Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Здесь фусскции уг(х) = х — у-( — и «Ь'(х) = — —; — ч х — Ь уь — х непрерывны при !х/ < Ь, а = 2, следовательно, решения у = ~(Ь(х) = Ы/6- з' — особые для 1 каждого нз уравнений (1), т. е. кривая х + у = Ь дейссвительно является особой. м 228. у — 2ху' — у" = О. М Здесь г(х, у, у') = у — 2ху'-у, частная производная  — — — 1 ограничена, а из уравнений дс у л' = у — 2ху — у' = О, — г — = -2х — 2У = О следует, что особым решением может быть только г др ду функшш У = -х .
Однако, как лепсо проверить, у = -хг не является решением уравнения, г следовательно, особых решений нет. м Гл. 1. Дпфферовциальные уравнения первого порядка 229. у + ~х+ — ) у' — (1+ х ) у — — = О. д ! х з х' г) 16 ~ Разрешая уравнение относительно производной, получим 1 ( '') Л+х' у = - - ( х -!. — ) х 16у + х4 + 4хз 2~ 2) 4 Полагая здесь и = у 4 Гг ! х~ + 4х'), имеем ! / 4 и' = ~ЪГ!+ хз гй, и > 0 Так как функции хчгТ4- хг непрерывны, то, со~ласно примеру 224, решение и ш 0 — особое. А тогла у = -!6 (х' + 4х ) является особым решением исходного уравнения.
> 2г з 230, угу' — " + а = О. х М Полагая у' = 2и и разрешая полученное уравнение относительно и', находим и = — * — зги' — а х, и > О. г22 х ф Применим результат решения примера 226. В данном случае (г'(х) 1 1 — )г(х) = х— гр(х) х !х( есть непрерывные при х ~ О функции, а а = 2. Следовательно, и = шах (х Ф 0) — особые ! решения. Тогда у' = 2!ах( является особым решением исходного уравнения при х л О.
!ь 231. х+ уу' — ау' = О. М Из уравнений — = гу'(! +. ') = о, ду Р(х, у, у') = О, получаем уравнение у — у = О, содержащее решения исходного дифференциального уравнения у = 0 и у = 1, которые могут бьць особыми. Разрешив данное уравнение относительно производной, имеем 2у игу — 1 "'=+,уг+. (1) поскольку правая часть уравнения (1) существует цри у > 1 и у = О, то решение у = О является изолированным. Ь дР Рш х+уу — ау =О, —: — у — 2ау =0 дуг путем исключения у' находим кривую у' 4 4ах = О, которая, как нетрудно непосредственно проверить, не есть особая, поскольку функции у = агут-ах хне являются решениями данного дифференциального уравнения. Ь 232. уу" + у'(х — у) — х = о.
М Разрешим уравнение относительно у'. Получим у =1, у~О и у =--, уЫО, у Поскольку правые части полученных дифференциальных уравнений н нх частные производные по у разрывны только при у = О, а функция у = 0 не является решением данною уравнения, то особых решений нет. П 233.4у'-4у'= (1+ ')у'. ~ Записав уравнение ввиде Р(х, у, у ) = О, где Р(х, у, у ) = 4у'-4уз — (1!х ) у' и исключив у' из системы уравнений 105 Ф Р. Особые ранения Првмечавве.
Решение у = Р(х) называется иэогировоннмм, если в некопзрой его окрестности ие проходят другие интегральные кривые. з Полагал в (1) у = 1+ с(х), тле 0 < г(х) < 1, н пренебрегая функцией гз(х), можем юпнсвзь е(х)м 2(г(х)) (2) хЛ+*'' Приближенное уравнение (2) имеет решение г(х) = О, которое, квк следует из примера 224, есть особое.
А тогла зьти уравнения (1) решение у = 1 также будет особым. 234. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнения. а) у = Сх' — С', б) ху = Су — С'1 в) у = С'(х — С)'. < а) Так как функция Ф(х, у, С) = у — Схз + С' непрерывно дифференцируема, то согласно п. 9.2 дискриминантная кривая семейства интегральных кривых у — Сх + С = 0 удовлетворяет з 2 систелге уравнений дФ вЂ” = — х 42С= О Ф= у — Сх +С =О, з 2 2 дС дф Ф = ху — Су+ С = О, — щ -у+ 2С = О, з ДС откуда С = $ и у — 4ху = 0 — дискриминантная кривая, распапаюзцаяся на две: у = 4х 2 н у = О. На первой кривой ( ~ — ) + (-д„-) = 17х' ~ О, на второй — (д — ) + (.д — ) = х' ~ О.
Так как кривая у = 4х ни при каком С не принадлежит семейству Ф(х, у, С) = О, то согласно п. 9.2 она является особым решением соответствующего дифференциального уравнения. Вторая кривая у = 0 (х ~ 0) принадлежит указанному семейству, поэтому вопрос о том, является ли она особым решением, остается о~крытым. Для решения вопроса предсщвляем кривые семейства при х Р' С ввиде С' С— (1) Поскольку у'(х,) зс 0 при С ~ О, то кривые семейства (1) не касаются кривой у = 0 (х Ф 0), значит, последняя по определению не является особым решением. в) Искаючан параметр С из уравнений дФ вЂ” = 2С(х — С)(2С вЂ” х) = О, дС Ф(х, у, С) еа у — С'(х — С) = О, получаем две ветви дискриминантной кривой 4 у= — и у=О.
16 Поскольку первая ветвь данному семейству не принадлежит и на ней то она яввясщя огибающей. Вторая ветвь принадлежит семейству, поэтому несмотря на то, что -д — — — 1 зе О, нельзя утверждать, что она также будет огибающей. дФ у 4 из которой путем исключения параметра С следует, по у = -4-. Получили явное выражение для дискримннантной кривой. Всилутого, что -д — — — — 2Сх = — х, -уй-. = 1, (~--) Ф !.д — ) = 1+х ~ 0 надискрими- ДФ з ДФ ДФ з ГДФ з нантной кривой, и кривая у = -4- данному семейству не принадлежит, то последняя ящшется 4 огибающей, т.
е. у = -4- — особое решение соответствующего дифференциального уравнения. б) Аналогично предыдущему имеем Гл. 1. Диффевенцяюитые уравнения нераого порядка 106 Проверим условия касания кривой у = 0 к остальным кривым семейспи. Пуси хь — произвольная абсцисса. Тогда нз условия касания следует, что должнм выполняться рааенспт у'(хь) = 2Сз(хь — С) = 0 у(хь) = С (хь С) = 0 С ~ О.
Легко видеть, что они выполняапся при С = хь. Следовательно, через каждую точку (хь, 0) проходит по меньшей мере две кривые: у = 0 и у = хь(х — хь), имеющие в ней обшую касательную, з 3 поэтому кривая у = 0 является огибающей. т 5 10. Задачи иа траектории 10.1. Изогоняльвые в ортоговжэьвые трвекторвв. Р(х> у>--') = О (2) есть уравнение ортогональных траекторий. Проинтегрировав затем уравнение (1) нли уравнение (2), получим семейство изогональных нли семейство ортогонавьных траекторий. Если имеем семейство кривых Ф(р, В, С) = О, заданное в полярной системе координат р, В, и Р(р В, р') = 0 — дифференциальное уравнение этого семейства, то изогональные траектории ((ь Х Т) можем найти, проинтегрировав уравнение Р(р,в, Р(в-'+ "Ф) = о.
(3) Для отыскания ортогональных траекторий следует проинтегрировать уравнение Р(р,в,-р ) =о. (4) 10.2,. Эволюта в эвольвевта. Геометрическое место центров кривизны, отвечаюших возмохагым точкам некоторой кривой Г, называется эаалттай К этой кривой. Кривая Г по отношению к своей эвалюте К называется эьальллнтай. Основное свойство, связмваюшее кривые К и Г, состоит в там, что касательная к эволюте являетсл одновременно нормалью к эвольвенте. Таким образом, если известна эвалкпа, то семейство эвольвент можно найти, рассматривая их как ортогональные траектории семейства касательных к данной эволнне.
Пусть 1 = 1(1), О = О(1) — параметрические уравнения эвопоты, Тогда, использовав указанное выше свойство, параметрические уравнения семейства эвольвент х = х(1, С), у = у(1, С) можно определить из системы дифференциальнмх уравнений 1 >(х г)г л > Оизи й > (5) У = И+ (х - ОО'. Расшив первое уравнеггие этой системы н подсшвив найяеннае х во второе уравнение, получим парвмагряческие ураянения эвальвенты. Линии, пересекаюшне все кривые данною семейства плоских кривых под одним и тем же углом у>, назывюотся изагаиальиыии траектартиии этого семейства.
В частности, если у> = ~Т, то нзагоналы>ые траектории называются артагаилльиыии. Для отыскания изогональиых траекторий семейства кривых Ф(х, у, С) = 0 следует сначала составить дифференциальное уравнение ухазанного семейства. Пусть г (х, у, у') = 0 — дифференциальное уравнение данного семейства. Тогда уравнение Г(х, у, .У-.= †„-,) = О, (1) где гп = гй у> (ь> ~ Т ), является дифференциальным уравнением нзогональных траекторий, а урав- нение !07 $10.
Задачи ва траеатории Найти ортогональные траектории семейств линий. 233. у =.*.. < Согласно п.10.1, сначала составляем дифференциальное уравнение данного семейства Ф(х, у, а) = у — ах'. Имеем ОФ Ф(х,у,а)=0, — =у — аах» =О. Отсюда путем исключения параметра а находим нужное уравнение ху — ау = О. Заменив в последнем уравнении у' на — — „получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий 1 у х — + ау= О. (1) Общий интеграл уравнения (1) имеет внд х +ау =С. Таким сбраюм, если а ( О, то семейство гипербол оргогонально другому семейству гипербол; если а > О, то семейство парабол ортогонально семейству эллипсов; наконец, если а = О, то семейство горизонтальных прямых ортогонально семейству вертикальных прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
