — — 0 и азх + а,хе* ш 0 или а, + азс* = 0 (х ~ 0). Отсюда следует, что е* ш — ~~- = сонг!, если а, Х О. Но это, очевидно, невозможно. Если же аз = О, то и а, = О.
аз таким образом, система функций уз, уг, уз при х б (-со, +со) линейно независимая. м 347. 1и хг, 1пЗХ, 7. м Из тождества по х б (О, +со): аз!их + аг!и Зх+ 7аз = О, ко~орое можно представить в виде (2а, + аг)!и х+ аг!п3+ 7аз гл О, следует, что 2а, + аг = О, а, 1п 3 + 7а, ш О. Положив, например, аз —— — 1п 3, из последних уравнений получаем аг = 7, а, = -3, 5. Следовательно, данная система фуззкций линейно зависимая при х > О.
ы 348. х»х, созх, ззп2х. и Составим определитель Вронского для этой системы функций. Имеем 51п х со5 х 51п 2Х И'(х) = созх — 5!пх 2со52х = 35!в 2Х У О. — 51п х — соз х — 4 5ьч 2х Следовательно, согласно п,4.2, данные функции линейно независимые (если бы они были линейно зависимыми, то выполнялось бы тождество )У(х) ы О, х б (-оо, +со)). м 349. ъзх, ъгх+ 1, ъгх+2. < Предположим, что выполняется тождество по х > 0: азъзх+агъ х+ 1+ азъзх+ 2 ы 0 при некоторых а,, аг, а,, одновременно не равных нулю. Топза, положив в нем последовательно х = О, х = 1, х = 2, получим систему аз+ азъ 2 = О, аз+ ъ 2аг+ ъ Заз = О, ъ 2аз+ ъ Заг+ 2аз = 0 Так как определитель этой однородной системы не равен нулю, то а, = аз = а, = О. Полученное противоречие показывает, что данная система функций линейно независимая при х > О.
м 350. х, !Х(, 2х+ ъ4хг, < Из тождества азх+ аг)х!+ а,(2х+ 2(х!) гж О, .х Е ( — о, асс), следует, что а, + 2аз — — О, а, + 2аз —— О. Положив в полученных уравнениях, например, аз — — -2, ! получим а, = а, = 1. Это означает, что предложенная система функций линейно зависимая. М 351. Являются ли линейно зависимыми на сегменте (а, Ь! функции, графики которых изображены на рнс.
27? < Предположим, что справедливо тожлество по х б (а, Ь): аз+ азуз(х) + азуз(х) = О, (1) где а, + аг + аз ~ О. Полагая в этом тождестве но- г г г следовательно х = х,, х = хг и используя раненстао уз(хз) = уз(хз), можем написать аз + азуг(хз) + азУз(хз) = О, а, + агуг(хг) + азуз(х,) = О. Отсюда следует равенство аг(уг(хг) — уг(х,)) = О. Но так как уг(хз) ~ ш(хз), то аг —— 0 и тождеспю (1) принимает вид аз+ азуз(х) ш О. б 4.
Линейные диффереициаяьвме уравнения с иеремеииооии коэффициентами 155 Последнее, если принять во внимание рис.27, невозможно при аг + аг ~ О. Получили противоречие, источник которого в предположении, что функции у„уг, уг — линейно зависимые. Следовательно, они линейно независимые. > 352. Если определитель Вронского для функций ун уг, ..., У„тождественно равен нулю, то можно ли утверждать, что эти фуггкции будут линейно зависимыми или линейно независимыми? ц Примеры показывают, что если определитель Вронского равен нулю при всех х Е (а, Ь), то функции ун уг, ..., У„могут быль как линейно зависимыми, так и линейно независимыми. Пусть у,(х) = х, уг(х) = 2х, Тогда Иг(х) и О.
Легко видеть, что функции у, и уг линейно зависимые. Пусть ) (х — 1)', если 0<х<1, 1' О, если 0<я<1, О если 1(х(2 Уг( ( ( — По !(х 2. Так как у~г(х) = уг(х) = 0 при 1 ( х < 2, то Иг(х)=! г г()~=0 при !(х<2. ,(х) (х) у~(х) ю(х) Аналогично И'(х) = 0 при 0 < х ~( 1, так как уг(х) = уг(х) = 0 при 0 ( х ~ (1. Следовательно, И'(х) = 0 на (О, 2). Предпслогким теперь, что при некоторых а, и аг (а~ + аг И 0) выполняется тождество г агу~(х) + а,у,(х) = О, х Е (О, 2). (1) Пусть 0 ( х ( 1.
Тогда из (!) следует, что а~уг(х) ш О, т, е, а, = О. Аналогично, если 1 ( х < 2, то из (1) получим аг — — О. Следовательно, функции у, и уг линейно независимые. и 353. ФУнкЦии Уг — — х, Уг — — х, Уг = 1х/ УдовлетвоРЯют диффеРенциальномУ УРавнению 5 5 хгуо+ 5ху'+ 5у = О. Являются ли они линейно зависимыми на интервале ( — 1, !)? М Из предположения, что а,х+агх +агах~ ЬВО, хб( — 1, 1), а~+аз-Ьаг ХО, получаем совокупность тождеств ага+ага +агх гвО, х)0, 5 г а,х+агх — агх =О, х < О, 5 г или а,х+ агх + агх = О н -а!х — агх + агх ы О, х ) О. Складывая последние тохгдества, г 5— г 5— получаем 2аг*' = О, откуда аг = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
