Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Таким образом, общее решение исходного уравнения записывается в виде л-с,*! Зх 1п — * 4- Сгх, если С7 конечное, С,х, если Сг — — ос. в Пршшчанне. В примерах 286, 287 мы нашли общие решения при х > О. Дхя получения общего решешш прн х < О следует применить гамену х — -ег, у — е гн(г) н нроаесгн аналогичные ныкаадкн.
288. хе(ун 2уугг) = 4х'уу'+ 1. м Проверяя уравнение на обобщенную однородность, получаем уравнения 4-!- 2(т — 1) = 4+ гн+ (т — 2) = 3+ нь+ (т — 1) = О, совместные, эквивалентные одному уравнению 2пг+ 2 = О. Следовательно; уравнение обобщенно однородное. Решаем его для случая, когда х ( О, полагая х = — е', у = е 'и(!). Имеем у' = е н(и — и'), у" = е ' (2и — Зи'+ иа), 2ииа — и' — иг -'г 1 = О. Полаган и' = р(и), получим уравнение 77(Р) г г или и — — р =и — 1. 7(и 2ир — -р — и +1 = О, г/Р 2 2 би 287.
— +у' =зхуа+ —. 2 х2 х м Как и в предыдущем примере, проверяем уравнение на обобщенную однородность. Для этого должны быль совместными следующие уравнения опюсительно т; 2нг — 2 = 2(т — 1) = 1 + (т — 2) = т + (гп — 1) — 1, эквиналентные одному уравнению 2нг — 2 = т — 1, имеющему решение т = 1. Следовательно, данное уравнение действительно обобщенно однородное. полагая х = е', у = е и(г), получаем: 2 у =и+и, у~ =е (и ч-ие), Зи 4-Зи — и =О.
1ЗО Гл. 2. Дифференциальные уравяеивв высших ворядявв Это линейное уравнение относигельно р'. Его общее решение имеет вид р' = и'+ 1+ С,и. Тогда и' = х н'+ 1+ С~и. Разделяя переменные и интегрируя, находим: йи сн +ч ГГ ~l-'~с, ~(=м+чс. .*~а,.+ и « =- . =~\ч б преобразования, будем иметь , г 2Сзх у = (Сзх+ — ) — 1. / С~'( (1) 2( Кроме того, при замене и' = р(и) мы потеряли решения и = х1.
Поэтому к интегралу (1) следует присоединить еще решения ху = х1.м 289. ху" — х'ру' — у' = О. и Это уравнение также обобщенно однородное, поскольку уравнения 1+ (гн — 2) = 2 + ш+ (яз — 1) = т — 1 совместны и гн = -2 — их решение. Однако, решение данного уравнения проще найти, поделив обе его части на х (х и' О).
В результате получим: = уу, или Отсюда следует, что р = — + — х. Интегрируя это уравнение, находим: 2 р х — -агсгй — = — +С„если С, ) О; ,/С;,/С-, 2 1 р —,/:T,, х' — 1п = — +Сз, если С, <О; ъ/-(ч у + ч'-("~ 2 2 х — — = — +Сн если С, =О. и р 2 Понизив порядок данных уравнений, свести нх к уравнениям первого порядка. з 290. у" -р'ди= И Уравнение не содержит явно функцию р, поэтому произведя подстановку у' = з(х), получим уравнение второго пордлка з з — хзя= Н Это уравнение однородно относительно переменных з, з', х", поэтому положив з' = хе(х), будем иметь уравнение первого порядка с+ — =О и х=бчЬ г 1 х 291.
р'(р'р'а — 2р" ) = р'. . < Поскольку независимая переменная явно не входит в уравнение, то произведя замену р' = р(р) „получим уравнение второго порядка (см. п. 2.2): р'(рря - рд) = р'. 131 й 2. Ураваеиия, допускающие понижение пв)ишка Полелнв обе части полученного уравнения на рзуз (ру ~ 0), имеем — =-з, уд — =- — 2+С и р у р у 292. яз <у'уа' — у' ) = 2У'у' — Зхуу' . М Уравнение ошюродное, поэтому замена у' = уз(я) приводит к уравнению второго порядка (см. п. 2.3): я~(ззз'+ х ) = 2з — Зязз.
Так как уравнения 2 -Ь >и + (пз — 1) = 2+ (пз — 2) = и> = 1 + 2н> совместны, то полученное дифференннальное уравнение является обобщенно однородным. Следовательно, уместна замена я = е' (я ) 0), з = е 'в(1), в результате которой приходим к уравнению (см. и.2.4) в' — Звв' — Зв = О.
Поскольку последнее уравнение явно не содержит независимой переменной 1, то полагая и' = =. Р(в), получаем уравнения первого порядка йр — — Зи — 3=0 н и =О.м >(н ч» —,-ь — =О, или <1п!у"!) +3<1п$у!) =О. У У Интегрируя, находим (п<)у !(у! ) =!и!С>(> или у'у = С, (отбрасывая знак модуля, мы не теряем решений, поскольку постоянная С, произвольная).
Умножнв обе части последнего уравнения на Ут, снова получаем уравнение, обе части которого являу ' ются полными производными: ,»з>,' Проинтегрировав его, имеем 2 — 2 у +С>у =Сз, нли у =~ Сз — С>у з. Еше раз интегрируя, окончательно находим з з 2 ж †>г Сзу' — С> = х + Сз, или у = С,(х + Сз) + С„ Сз~ где С, — новая постоянная. При делении на у" мы потеряли решение у" = О, т.
е. у = ах+ )3. и 294. 5У'"' — зу"у" = о. м Разделив обе части уравнения на у у", получим — = — > или <5)п!у"! — 31п!у' !) = О, 5У™ Зу" > откуда находим » С,т (у )> »5 мз у = С,у , Решил уравнения, преобраював их к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. 293. Уу"'+ зу'у" = о. М Поделив обе части уравнения на уу", получаем 132 Гл. 2. ДиЩюреипиалввме уравнения вмеших поряюгов Интегрируя это соотношение, получаем х 3, 3 —, =--(У )-3+С„ Ст 3 3 3 2 2 х ) — з У = ~ — Сз — — —, = х(сз + Сзх) ~з з -',) где С, и С, — новые постоянные.
Наконец, дважды интегрируя последнее уравнение, имеем 4 — (Сз + Сзх) 3 + Сзх + Со С2 Присоединим сюда еше решение уравнения У" = О, потерянное при делении: у= С,х'+С,х+С,. м 295. у" = ху'+ у+ 1. и Имеем ух = (ху+ х), откуда следует, что у =ху+х+Сз, или (у+1)'=х(У+1)+С,. Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид У+ ! = е 3 1 Сз / е ау 3(х + Сз 296. ху" — у' = *'уу'. м Поделив обе части уравнения на х', имеем Ю =Ю' откуда У У 2 3(У вЂ” = — + С„ияи = хг(х.
х г " у+гС, Интегрируя, получаем 3(У х 2!', 2С =2+С" ./У+, г или 2 у х — агой = — +Сз, если Сз > 0; Сз чгХ7 2 !и ~"::=~~а~ = — + Сз, если Сз < 0; 3/ — Йсз ~у+ ъ' — %3 ~ 2 2 х — — = — +Сз, если С, =О. у 2 При разделении переменных мы "потеряли" решения уравнения у + 2С3 — — 0 (С, < 0), или у = хчг:2С,. Нетрудно, однако, показать, что они получаются в результате предельного перехода при Сз — тоо из общего решения при С, < О. 3ь. В слеаующих задачах найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям. 297. Уу" = 2ху'; у(2) = 2, у'(2) = Озб. м Поскольку уравнение однородное, то полагая у' = ух(х), получим х' = хз(2х — 1).
й 2. Уравнения, лоиусваююие ионижеиие иорялва 1ЗЗ Интегрируя, находим у' С Чх- ' у' следует, что Сз — — 6. Интегрируя уравнение (1), получим з(х (х + 2)(3 — х Подставив сюда х = 2 и у = 2, определим С, = ~/8. Искомое решение Из начальных условий откуда у = Сз~Щ уравнения имеет вид 2+х у= 1,(8 3 — х з 298.. 'уе — з у' = У вЂ” 4у; у(П = 1, у'(П вЂ” 4 .з < Это обобщенно однородное уравнение и ш = 2, поэтому производим замену х = е', у = е'зи(П. Получаем уравнение вл — би' = О. Умножая обе его части на и' и интегрируя, имеем и =4и +Сз.
з (1) Так как у = 1 при х = 1, то из формул замены следует, что и(0) = 1. В силу топз, что у' = = е'(и'+ 2и) и у'(1) = 4, находим и'(0)+ 2и(0) = 4, откуда и'(0) = 2. Полагая в (1) ! = 0 и используя значения и(0), и'(0), определяем С, = О. Осталось проинтегрировать уравнение з и =4и. з з Имеем и'= х2иг, *и з з(и = 2г(1, — =!+С,, или ' хззй х' ()п* — !)' 299. уесгиу+у' япу= у'; у( — 1) = —, у(-1) = 2. м Полагая у' = р(у), получаем уравнение р сову+ рялу = 1, общее решение которого имеет виш р = яп у+ Сз соку, или у' = в!и у+ С, сову. (1) Для определения постоянной Сз воспользуемся условием, что у'( — 1) = 2 при у = ~~.
Находим С, = з/3. Далее, интегрируя уравнение (!), получаем ! Г г(у -/', =а+С„или -1п~гвЯ+~)~=х+С,. 2,/ сги(у — $) ' 2 Подставив сюда значения х = — 1, у = ~~, находим С, = ! . Требуемое частное решение выражается формулой *= -!+-,)" (188+ $)). и 1 пввиеч*ззве. зие«1 ° 1 здесь отброшен в силу условия у'(-1) = 2 > о. 1 и= (С+ Сз)' Для определения постоянной Сз воспользуемся условием и(0) = 1, в результате чего находим С, = ~1. Итак, и = — т, однако, в силу условия и (0) = 2, берем только решение и = — т. 1 з 1 (1*1) (1 — 1) Окончательно можем записать Гл, 2.
Диффереипналъвые уравиепия высших порвдков 134 3 1 (1 + у' ) ' = й!у" ~(1+ уп) ', или йуе = 1+ у", 1+ у" й' (агс)уу) = —. й Интегрируя последнее уравнение, находим агсгду'= — +Сп или у'=гйЯ+С~). й Проинтегрировав еще раз, окончательно получим у= -й)п(сокЯ+С))+ Сз. М 301. Доказать, что уравнение движения маятника у" +яп у = О имеет частное решение у(х), стремящееся к а при х +со. < Умножив обе части уравнения на у' и проинтегрировав полученное, будем иметь у' = 2С1+ 2соку.
(1) Выберем частное решение так, чтобы у'(х) — О при х — +оо. В силу того, что у(х) — я при х — +со, из (1) следует, что С, = 1. Интегрируя теперь уравнение = 2(сок у + 1), получаем ду = х+ Сз. з(!~~с Очевидно, что соотношение 1 п( = х+ 1пС, (О ( у ( к) (2) 2 сок 2 также есть частное решение данного уравнения.
Выполнив интегрирование в левой части (2), находим 1п (1$ '4 (3 + у)) — х + !и С21 или у = асс(О(Сзс*) — зг, где Сз > О. Очевидно, что у(х) — а при х — +со. М (3) замечение. Решение (3) описыееет физический процесс веокоисчмо долгого пскъеме мешметическош маятника е аюе наивысшее положение (лри этом перемеииеа х игРает роль времени, а переменная у— роль угла поворота).
301. Определить форму равновесия нерасгюкимой нити с закрепленными концами, на ко- торую действует нагрузка так, что на кюкдую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь. < рассмотрим равновесие произвольного элемента нити длиной ззЯ (рис. 25). Проектируя силы, действующие иа выделенный элемент, на оси Ох, Оу, получаем уравнения -Т(х) сока(х)+ Т(х+ 1зх)соко(х+ тьх) = О, — Т(х) 5)п а(х) + Т(х + (ах) яп а(х + Ьх) — 1ХР = О, где Т(х) — величина натяжения нити в сечении х, а(х) — угол между касательной к нити и осью Ох, ЬР— вес элемента тзЯ (или величина какой-либо распределенной нагрузки). 300. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
