Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 29
Текст из файла (страница 29)
м По аналогии с изложенным выше, имеем у' = г(х), хг'(х) = (1 — х)г(х). Разделяя переменные и интегрируя, находим — = (~ — !) й~, !л !г) = (п (х( — х + (п Сп откуда г = С|хе *, или ун = С~хе™. Применяя двукратное интегрирование к последнел1у уравнению, получаем у = С,е *(х+ 2) + Сгх+ Сз. ° 274. ху" = у' 1п У . и Так как уравнение не содержит янно функцию у, то, применив замену у' .=.
г(х), порядок уравнения можно понизить на единицу. Имеем аи ах и(1п и — 1) х Интегрирун, находим !и ! 1п и — 1! = (п ф Ч- 1п С„откуда и = е'+с'*. Следоватетьно, требуется проинте|рировать уравнение у' = хемом Имеем глс,* 1 у — (х- — )+Сг. Кролле того, разделяя переменные, мы потеряли решение и = е, или у = + Ч-С, которое, однако, может быть получено из общего решения предельным переходом при С, — 0 и С, = С+ — г. е с, Действительно, пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, можем написать: е е у = — !лх — — ) ~1+ С,х+ — х + о(С,)~ + С+ — = — х +С+ о(1) прн С~ О. > ') С,' 2 275. ху'у" + у' + 1 = ау")11! + у".
м Произведя замену у' = г(х), получаем дифференциатьное уравнение первого порядка хгг'+ г + 1 = аг'Л+ г'. Положим г = гйт (!1) < Тя), Тогда Нг йг 1 1 ах а( ' а х'солт( и и последнее уравнение примет вид х созе+вял!=а, откуда легко находим х х = С, соз1+ а япб (1) Принимая во внимание (1), из уравнения г = Гйт = -л получаем ав ах У = / тат г(х+ сг = / гй 1 д(с сон(+ а Яп 1) + сг — — -с 1п )!й Я + Я ) ( + с Яп1 — а сон( ч с,, (2) хг =г1п-.
Полученное уравнение является однородным, позтому воспользуемся заменой г = хи(х), где и— новая неизвестная функция. При этолг получим уравнение (и+ хи') = и!ли, в котором перелленные раздезиются: у 2. Урашеиия, допускающие иоишкевие иориюса 125 Итак, уравнения (1) и (2) представляют общее решение исходного днфференциалыюго урав- нения в параметрической форме. М 276. х у'" + 2хзу" — 1 = О.
< Замена у" = з(х) приводит к линейному уравнению первого порядка х з'+2х а — 1=0, 4 3 обшее решение которого имеет внд з = -т + — у. Следовательно, ! х х С, откуда двукратным интегрированием находим 1 у = — — С, 1п!х!+ С х+Сз. м 2х 277. у" +2уу" = О. М Уравнение не содержит явно переменную х, ноэтому в соответствии с п.2.2 полагаем у'=р(у).
Тогда у" = р~ и уравнение запишется в виде йа Рв р +2ур — =О. "р г(у Отсюда находим р = О и р+ 2уйй = О. Из первого из двух последних уравнений получаем у = С, и у ,3 С а из второго имеем р = г, или у = — г, откуда у' = ~~( —, или хс! — д ~ — ) = з(х (Сз й О). Гс, ( у г' у 'з ')/С, (,С,) Интегрируя, находим 2С! Ру!з у Зх ЗСз'г 9 3 ~ — 1 — ) =я+С„или у =С!( — + — ) = — (х+С,) .
З (СУ' з, 2Сз 2Сз,) 4С! Окончательно имеем у = С,(х + С,), у = С, з 2 где Сз — новая произвольная постоянная. м 278. уу" = у" — у". м Как и в предыдущем примере, полагаем у' = р(у). Тогда у" = РЯ и у пр з з УР =Р Р йу Полученное уравнение распадается на два: '(Р Р=О и у — =р — р. Из первого уравнения следует, что у=С, и из второго — что у С!+ у Интегрируя последнее уравнение, имеем х = С, 1п 1у(+ у+ С,. м Гл. 2. Ди$$ереииивививе уравнения высших порядков 126 279.
ув+у~ = 2е ". М Согласно п. 2.2, после замены у' = р(у) получаем 1 бз р — + р = 2е ", или — — + з = 2е ", бу ' 2 ау где з = р'. Последнее уравнение линейное и его общее решение имеет вид в=Се "+4е ". Подставив сюда з = у, получаем уравнение у =Сге "+4е ", или у =х Сзе 2" +4е ", интегрируя которое, находим бу * =х+Сг, 1 или х — ззгСз + 4ет = х+ Сг, 2 у =!п(С, +(х+ Сг) ), где С, — новая постоянная. 2ЗО.
у'-М-'1=0. М Уравнение не содержит х, поэтому полагаем у' = р(у). Тогда ув=р —, у'в=р(р' +ррв) и р'р' — 2р'(р' -1-ррв)+1=0. бу' Отсюда следует, что г(и 1 р =и —, и +2рии' — — =О, или гзр р2 где и = иг. Общее решение последнего уравнения имеет вид: с, ,2 Сз 1 г Р Р Р Р 1 ю+РФ р2 откуда /с, Р = х р Интегрируя уравнение (!), получаем Р г(Р 2 г —— =у+С„или х —,згСр — ЦС,Р+2) = у+Сг.
/ ГСР-1 зс2(( Воспользовавшись соотношением 2(х = и уравнением (1), имеем Дн Р бр бх = ж ,УС,Р-1' откуда интегрированием находим 2 г —— е = ш — з/Сзр — ! + Сз. = с)( Наконец, исюночив параметр р из выражений для х и у, окончательно будем иметь: !2(С У вЂ” х) = С (х — Сз) — 12(Сз+ Сгсг), или 12(С У вЂ” х) = С (и+ Сг) +Сз, где Сг и Сз — новые произвольные постоянные. (ь Првиечваае. данное уравнение не содержит явно переменной у, поэтому начать решать его нощно было бы с замены у' = з(х).
Предавшем читателю убелитьсв в том, что такой лугь также лрншшит к полученному ответу., ,г в ! р +2рр — — =О. ,г Так как полученное уравнение явно не содержит аргумента у, то производим замену р' = и(р). Имеем д 2. Уравнения, допускающие иавюкеиае нарядив ! 281. уу" +у~ = Л+ху Ы Замечая, что левую часть уравнения можно записать в виде (уу')' и полыая уу' = х(х), иолучим уравнение 127 тг1+ ху переменные в котором разделяются. Проинтегрировав его, находим; х = С, (х+ гх'+ 1) . уу' = С, (х+ ь'Р+ !), Таким образом, опсуда следует, что уз = С (хз + хъ/хз + ! + !и (х + ъ/хз+ 1)) + Сг. ы 282. 'уух — 2 'у' + уу'+ у' = О.
М Поскольку функция Р(х, у, у, у) = ' уух — 2х у +худ +у хи +и+ х= О, из котоРого следУет, что н = -2 + — хь. Отсюда, и из подстановки У' = Ух, пслУчаем УРавнение х С у' С, +х' у х(С, — хз) где С! — новая постоянная. Проинтегрировав его, окончательно находим С,х у= С! — хз 283. хуу" — ху' — уу'+ У, = О. М Это такхге однородное уравнение. После замены у' = ух(х) получим уравнение ххз хх — х+ =О, з/1 — х' которое можно зависать в виде х — = -У1 — х'+С Интегрируя уравнение х или у х С! — Л вЂ” х ' вследствие тождества х(у(ул — 2х'(гу)'+ х(у(У + (1 у)' = Г' ( г уу™ — 2х'у' + хуу'+ у') однородная относительно переменных у, у', у", то данное дифференциальное уравнение однородное. Следовательно, согласно п.2.3 порядок такого уравнения можно понизить, применив подстановку у' = ух(х).
Тогда получим уравнение х х' — х х +хе+1=0. Это уравнение Эйлера — Рикхати. Неносредственной проверкой можно убедиться, по х =— 1 есть его часпюе решение. Поэтому посредством нодстановки х = — -ь — „приходим к линейному 1 1 уравнению Гл. 2. Двффереяцвальиые ураввевил высшик иорядков 128 окончательно имеем (п)у) = А — аз+ С31п~С3 — ь31 — аз~+С,. ~ 284. хуу'+ худ — зуу' = О. и Полагая в уравнении у' = уз(х), получаем: х(22 4 з') — Зз = О.
2 Решив зто дифференциальное уравнение, имеем х = — 2 —. Далее, интегрируя уравнение х +С3 У3 2хз *+с,' находим: У = С2 ФС3+ х4!. ~ 285. У(ху" +у') = ху' (1 — х). м используя однородность уравнения, полагаем у' = уг(х). тогда получим (хз)'4-(хз)' = О, откуда (хз)' — = -1. (хз)2 ИнтегРиРУЯ, находим ху = х 4 С„откУда з = -(- + С-), илн у х(х+ С3) Интегрируя еще раз, окончательно имеем 3 1 4хуу — (х+1 ы((4хуу — х+у). Очевидно, что такое тождество выполняется лишь при условии 4яг = 2, т.е. при гл = 2 (и при 1 этом а = 2). Следовательно, данное уравнение обобщенно однородное и, согласно п.2.4, лля ! начала его и1пегрирования пользуемся заменой х = е, у = е 3 и(1).
Имеем ет (ур+ и'(1)), ги =е 1( — +и), ег (,2 е — (е 2 (и ьи)) =е 2 (и — — ), 4'У у Подставив значения производных, х и у в исходное уравнение, после некоторых преобраюваний получаем: 4и'и" = 1. Последнее уравнение явно не содержит переменную 1, поэтому посредством замены и' = р(и) понижаем его порядок на единицу: 3йР 4ри — = 1. йи 286. 4хзузуь = хз — У4 м Проверим уравнение на обобщенную однородносп . С этой целью вместо переменных Х, у, у'.
у" ПОдСтаВИМ В ВЫрЮКЕНИЕ дпя фуНКцИИ р(Х, у, у', у") = 4Х'узуь — Х'+ у' СООтастетасино (х, 1 у, 1 'у', 1 зу" и, если это возможно, подберем значение лз таким образом, чтобы выполнялось тождество 129 82. Уравнения, довускшшцве иовиагевве иорядка Проинтегрировав последнее уравнение, находим // ! нли р = ш/„7С, — —.
4иг ! 4р + — =С2, и2 Далее, интшрируем уравнение и' = ш)/С, — — т .' / !, 4н ш — )/'4С2и — ! =!+ С, 2С, и 7(и +2 / =1+ Сг, или ./ ь/4С~ нг — ! откуда и = Сг(/+ Сг) + —. 7 2 С/ Окончательно получаем решение уравнения в виде Х = Е, У = е ~с/(1 + Сг) 4- †// . !и 2 Г / 2 4С~ ! Замена и' = г в последнем уравнении приводит к уравнению с разделяющимися переменными Зг' = г' — Зг, интегрируя которое, находим г — 3/ 3 1п~~ ~=/+Си нли х= =и. 1 — С,е' Интегрирование последнего уравнения приводит к следу/Ощсму рЕЗУльтатУ: 4(е ) ) 3! — 31п)1 — С2е'!+ Сг, если С2 конечное, /' е'(1 — С~ег) ! Сь если С, = оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
