Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 27
Текст из файла (страница 27)
31. У' — 2хУ+У' = 5 — хг, /У(х)йх = 1. о 32. ху' — у +(2х+1)у = х +2х, /(х — у) де = 1. 0 10. Задачи иа траектерви Проинтегрировать уравнении в полнык дифференциалах. 3 г 33. (1+ у~яп2х)4х — 2усозг хбу = О,. 34. Зх (1+)пу)4х = (2у — х ~ 4у. 35. (в~пу +2) 4х+ ~~Иу= О.
Проинтегрировать уравнения, подобрав интегрирующий множитель. Зб. ху (ху'+1) = 1. 37. (х +31пу)у4х = хдтя. 38. (х + 2х + у) 4х — (х — Зх'у) 4у = О. 39. (х — у) Их + х(у + 1) Иу = О. Найти возможные особые точки, кривые и особые решения. 40. у' = г/у. 41. у' = рггу. 42. у' = ьгу+ 1. 43. у' = 2гухуу. 44. у' = у ( уу+ хг гогу) . Решить уравнения путем сведения ик к дифференциальным. г г г 45. у(х) = х + ~е~ 'у(1) 41, 46. ( (х — 1)(~г) у(г) 41 + 2 /(Зх — 61)у(1) 41 + 2х = О. ГляВз. 2 Дифференциальные уравнения высших порядков 5 1.
Виды интегрируемых нелинейных уравнений 1,1. Дифференциальное уравнение вцдв Х(х, у("1) = О. Дифференциальное уравнение вида Г(х, уГ"') = О может быль проинтегрирована, если уравнение Г(х, и) = О можно разрешить или относительно и = уг(х) или же относительно х = у)(и). Действительно, в первом случае имеем 1 у'"с = р(х) у = (х-С)" 'р(С)И+С,х" '+ С х" '+ ... +С„,х+С„, (1) (гг — 1)! у «е где Сг (у = 1, и) — произвольные постоянные.
Во втором случае полагаем уа1 = С. Тогда х = Р(С) и «С(у'" о) = С да = С«Р'(С)«СС, откуда у'" "= /СР'(С)а+С,. Аналогично находим ум ", у'" '1, ..., у = у(С) + ы(С, Сп Сг, ..., С„), где д и ь« — известные функции. Таким образом, общее решение налошпся в параметрической форме х «С«(С) у у(С) + ю(С С~ С7 . ° С ) (2) Иногда уравнению Г(х, у'"') = О удовлетворяют параметрические уравнения х = а(С), уа' = = СЭ(С), т.е.
Г(а(С), СУ(С)) и О при С б (См С|). Тогда, действуя аналогична изложенному выше, получаем параметрические уравнения общего решения, имеющего вид (2). 1.2. Дифференциальное уравнение вцлв Р (у(" с), у("1) = О. Если уравнению Г(и, е) = О удовлетворяют параметрические уравнения и = а(С), е = С)(С), С б (С«, С,), то дифференциальное уравнение нида Г(ум ", угю) = О можно проинтегрировать. Действительно, тогда ум "= а(с), уа' = )3(С) и «С(уа ~1) = СУ(С) «Сх, или а'(С) «СС = С)(С) «Сх, откуда Г а (С) х= У' — йС+Со Ж) Функцию у находим издифференциального уравнения у'" О = а(С) способом, указанным в п.1.1. 1.3. Дифференциальное уравнение вида Х (у( с), у(")) = О.
Пусть и = а(С), е = СУ(С) — функции, удовлетворяющие уравнению, указанному в п. 1.2. Тогда аифференциальное уравнение вида Г (ум ~~, уг"~) = О можно проинтегрировать. Действительно, имеем, у = а(С), 'у( ] = Р(С), яли, если ввести обозначение у(" 1 = л(х), то л(х) = а(С), х"(х) = Д(С). 115 й 1. Вилы вытегрируеммх велииейиьгх ураввеввй Из первого уравнения находим л (х)= 2) а' х (х) = — а(2) = —, 2(х Используя второе уравнение, получаем (3) (4) Проинтегрировать дифференциальные уравнения и найти частные решения там, где заданы начальные условия. 252. у"4= х+созх.
м Последовательно интегрируя обе части уравнения три раза, пачучаем у = (х + с аз х) 4(х + С~ = — + ип х + Сг, 2 г 2 хг г у'= — +них+С, 2(х+Сг = — — созх+С,я+С„ 2 ( 6 г 2'хг х4 х2 у=( — — созх+С~х+Сг ох+Сг — — — — йлх+Сг — +Сгх+Сг. М 2' 1,6 24 2 253. уш = е* — 1, при хе = О, уе — — 2, уе = 1, уаг = 1, уе" = 1. и Сначала находим общее решение: г 4 г 4 у = е* — х+С, у' = е — — +Сгх+Сг, 2 2 2 .4 хг 2 у' = е* — — + С~ — + Сгх + Сзг у = е* — — + С| — + Сг — + Сгх + С4.
6 2 24 6 2 Затем подбираем значение пока произвольных поспшнных таким образом, чтобы удовлетио- рить заданным начальным условиям. Имеем (=)+С„1=1+Си )=)+С„2=1+С4, откуда находим С, = Сг = Сг = О, С4 = 1. Частное решение имеет вид 4 х у =е — — +1. и 24 254. уьд + впум — 1 = О„при ае = 1, уе = уе = у~ = 2. и Лепго показася ГРафическн, что уРавнение а +з(л а-1 = О имеет единственный дейсгви- 5 тельный корень ао Следовательно, у"' = аг, откуда, последовательно интегрируя, полузаем хг х' х2 у" ш агх+ Сг, у' ю а| — + Сгх + Сг, у = аг — + Сг — + Сгх + Сг.
2 6 2 Для определения постоянных интегрирования пользуемся начальнымн условиями. Имеем а, а, Сг 2 =аг+Сгг 2= — +Сг+Сг 2= — + +Сг+Сг, 2 ' б 2 откуда находим Сг — — 2 — аг, Сг — — ф, Сг = 1 — Рбг.. а'х — ха =х )3. 4 ! 4 г Если положить *' = к, то уравнение (3) примет вид 4 Г г г ак — ка =)ук. Это уравнение Бернулли.
Пусть к = х' = у(С, 1) — его общее решение. Тогда = ~ Х(С, Гг И+ С,. Для получения функции у = у(1) интегрируем гг — 2 раза уже известным нам способом уравнение уа " = а(2). Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения рассматриааемопг вида а параметрической форме. Гл. 2, Двффереициальвме уравнения высшая порядков 116 В силу этого частное решение имеет вид з 2 х а а2 а2 у = а, — + (2 — а,) — + — х + 1 — —.
> 6 2 2 6 255. у"'+ хуо — х' = О. М Разрешив уравнение относительно у", получим: )х2 2 4 Поскольку уравнения относятся к виду у" = 42(х), то двукратным интегрированием можно получить ик общие решения. Однако, полученные уравнения можно проинтегрировать также с помошью параметра, положив, например, х = С + С (при агом радикал исчезает).
Тогда получим у =С+С, у =-С вЂ” 22 — С. Далее имеем 4((у') = (С' + С ) о(х = (С + С ) (21 + 1) 2СС, откуда у = /(С +С )(21+1)гсс+ С, = — С + — С + — +С„ 22 34 С' 22 34 С ду=~-С+-С+ — +С, бх= -С+-С+ — +С, (22+1)бс. (,5 4 3 ) ~25 4 3 Интегрируя еше раз, находим: г2222 34 С' 4 2 19 о 17 2 у= -с +-с + — +С, (~4-1)о(с+С2= — С + — С + — С + — 4С,(С +с)+Сь ))5 4 3 35 60 60 12 Аналогично интегрируем второе уравнение.
~ 256. у" — 2у" — х = О. м Это уравнение вида Г(х, у'"') = 0 при и = 2 и его можно разрешить относительно *. Имеем х = у" — 2у". положив у" = с, получаем х = с' — л. Далее, 2с(у') = соса = с(зс~ — 2) 2(с, откуда у = /(зс -и)бс=-с -с +с,. ( 2 3 4 2 4 В С (314 12+С) С (314 12+С)(312 2)СС 4 2 2 9, 9, г' 2''г 2 У = ) — С вЂ” С + С, (Зс — 2)4(С + Сг = — С вЂ” — С + С, + — С вЂ” 2С,С + С2. ) 2,4 ) 28 10 (4 3) Таким обриом, получили общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме; 9 2 9 2 г' 23 х = С вЂ” 2С, у = — С вЂ” — С + ~С2 + — ) С вЂ” 2С2С + С2. ~ 28 10 г, 3) 257. у" + )ну" — * = О; при хо — — 1, уо — — 1, уо — — 2.
< Аналогично изложенному выше, полагаем у" = С. Тогда 13 х = С + )п С, 4((У') а С гсх = С ~1 + -) 2СС = (С + 1) г(С, откуда С у' = /(с+ 1) бс = — + с+ с, 2 24 $1. Виям иигигуиууеммх нелинейных уравнений 117 а также гг'!З 'г Г 11 !З 3, у = — + (+ С, 1 + — бг+ Сз = — + — (~ + (С, + 1)Е + Си 1п !1! + Сь тг )г, 1) 6 4 Следовательно, общее решение имеет вид: Г' 3, х=!+!пт, у= — +-1'+(С,+1)!+С,!и!+Сь 6 4 Очевидно, хо —— 1 при ! = 1, поэтому й2 г з уо = ( — +!+С~~ =2 уз= ( — + — ! +(С~+1)!+С~!п!+Со ! =1.
Из двух последних уравнений находим С, = 2, С, = — Тг. Частное решение имеет вид 1 3г 3 1 17 х=!+!не, у= — + — 1 + — !+ — !пт — —. ~ 6 4 2 2 12 258. у'" — е "" = О. м Это уравнение вида Р(ум 'г, угм) = О при и = 3 и г (и, е) = е — е ' = О. Согласно и.1.2 имеем б! = е 'бх. Интегрируя последнее уравнение, находим х = е' + Со ВОСПОЛЬЗуЕМСя ураВИЕНИЕМ уо = С. ИМЕЕМ б(у') = (ба = !Е ОГ, ОтКупа у = ~ !е а( + Сг — — е (! — 1) + Сь откуда г((уо) = е ~ Их, или Для получения функции у Интегрируем еще раз / г(у = ~(е (! — 1)+Со) о(х+ Сз — — ~(е'(С вЂ” 1) + Сз)е'г(!+С>, еи Г 33 у= — (г — — ) +се +с.
2 ( 2) Окончательно имеем ел l ЗХ х = е'+Си У = (à — -) + Сзе'+ Сь > г) 260. уо' + у" — ! = О. м Как и в предыдущем примере, полагаем у" = л(х). Тогда х' + х~ — 1 = О. В полученном уравнении разделяются переменные: о(х = бх. хт/1 - хт Проинтегрировав, получаем л = ~мп(а+Со), или у' = хз!п(х+С~). Интегрируя еще два раза последнее уравнение, окончательно находим (у — Стх — Со) = мп (х + Со). Кроме того, имеем еще очевидное решение .2 у = ~ — + Сох + Со. > 2 259. у"' — уо = О.
< Уравнение относится к внлу Р(у~" ", у'"') = О, однако, в отличие от предыдущего примера, для его интегрирования применим другой способ. Полагая в нем уо = х(х)„получим уравнение первого порядка л' — л = О, общее решение которого л = С,е*. Следовательно, у" = С,е*, откуда у =С,е*+Сгх+Сг в Гл.
2. Дифзуереициальные ураииеиив амсших порядков 1!8 Првивчавке. Решение этого уравнения можно получить в параметрической форме, если вослольюваться тождествам в!л С+ савва — 1 и О. Действительна, полагая э данном уравнении ув = илз, уя = сов!, мажем записать Д(ув) = сов!ля, или 4(йлС) = сов(з(х, атвуда х = С+ Сз (сов! ~ 0). Далее, 4(у') = = яп с ах = яа(дС, атвуда у' = /в!лгз(С+ Сз = -савг+ Сз.
В сваю очередь, азсюдв следует, что ну = (сз — сов с) лх = (сз — сов с) ас. аазгому у = ((Сз — савг)Ш+Сз = Сзг — ялС+ Сз. Кроме того, имеются еше решения уравнения ув = я!, которые не принадлежат общему решению. 261. у" +Зуву' — у =О. и Положим у" = Су . Тогда из уравнения получим, что у' = с ' — Зс ', у' = О. Таким образом, данному уравнению соответствует система уравнений у'=С '-ЗС ', уа=С '-ЗС ' (С~о), у'=0. поскольку зс(у') = у" всх, то в сину первых двух уравнений системы находим б(С-'- ЗС-') = (С-'- ЗС-')бх, откуда г (2С вЂ” 1)бС зг! !С~ х=з~ +С, =З~- — Л вЂ” 1+С!, l с'(! — зс) ' (,с !1 — зцс Из первого уравнения системы имеем гсу = (-зс ' -~ бс ")в(с, откуда у = Кроме того, как следует нз третьего уравнения системы уравнения. М 2бг.„-'+/ у~=0, М Полагая в данном уравнении у' = хсЛС, получаем у' = х — вЛ21. 1 2 Отсюда следует, что с((хсЛС) = х2вЛ2(з(х, или ! -в — С вЂ” 21 + Сз. 4 у = С есть также решение данного 2бЗ.
ув+ 2ув Лгу' — 1 = 0. м Ввали параметр С по формуле у' = С, из уравнения получаем ! 1+2!пС Так как о(у') = у" в(х, то в силу параметрических представлений произещных у' и у" имеем уравнение в(х 1+ 21пС Интегрируя уравнение (1), получаем и=С(2Л С- И+Со Функцию у находим из уравнения у' = С, пользуясь (1): , 4(у = С з(х = С(1 + 2 Лз С) ПС, у = С Лз С + Сз. в(с в(х = х —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
