Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 21
Текст из файла (страница 21)
8.1, имеем ( 14 з 2 уа — — 0; уо(х) = ~(1 — у )дг= —; у,(х) = / (( — — ~ о(!=в а а У(2 15 'ьа ха ха хо хп у~ Г 11 х х х х ~, 2 20) ) 2 20 160 4400 о Оценим погрешность полученного приближения. Легко установить, что решение данной задачи существует и единственно на сегменте — -т- (~ 1 о'4 < х < -,—, так что последовательные приближения 1 т'4 у м(х) = уо+~1(1, у (1))Ж оо равномерно сходятся на этом сегменте к решению интегрального уравнения р(, ) = до + / У(1, р(1)) й. (2) ум 'я оо Втт) ~(2+о) о а(2 ы, ю Шо,оаоя М зГ2(2+Ь)з' дЬ (,(2+Ь)з) находим, что Ь = 2 и а ) Ьу(2) = ~г — — > 0,1.
Следовательно, на сепченте -О,! < 1 < 0„1 2 2 - 'ЬУ(2) — —,~З4 —,44 существует единственное решение. Если применим лемму Бихари, то сможем указать сегмент существования и единственности ! 1 — 3 <1< 3. Действишльно, из интегральных уравнений рассматриваемой задачи следует, по (х(1)! < 1+ / (у(о)!'до, (у(1)! < 2+ /)х(о)! Ио, а о Гл. 1. 2(иФфереиннальиые уравиещщ первого порядка Вычитал почленно из (1) равенство (2) при х > хо и оценивая соответствующие разности лля и Е Ео, получим « « !У(х)-уо! ( /И(С, у(С))!а =/!р(С))41, Р(С) =И(С, у(С))!, «о «0 « ««з « !У(х) — уз(х)! ~( э/(1С(С, у(С)) — С (С, уо)1!йС (~ Ь / с(х! / ЧЗ(С) 5(С = Ъ /(х — и)уо(и) 5(в, (3) «О «0 Ь« !У(х) — у«(х)! ~ (/ )~(С, у(С)) — у(15 у„з(С))(о(С (~ — /(х — и)"Уз(п)5(п, «0 «0 где Ь вЂ” постоянная Липпзица Функции у по переменной у в прямоугольнике СС = ((х, у) Е Ж~: !х — хо! < о, !у — уо! ( Сзо) В рассматриваемом случае Ь ~ (шах !2У(х)! = 2ЦуЦ !С(в) = !и — у (и)! < !п!+ ЦУЦ, и = 3 !«,гзоя хо — — О, поэтому из (3) получаем оценку 0,5 ЦУ вЂ” УзЦ ( — ЦУЦ' /(х — п) (и+ЦУЦ )5(и < — ЦУЦ /(0,5 — и) (и+ЦУЦ~)5(и = (О,1+ЦУЦ ).
(4) Остается оценить ЦУЦ на сегменте 0 < х < 0,5, который содержится в сегменте (--г —, -5 — ~. 1 1 С Из леммы Бихари следует, что !д! < Т5 ~х (см. пример 201), где С = шах $- = 0,125. ОД«<0,5 Поэтому ЦУЦ ( -1 — -ф20-05 < 0„134. Принимая во внимание оценку (4), окончательно имеем 0 125 Цд — узЦ < О,б. ГО '. М 203. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить области на плоскости хОУ, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения: а) у' = 2ху+ у; б) у = 2+ ~/«у — 2х; в) (х — 2)у = згу — х; г) у' = 1+ !Лу. М а) Функция у(х, у) = 2ху+ у' непрерывна в любой части плоскости хОУ, а ее производная В = 2(х 4 у) ограничена в любой конечной части Р этой плоскости.
Следовательно, дг У по теореме Пикара через каждую точку (хо, уо) Е Р проходит единственная интегральная кривая уравнения а). б) Функция С (х, У) = 2+ (гу- 2х непрерывна у (х, у) Е Жз, однако ее частная производная ч- = 3(у — 2х) з ограничена только при у и' 2х. Тогда, по теореме Пикара, через каждую точку ОГ 1 Уд (хо, уо) Е Ж, где уо Ф 2хо, проходит единственная интегральная кривая. в) Воспользуемся теоремой п.8.2. Функция Г(х, у, у') = (х — 2)у' — /у+ х удовлетворяет условиям: 1) она непрерывна при у > 0; 2) частная производная — „-г = х — 2 ~ 0 при х Ф 2; др ду' 3) ЧаСтяая ПрОИЗВОдиая  — — — -ч„-,- ОтраинЧЕНа Прн у > Е > 0; 4) уо « -' 5 Х вЂ” ЕдИНСтВЕННЫй Ог" 1 2су х — 7 действительный корень уравнения х.(х, у, у') = О.
Следовательно, через кюкдую точку (хо, уо) плоскости хОУ, где хо ~ 22 .55( (уо > о > О, проходит единственная интегральная кривая уравнения в). г) ясно, по при у и' ~т + Бог, й Е Е, правая часть уравнения непрерывна и имеет ограниченную частную производную по у. Следовательно, по теореме Пикара, через кажлзчо точку плоскости хОУ, эа исключением прямых у = от+ух, проходит единственная интегральная кривая рассматриваемого уравнения.
И $8. Суп!еетповввие и сдиихшевиасеь ршиешш 91 Пввиечевве. Если функпня т в задаче Коши имеет в прямоугольнике и ограниченную частную производную ч»е, то она автоматически удовлепюрвет условию Лившица. дг 204. При каких неотрицательных а нарушается единственность решений уравнения у' = (у)" и в каких точках? м При неотрицательных а функция у(х, у) = !у~' непрерывна, поэтому уравнение имеет решения. Если у ~ О, то частная производная н- = а1У~' збпу существует и ограничена в у каждой конечной части плоскости хОУ. Следовательно, по теореме Пикара, если у ~ О, то при любом а существует единственная интегральная кривая, проходяшдя через заданную точку.
Если у = О, но а > 1, то функция у удовлетворяет условию Липшица: !У»(' = !у,!' ')У,) < Ь|у,~ (здесь у! — — 0). Поэтому, согласно теореме Пикара, единственносп решения и в этом случае гарантирована. Остается проверить случай, когда 0 < а < 1 н у = О. Возьмем произвольную точку !!у(хе, 0) на оси Ох. Очевидно, что через эту точку прохолит 1 — » интегральная кривая у = О. Однако через эту точку проходит также кривая ?' — »бп у = * — хе, являющаяся решением рассматриваемого уравнения. Таким образом, при 0 < а < ! в точках (х, 0) б Е' наруцшется единственность решений данного уравнения.
в 205. С помощью необходимого и достаточного условия единстиенности для уравнений вида у' = у(у) исследовать дифференциальные уравнения: а) у =(у — 1)(г!у'; б) у =агссозу; (О, д=О м Согласно указанному критерию, если непрерывная функция у ~ О, то решение уравнения существует и единственно. Если же у(у) = 0 при у = С = сопл!, то вопрос о единственности с ! ле решается с помощью исследования на сходимость несобственного интеграла з! -у(-) .
Если этот »» ннтв»рал расходится, то у = С вЂ” частное решение, в противном случае через кажлую точку прямой у = С проходят другие инте»ральные кривые. В случае а) имеем С = 1 и С = О. Функция г'(у) = (у — 1)тгу' непрерывна прн у > О. Поскольку несобственные интегралы ! о йд »(у (У» > 0; у» х !) и / (О < уо < 1) (У-1) гу ~» (д- !)ьгд' расходятся, то через каждую точку полуплоскости д > 0 проходит единственная интегральная кривая даннопз дифференциального уравнения. 1 В слУчае б) С = 1 и несобственный интегРал з! — „их»до»у (-1 < У, < 1) сходитса„так как л „= О ~~ — ) при у -» 1 — О.
Поэтому через каждую точку (х, у), где -! < у < 1, ~»Г1-у проходит единственная интегральная кривая, а через каждую точку прямой у = 1 — любое число имгегралънъ»х кривых. В случае в) С = 0 и С = 1. Так как несобственный интеграл е »» / » = / — (0<у»<1) сходится, а несобственный интеграл = / —, (у.>О, У,~П »» и»» Гл. 1. Дифференциальные ууавнеивв верного порядка 92 расходится, то через кюкпую точку верхней полуплоскоспг, за исключением прямой у = О, проходит единственная интегральная кривая. Предлагаем читателю выполнить геометрическую иллюстрацию рассмотренных случаев. С» 206. При каких начачьных условиях существует единственное решение следующих уравнений и систем? а) у" = !уу+ то/хх; в) у — уу' = тз/уу' — х; б) (х+ 1)у = у -Ь т/у; ох з г) — =у +!п(С+ !), гй о(у о х — = чгу — С.
дС ум = - (уо - о уу' - *). у г) Так как функции С!(С, х, у) = у~-Ь(п(С+!), Ст(С, х, у) = — (гу — С и их частные производные Ь 'г б Си = О, -д — ' —— Зу, д-'- = — — 'С вЂ”, д — =, — непрерывны при х ~ О, С > — 1, у Ф С, то через каждую точку (Са, хо, уо), где Со > -1, уо ~ Со, хо ~ О, проходит единственное решение (х(С), у(С)). Заметим, что в случае системы уравнений -~С- — — 2, ВТ = С, и т.д., ее решение лх да является вектор-функцией с координатами х(С), у(С) и т.
д. С» 207. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости хОУ пересекаться в некоторой ~очке (х,, уа) а) для уравнения у' = х + у'? б) для уравненил у" = х + у'? < а) Так как функция ~(х, у) = х + у непрерывна вместе со своей частной произволной 2 Х = 2У в любой конечной части паоскости хОУ, то, согласно теореме Пикара, через каждую д у точку (хо, уо) проходит единственная интегральная кривая уравнения у' = х+у', т. е, пересечение графиков двух его решений в этой точке невозможно. б) В силу непрерывности функции 1(х, у) = х + у и ее частных производных ча-.
= 2у, 2 дг дг г — т = О, через каждую точку (хо, уа, уо) проходит единственная интегральная кривая. Последнее, ду однако, не исключает того, что через точку (хо, уо) проходят две различные интегральные кривые с различными угловыми коэффициентами касательных к ним, т.е. пересечение графиков двух решений в некоторой точке (хо, у,) возможно. Этот факт можно установить и непосредственно, дважды проинтегрировав данное уравнение и приняв во внимание, что у(хо) = уо. Тогда получим 3 2 з хох хо l 2 У(х) + уах -Ь Уо Уоха + + (х С)у (С) дС. б 2 3 оо Очевидно, что любая кривая у(х) проходит через точку (ха, уа), однако кажлая из них имеет в этой точке "свою" кнсательную с угловым коэффициентом уа. М М Воспользуемся утверждениями п.8.4.
В случае а) имеем ?(х, у, у') = гйу+ Кх. Функция Г' и ее частные производные -д- — — — т —, —, —— О непрерывны при у и' Т + йя, й Е К, ! дг я У сао у' ду полому в достаточно малой окрестности каждой точки (хо, уо, уо), где уа ~ Т + ля, существует х единственная интегрыьная кривая, проходящая через эту точку. б) Функция С (х, у, у') = — -Д- и ее частные производные уа- = - — -1-+ 2 — ~; — ~, —,. — — О дг ?~уй+П д,. непрерывны при х Ф -1 и у > О. Следовательно, через каждую точку (ха, уо, уао), где хо ф ! и уа > О, проходит елинстаенная интегральная кривы. в) Поскольку функция С(х, у, у', у') = — ! у" — тУУ вЂ” х) вместе с частными производными у~ = --т(у — ьГУ' — х), ~ = — - о, — ~ = — непдепывна цпи У» О и У ~ х, то через каждую точку (хо уо, уо, уа'), где уа Ф О и уаг Ф хо, прохолит единственная интегральная кривая уравнения я 8.
Сущеепюввяие и едяиствеииееп, решения 93 208. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости лОу касаться друг друга в некоторой точке (яо, уо) а) для уравнения у' = я+ уз? 6) для уравнения у ' = я + уз? в) для уравнения уо' = х+ ут? м а) касание двух различных интегральных кривь1х в точке (ло, уо) невозможно в силу теоремы существования н единственности (см. пример 207, а)). 6) Касание двух различных интегральных кривых означает, что через точку (ао, уо, у„') проходят две интегральные кривые уравнения уо = я+у~. Последнее же невозможно в силу теоремы сущеспювания и единственности решения. (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
