Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 24
Текст из файла (страница 24)
М Умножив скалярно обе части данного уравнения на вектор-функцию у = у(х) и обозначив )у) = и(х), получим й=2у у<2К(х)и, и>Ь, й — < 2К(х), и< и,ехр12/ К(8)й( и *а или окончательно ь~у ь> ~()кв~) =на. ш Так как функция К непрерывна при х ) хэ, то функция Ф также непрерывна при х > хэ, следовательно, функция (у~ продолжима на полуинтервал [хш +оо). Э Пааиечаиие.
Иэ нерааеистаа (у) ( Е(х) еще не следует предолжяиосгь функции (у( ца лолуицтераал (хэ, есс), если лри эгон не будет гарантировано сушеспювание решения в окрестности каждой точки полугшоскостл х > хэ плоскости хОУ. $ 9. Особые решения 9.1.
Особое решение. Дискримииантяая кривая. Решение у = (с(х) дифференциального уравнения Р(х, у, у') = О называется особым, если в любой окреспюсти каждой его точки проходит другое решение, имеющее в этой точке общую с ним касательную. Пусть функция Р = Р(х, у, у') непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка.
Геометрическое место точек уг(х, у) = О, получаемых путем исключения у' из уравнений г (х~ У~ У ) = О, ' ' = О, дР(х, у, у') ду' ()) называется дискримилалтлой кривой дифференциального уравнения Р(х, у, у') = О. Следует про- верить, является ли ветвь дискриминантной кривой, удовлетворяющая этому дифференциальному уравнению, особым решением, т. е. касаются ли ее в кюхдой точке другие решения. Аналогично поступаем с геометрическим местом у)(х, у) = О, удовлетворяющим условиям дР(х, у, у) Р(х, у, у ) = О, — неограниченная. ду 100 Гл. 1. Двфференцвальиме уравпевия первого порядка 9.2.
Огибающая как особое решение. Семейство интегральных кривых Ф(х, у, С) = 0 уравнения Р(х, у, у') = 0 может иметь огибающую у = (г(х). В таком случае кривы у = )з(х) является особым решением указанного уравнения. Если функция Ф = Ф(х, у, С) непрерывно дифференцируема, то огибающая удовлетворяет системе уравнений Ф(х у С)=0, ' ' =О. дФ(х, у, С) дС (2) Вообще говоря, системе (2) удовлетворяет дискриминантная кривая семейства Ф(х, у, С) = О. Для отделения от дискримннантной кривой некоторой ее части, состоящей из особых точек, мо:кно пользоваться условием: (3) на кривой, не состоящей нз особых точек.
Оставшаяся часть днскримннантной кривой мохсет оказаться огибающей. Если, в частности, эта часть не принадлежит рассматриваемому семейству, то она заведомо будет огибающей. В следующих задачах найти все решения данных уравнений и вьшелнть особые решения, если они есть. 218. у' — у' = о. р 2 м Функция Р(х, у, у') = у — у' непрерывно днфференцируема, поэтому если данное урав- нение имеет особое решение, то оно удовлетворяет системе (1), п.9.1: у' — уз = О, 2у' = О, из которой путем исключения у' получаем у = О.
Кривая у = 0 является решением рассматривае- мого уравнения, однако утвер;кдать, что оно особое, мы пока что не можем. Найдем остальные решения этого уравнения. Имеем у' = ху, откуда интегрированием на- ходим у = С~е*, а также у = Сзе *. Теперь видим, что ни одна интегральная кривая из двух полученных семейств не касается кривой у = 0 (эа исключением, естественно, ее самой). Следо- вательно, решение у = 0 не является особым.
Ь 219. (у' Е 1)з = гу(х+ у)'. м Полагая х + у = и(х) и разрешая уравнение относительно производной, получаем 1 в =Зиз, откуда и = (х + С), нли у = (х + С) — х. Из системы уравнений Ф(х, у, С) гах+у — (х+С)' = О, -З(х+С)' =0 слелует, что кривая у = -х является дискримннантной кривой семейства интегральных кривых. Так как на дискриминантной кривой ( — ) +Я =ггеО и эта кривая семейству не принадлежит, то решение у = -х является особым. Ь 220. у' = 4у'(1 — у). М Разрешаем уравнение относительно производной у' = +2)(И~%1 — у) и интегрируем полученные уравнения: =а+с, ~~ —,=а+с, / гт(уз(1 — у) ' ./ мпзг где положено у = нп'1 (О < 1 < ~т).
Принимая во внимание и очевидное решение у = 1, окончательно имеем 1 1+(я+ С) ' (1) !01 Ф 9. Особые реямввя Из уравнений Ф =— У(1 + (а+ С) ) — 1 = О, — (у(1 + (х + С) ) — 1) = О д ОС находим днскриминантную кривую у = 1. Поскольку на дискриминантной кривой ( — ) Ф( — ) =1~0 и у = 1 семейству (!) не принадлежит, то у = 1 — огибающая зтого семейства. Следовательно, у = ! — особое решение данного дифференциального уравнения. Если дяя отыскания дискряминантной кривой воспол ьзоваться системой уравнений (1), и. 9.1, то, кроме кривой у = 1, можно пояучить еше решение у = О.
Однако, как видно из (1), ни одно решение этого семейства (исключая, естественно, решение у = О, получаемое из (1) при С = со) не касается решения у = О. Таким образом, решение у = 0 не является особым. Ь 221. у' +у'=уу'(у'-ь ц. < Решив уравнение относительно производной, получим два дифференциальных уравнения: у =у; у =+Л. Проинтегрировав их, находим 1 2 у=С,е; у= -(а+С!); у=о. 4 Из уравнений Ф ш 4У вЂ” (х + Сг) = 0 — 2(х 4 Ст) = 0 следует, что у = 0 — дискриминантная кривая.
В силу условия ( — ) +( — ) =16~0, выполняющеиюя на дискриминантной кривой, и того, что кривая у = 0 семейству Ф(а, у, С) = 0 не цринадлежнт, заключаем, что у = 0 — огибающая семейства у = т(а + Ст), следователь- 1 г но, у = 0 — особое решение. М 222. 4(1 — у) = (Зу — 2)'у' . 1 Имеем откуда 1 гПу — 2~ ж — / ау=а+С, 2 ./,/Т вЂ” у или у (! — у) — (а+С) = О. Кроме того, у = 1 — очевидное решение.
Из уравнений Ф гя у (1 — у) — (а+ С) = О, — 2(х+ С) = 0 следует, что у (1 — у) = О, или у = О, а также у = 1. Так как у = 0 не является решением, а на кривой у = 1, которая, очевидно, семейству Ф(а, у, С) = 0 не приналлежит, выполняется условие то у = 1 — особое решение. $ 223. у' —, у+ Л = О. М Палаша чгУ = а. полтавы линейное диффеРенциальное УРавнение 2х' — ах+ 1 = О, 102 Гл. 1. Дифференциальные урввиешш первого порядка проинтегрировав которое, находим 1 а = — (С вЂ” х)ет.
2 Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вш! 1 2 у= — (С вЂ” х) е . 4 В процессе интегрирования было потеряно решение у = О. В силу неограниченности производной и —— х — Ттгу при у = О, где !(х, у) = ху — Гу — правая часть рассматриваемого дифференциального уравнения у' = г(х, у), решение у = 0 может быть особым. Из уравнений 2 х Ф=у — — (С вЂ” х)е =О, — — = — (С вЂ” х)е*=О 4 ОС 2 также следует, что кривая у = 0 может быть особой.
Так как ( — ) +( — ) =1~0 на этой кривой, а сама кривая семейству (1) не принадлежит, то, согласно п. 9.2, решение у = 0 особое. ~ 224. у' = р(х)~у!' (О < а < 1), где р — непрерывная функция, отличная от тождественного нуля. М Пусть у > О. Тогда, разделяя переменные и интегрируя, получим ! у = (С 4(! — а)~ р(х)г(х) Так как производная р-(р(х)/у~ ) не ограничена при у = О, то, согласно теореме существования а а У единственного решения для уравнения у' = г(х, у), решение у = 0 может быть особым. Из уравнений дФ 1 / Фи у — (С+(1 — а)~(с(х)г(х) =О, —: — — — (С+(! — а)~ )г(х)4х) =0 дС ! — от находим, что у = 0 — дискриминантная кривая семейства (!). В силу условия (Е)' (Г)'= " выполняющегося на дискриминантной кривой, и того, что кривая у = 0 не принадлежит семей- ству (1), заключаем, что у = 0 — огибающая семейства (1), т.
е. у = 0 — особое решение. При у < 0 аналогичным путем получаем другое семейство интегральных кривых, для которого кривая у = 0 также является огибающей. ~ 225. показать, что функция у = т)(х) — особое решение уравнения р'(х) у = — у+тг(х)/у — р(х)/' (О <а < 1), тз(х) где (с — непрерывная, а !д — непрерьшно дифференцируемая функции на интервале (а, Ь), причем (Э ~ 0 на (о, 0). и полагая у = х(х)т)(х) „получим дифференциальное уравнение з = — (э — 1) (Ф(х)(", х(х) т)(х) ° 1и где функция !ссФш- непрерывная, поэтому (см. пример 224) решение в = 1 — особое, а тогда и у = ))(х) — особо~ решение исходного урэвнения. м 226. Показать, что функции у = х«))(х) — особые решения уравнения у = — у+ уг(х)!у — «(г (х)), «л (х) г г а сг(х) где О < а < 1, )г, «р' — непрерывные на интервале (а, Ь) функции и !ух Е (а, Ь) «Ь(х) ~ О.
М В результате замены у = з(х)«р(х) получаем дифференциальное уравнение з = )3(х)1з — 1~, ше )3 = ф!«р! ' — непрерывная функция. Полапш в последнем уравнении з = 1 -л е(х), гле е(х) > О, и интегрируя полученное уравнение, находим 1 е(х) = 2 (! -а)) гу(!) (1+ — ) И+С), х Е (а, Ь), хо Е (а,Ь). (1) 2 ) *о Очевидно, дифференциальному уравнению е' = )уе'(2 х е)' удовлетворяет такхсе функция е лл О на (а, Ь). Покажем, что в кюкдой точке хо Е (а, Ц функции е и е ш О имеют общую касательную. Из (1) имеем с с(хо) = Сг-«й, е (хо) = Сг-«У)У(хо)(2+ е(хо))'. В точке касания с абсциссой хо должны выполняться условия е(хо) = О, е'(хо) = О.
(3) Из (2) и (3) следует, что С = О. Таким образом, любая функция, определяелюя уравнением ! е(!) х ' е(х) = 2'(1 — а) / )у(!) (1-л — ) сЫ 2 ) «а тождественно равна нулю на (а, И. Зто означает, что решение е = Π— особое, т.е. решение у = «))(х) — особое лля данного дифференциального уравнения. Аналогично доказывается, что решение у = -«Ь(х) также является особым.
М Найти особые решения, не интегрируя самого уравнения. ,г 227. у' (х' — Ь) — 2туу' — х' = О. М Разрешая уравнение относительно производной, получаем хг — Ь * + «латг -' « (1) Если !х~ > Ь, то через каждую точку плоскости хОу проходит единственное решение каждого из двух дифференциальных уравнений (1), так как в этом случае их правые части непрерывные и имеют непрерывные частные производные по у. Пусть !х! < 6, Тогда условия непрерывности нарушаются на кривой хо+уз = Ь. Однако в силу лишь достаточности этих условий (достаточности лля существования единственного решения), лсы не можем утверждать, что указанная кривая представляет собой особое решение. Применим результат решения примера 226.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
