Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 28
Текст из файла (страница 28)
слс Интегрируя, находим х = х2агсзйе' + С,. Из уравнения у' = х сЛС, принимая во внимание выражение юш в(х, получаем у = С + Сз. Таким образом, параметрические уравнения общего решения имеют вид х = х2 шс(8 е' + С„у = С+ Сз. Ы 119 б 1. Виям ивтегрвруаммх нелинейных урапвеввй Общее решение уравнения имеет вид х = 1(21п( — 1) + Сн у = 1 )п(+ Ст. а 264. уе(1+у')еу =1. м Действуем по той же схеме, что и в предьгдущем примере. Имеем -г у=( у 1+1 Отсюда, в силу соотношения о(у') = у" ох, получаем (1+1)М = е ~Фх. Следовательно, х=-(е +Сь Из уравнения у' = 1 находим у = ~ 1 г(х + Ст — — / Ц1 + 1)е~ гй + Ст — — (1 — 1 + 1)е' + Ст.
Итак, получили общее решение х = (е + Сп у = (1 — 1+ 1)е + Ст. Ь 265. уа — е" = О. м это уравнение вида Г(ум ", у'"') = 0 при и = 2. согласно п.1.3 имеем у" = 13(Г), у = п(1), где а(1) = 1п(, 13(1) = Г. Уравнение (3), и. 1.3, принимает вид 1, 1е,т 3 г — — х — — х =гх или гн+к+1н =О, гт где к = х'. Решив последнее уравнение Бернулли (или, еше щюше, уравнение ((х)' + (гн)' = О), получаем 1 х =и=* Отсюда находим: й( 1 ) ~/С~ + ~/21+ С,1 х=х г( +Ст — — х — )п~ 1+Ст, если С~ >0; ~(ЛГ+т; = т", ~,т,—,гЪ+С,~ 2 ) 21 х=х — агсгй~г-1 — — +Ст, если С, (О; =,/-т-, 1 С, П х= — ~( — +Ст, если С, =О. Присоединив сюда еше второе уравнение из (1), будем иметь общее решение данного дифферен- циального уравнения в параметрической форме, М Прпмечввпе. Рассмотренное уравнение доп)екает н другой способ решепня.
А именно, умножая обе части уравнения на у', получаем: рву' = е"у, нпн ( — ) = (е"), откуда ннтегрнрованнем находим у = 2е" + Сн нлн фт ау = ах. х~г7еУ е С1 Гл. 2. Диг(нгзереиниальиме ураииеввз высших пориаков !2О Интегрируя еще раз, волучаем обшее решение в явном виде 1 ! /Сг+42е" ЬГг! х=х !и 1+Сг, если Сг)О; ,/Гг ~ Л.— Л:-~+С-,~ 2 Г 2 Х = х — атега)/ — 1 — — ЕЗ -1- Сг, ЕСЛН Сз < 0; '-С, )~ С, х = — з/2е з Ь Сг, если Сг = О. 266. Уда = 1.
ш умножив обе части уравнения на у', получаем ууау' = у' (у' ~ О), или гг ( — ) = (1л!у!), ,г г откуда интегрированием находим у = 1пу + С„или У' = ~у рн уз + С, Разделив переменные и опять проинтегрировав, окончателызо имеем г(у х+(г з/С, +Тпру' 267 Узда У4+ ! о Ш По аналогии с проделанным выше, имеем г г ууад +(1 — у)у =О (у ~О), нли ( — = — (д г+у) . 2/ 2 Отсюда следует, что у = (у + у ') + С„или у = ш7/С1 + у + у Разделяя переменные и интегрируя, получаем Оу ! , С, х+Сг=~ 1 — шш-1н у + — + Сгуг+уг+1~.
» ,г з/Сг+ У' + У 2 2 268. Ум+ у' = о. < Умножив обе части уравнения на у", получаем уау'а + уау' = О (да ~ О). Отсюда следует, что — + — =О, а также вг,г г у +д' =С,. Полагаем у' = Сг яп(, уа = Сг соз(. Из тождества г((у) = уаг(х в силу последних уравнений имеем г((яп 1) = соз1г(х, или г(х = Ж „откуда х = 1+Сг. Из уравнения у' = Сг яп( находим у = Сг з( яп Их + Сз = Сг / яп(г(1 + Сз = -Сг сов(+ Сз. Теперь окончательно мохсем записать: х =1+ С), у = Сгсоз(+Сз, или у = Сз сов(х+Сг)+Сз» 121 б 1. Виям иитезрируеммк иеливейимк уравнении 269. у" 2 — 4ху" + 4у' = О. и Полагая у" = Е, накопим 12 у =х( — —. 4 22 1 Поскольку 4(у') = у" з(х, то из последних соотношений следует, что з( (хе — -4) = Ых, или Сьз Получаем у = хС, — 4, откуда 1 у = Сз — — — Сз х+ С,.
2 4 Аналогично, для функции у, соответствующей решению х = 2, имеем 2 ез у = 4 Отсюда 12 12 , 1 12 з(у = — з(х = — 2( ~ — ) = — Ф. 4 4 222 8 зз Интегрируя последнее уравнение, находим у = 24 + С,, или з у = — + Сз. 3 Таким образом, все решения данного уравнения описываются формулами; С,,г Сз, х у = — х х — — + С, = С,х(х — Сз) + С„у = — + Сз. М 2 1, 2у' 3 270. ззпу" + у!ну" = 1. < Полагая в этом уравнении у" = 1, получаем 1 — Мпе у=, (1 > О).
Для получения функции х воспользуемся уравнением (3), п. 1.3. Имеем а' х' 1 — ип( х2 хЗ вЂ” — — а'=)3, где а= !п( )3 =1, х =*. Общее решение этого уравнения представляется в виде а х=х з(21 "за+с, Следовательно, а'Ф х=~/ +С,. 2 а',дФ+ Сз (2) таким образом, (1) и (2) суть параметрические уравнения общего решения данного дифференциального уравнения. зь Решив ззшзученное уравнеззие, имеем г = С,, а также х = 2. функцию у, которая соответствует решению 1 = С,, находим из уравнения у' = х(- —.
4 Гл. 2. Диффереиииальвме уравнения вмеших порядков 122 $2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2.1. Дифференциальное уравнение вида Р(х, у( ), у("+'),..., у(")) = О. Если дифференциальное уравнение имеет внд Р(х, у~~~, уо~~~,...,у~ ~) = О, то его порядок можно понизить с помошью замены у' ' = »(х). Действительно, тогда получим уравнение Р(х»» ... »~ )=О порядок которого на Л единиц меньше исходного.
2.2. Дифференциальное уравнение вида Р(у, у', ..., у(")) = О. Порядок дифференциального уравнения Р(у, у', ..., ум') = О можно понизить с помошью замены у' = р(у), где р = р(у) — новая неизвестная функция, а переменная у является аргументом. Имеем бу' бу гр и т, д., т. е. порядок дифференциаяьного уравнения понижается на единицу. 2.3. Однородное дифференциальное уравнение вида Р(х, у, у', у",..., у(")) = О.
Если дифференциальное уравнение Р(х, у, у', у",...,уы1) = О однородное относительно функции и ее производных, т. е. справедливо тохшесгво Р(х, 1у, гу, ту~, ...,Гуно) = РР(х, у, у', у'~, ...,у("~), то порядок уравнения можно понизить на единицу, положив у' = у»(х), где» = »(х) — новая неизвестная функция. Действительно, последовательно дифференцируя соотношение у' = у»(х), имеем; у = (у»(х)) = у»+у» =. у(» +» ), у ' = (у(» +» )) = у (» +»') е у(2»»' +»' ) = у(» + 3»»' +»' ) и т.д., уоо = угР(», »', ..., »'" н), где Р— известная функция. Подставив значения производных в дифференциальное уравнение Р(х, у, у',,у'"') = О и используя однородность функции Р, получаем: р (х, у, у», у(» +» ), ..., ур (», », ..., »м ~)) = — у Р (х, 1, », » -Ь»,..., р (», »', ..., »~" Л)) = О. 2.4.
Обобшенво однородное дифференцнальвое уравнение вида Р(х, у, у, ун, ...,у( )) = О. Дифференциальное уравнение Р(х, у, у', у", ...,уо~) = О называется обобщенно однородныи, если функция Р уловлетворяет тождеству Р (тх т у т у 1 у 1 у )) — »ОР( (Ю) где из — некоторое дейстз)ительное число. 123 !) 2. Уравнения, довускюовгие иеввжевие иорвдка можно привести к виду (Р(х, д, д',..., у'" ")) = О, то интегрированием его порядок можно понизить на единицу: Р(х, д, д', ..., д'"-н) = С„ где уг — известная функция. Решить уравнения. 271. х'у" = д". и В зто уравнение второго порядка явно не входит неизвестная функция. Следовательно, согласно п.2.1, полагая у' = г(х), получим дифференциальное уравнение первого порядка г г хг =х.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем Инте>рируя еще раз, окончательно получаем или з= =у. ! — С,х — — х — -г 1п « сг с| г г +Сгг „= ~- "* +С,= г 1 — С,х !С<х — Ц+Сг, если С, и'О, С, и'оо; С< =0; С, =ос. Ь если если ~~. Уж = „-'. и Полагая у" = х(х), понижаем порядок уравнения на две единицы: г г =з Разделяя переменные и интегрируя, получаем г(х 1 —,=х — С„или л= —, х,-<О. х' С< — х' Остается двюкды проинтегрировать уравнение у" = (С, — «) '. Имеем у' = — 1п !С< — х! + Сг, у = (Сг — «) 1п !С> — х! + Сгх + Сг. Кроме того, при разделении'перел<сивых мы потеряли решение л = у" = О, или у = Сх+ 2>. м Если уравнение л (х, у, у', ...,у" ) = 0 обобщенно однородное, то замена переменных <.>г х = е', у = е 'з(1) приводит к уравнению, явно не содержащему независимую переменную 1. Следовательно, порядок такого уравнения можно понизить.
Действительно, имеем г((е х) -г <1 ьа -г+,я у = =е — (е з)=е (тз+х), ггх Иг l г 1 у = — = е — = е — ~е (тл + г )) = е ((т — 1)тг + (2т — 1)х + г ) л ~д -< "У -г г <. -пг < -гл< лт г(х Ж <(1 Г и т.д., уо' = е'"' "Ху>(з, х', ..., х<"'), где у> — известная функция. Подставляя значения производных в рассматриваемое уравнение и поль~ясь обобщенной однородностью, получаем; Г(е' с™х е« д(тг+х) е< л((т — 1)пы+(2пг — 1)з +ль), ...,е< "><г(г, з', ...,я<">)) = = е 'Г (1, х, (тг Е г'), ((т — 1)тя Е (2пг — 1)з' + з"), ..., У> (л, х', ..., г " )) = О. 2.5.
Уравнение, приводимое и волу (у>(ж, у, у', ..., у<" >)) = О. Если пущм алгебраических преобразований дифференциальное уравнение «(х,у,у, ...,У< >) =0 Гл. 2. Дифференциальные уравненив высших порядков 124 273. хум я у" — ху".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
