Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Получим общий интеграл в воще ф(х, у)=~' —,В=С, г !+у х(у — 1) +(п~ — ~~=С. (1+у)з ' х+у о Уравнение имеет также тривиальные решения х = 0 н у = О, которые вюцочаем в общий интеграл соответсвенно при С = 0 н С = со. Ь 150. (х' — мп'у) Ох+ хмп2уду = О. м Саставнв дифференциальное уравнение для интегрирующего множителя ( дм,, дыд др хяп2у — — (х — ап у) — ) — = -2ап2у р, (1) дх ду) Ь внлнм, что оно допускает множитель вяла р = р(х). Тогда нз (1) следует, что хр'+ 2,я = О, откуда р = х . Разделив исходное уравнение на хз (х ~ 0) н проинтегрировав полученное, имеем 1 з о мп2!ОГ+ / ЛГ = сапа, хо ЗО О, хз оо нлн, окончательно 5!и у+х =Си.
Решение х = 0 включаем сюда прн С = са. а 151. х«ну+2! х- 1)йу=2уйх. а Из днфференцнальнаго уравнения для ннтегрнрующега множителя ( дм дмт др -х«ну+ 21пх — 1) — — 2у — ) — = р(3+ 1пу+ 2!пх) дх ду) ом следует, что оно допускает ог = 1п х + 2 !и у. Действительно, в ятом случае р'+ р = О, откуда 1 р=е хуз Разделив исходное уравнение на хуз (х ~ О, у и' 0), получнм уравнение в полных днфференцнвих 2 1 — ох — — «пу+ 2йгх — 1)Ну = О.
ху уз Общий интеграл уравнения имеет внд 2 Г й! г!и! — 1 !пх у Ф(х, у) = — 1 — — ) о! = сапог, нлн — = С, а у) г ) !з у 1 ! 152. (х + 1)(2хдх+ сазуду) = 2хзшуйх. а Полагая хо+ ! = и, и!ну = е, приводим уравнение к виду (и — е)йи+ аде = О, которое прн и Ф 0 можно записать тшс Ои иле — ейи г' е 'т — + = О, т.е. г((!пи+ -) = О. и .) Имеем )пи+ — „= сапа!. Следовательно, (х' + 1) )п(х + 1) + ап у = С(хз + 1).
> $5. Уравнения в ивяных двфферевцввлах. Ивтезувруюивзй мвожвтель 63 153. х'у'+ у+ (х'у'- х)у' = о. м Из уравнения для интегрирующего множителя ( з з Аы з з Оы'з г(/з (х у — х) — — (х у +у) — ) — = 2)з ах ду) з(ззз усматривается возможность выбора и = ху. Тогда будем иметь аз)з'+ р = О, опгуда 1 1 гз = ы ху Умножив исходное уравнение на р(х, у), получим уравнение в полных дифференциалах: (ху + -) ух+ (х у- -) з(у= О. Его общий интеграл имеет аил 3 у з„а Ф(х,у)= ~!+ — ! м+/(х! — -)гм=сопаг, или — е*" =с, л Решение у= 0 следует из общего интеграла при С = О, И 154.
(х' - у) ох+ х(у+ 1) йу = о. м Применяем метод разбиения уравнения на два; х Вх+хуз(у=о и хз(у — удх=о. Первое уравнение имеет интегрирующий множитель )з, = — и общий интеграл в,(х, у) = х + 1 3 + у = С„а второе уравнение — рз — — — г, из(х, у) ш х = Сз. Согласно указанному методу, 3 ! интегрирующий множитель лля исходного уравнения имеет вид )з= р (х +у) = узз® (1) где Рз, хз — произвольные дифференцируемые функции. Из (1) следует, что хрз з х + у з = 2 зз = узз®. Положим узз(х) = -„-~-.
Тогда получим 1 хрз(х'+у)=, = = ( >О). з/аз+у г ( )3 Следовательно, (зз(а) = — г — -. Таким образом, )з(х, у) = (х > О). Умножив исход- 1 згг+ аз" хз з.уз нос уравнение на р(х, у), получим уравнение а полных дифференциалах х' — у у+1 з(х+ Оу= О.
аз/хз+ у-' тгхт+ ут Его общий интеграл имеет вид у+ т/хт + уг /;тз.зз х з/из+аз у+ з/х'+ у' Частное решение х = 0 получаем при С = О. Непосредственно можно убедиться, что множитель Гз(х, у) пригпаен и для х < О. м 155. у'(убх - 2х Оу) = *'(х оу - 2у Ох). < Аналопзчно предыдущему напишем уравиениа у (узза — 2хз(у) =О и х~(хз(у — 2уз(х) = О. 64 Гл, 1, Дифференциальные уравнения первого порядка г р= —.„з р ®= —,„рг®, из которого следует, что Полагаем у' = хи. Тогда ! 377(и) = — 2 Рг(.* — и) (х > О, и > 0). замечаем, что правая часть последнего равенства будет функцией только от и, если взять 572(а) = = аз . Таким образом, 2 ! 4 7 177(и) = чги = узх з, р(х, у) = х зу з Умножив обе части исходного уравнения на р(х, у), получим уравнение в полных дифференци- алах ( ) 4 2 5 55 У ! ! 5 15 зуз+2хзу з) 4(х — (2х зу э+азу з) 4(У=О, Взяв в последней формуле п.
5.1 хб — — 1, уе — — 1, патучим общий интеграл уравнения 7 4 15 7 7 ! ! б 75 Ф(х, У) = / (1 3 + 21 з ) 4(1 — / ( 2х э( з + х з 1 1) 4(1 = сопи, ! ! 7 5 Хзрг или = С. х' — 4уг х'-4у'=С'гхуб Частные решения х = О, у = 0 получаем при С = О. в. 15б. (бх — 2У вЂ” 2уг)4(х+ (5у' — 8ху — х)4(у = О. М Для отыскания интегрирующего множителя воспользуемся методом разделения уравнения на два: (бх — 2у) 4(х — х 4(у = 0; (5У' — 8ху) 4(у — 2у' 4(х = О. Нетрудно установить, что нптегрируюзцие множители этих уравнений, а также их интегралы имеют вид: Р! — -х, )42 — — У; и,щ2х — х У=С!, игщ2Ух — У =Сг. 2 3 2 4 5 Согласно указанному методу, интегрирующий множитель данного уравнения ищем из сооюзоше- ння р = х(57(2х — х у) = у (гг(2У х — у ).
Отсюда 2 узг(2х — х у) = — )72(2узх — у ). 3 2 У 4 5 Полагая здесь уг = их, получаем У5 б х! (2уг — — ) = ирг(2~- — УУ), или б 5 узз(а) = иузг(и~а), где а = — — —, иэ и2' Пусть рг(г) = (х > 0). Тогда 1 1 1 рг(и а) = — = — (и > 0), 57'па а изГа Тогда уч = — т, и, = = СП рг = -з-, иг ев — = Сг — соответственно интегрирующие ! у, 1 х *у х у множители и интегралы этих уравнений.
Интегрирующий множитель исходного уравнения ищем из соотношения $5. Уравнения в полных дифферевииалах. Иитегрирующвй мналгвтель 65 Следовательно, 1 )г~(а) = —, тга' х 1 Мх,у)= „, = (2х>у). ьг2х" — х'у,г 2х — у Заметим, что для 2х < у аналогично можно найти р(х, у) = — г —. ! т~у — 2х ' В обоих случаях после интегрирования уравнения в полных дифференциалах и упрощений получаем стает (2х — у)(х — у ) = С. м 157.
х их + (ху — у') ву = о. и Пслесообразна записать уравнение в форме хох+ха — — о — = О 2 и положить 2- = и. То~да получим хая+ (х — 2и)ои = О. Уравнение для интегрирующего множителя этого уравнения имеет вид: ( Вы Вх~ йм (х — 2и) — — х — ) — = — р. Вх Ви,) В„ г (й( г х — 21 Ф(х, и) = / + / — а( = салаг. ~/Щ Дх=(! Паоле интегрирования и перехода к переменным х и у, общий интеграл исходного уравнения примет вил зяп (2х — у') ф2х — у'$ (х+ у ) = С, или (2х — у ) (х+ у ) = С. и 158.
Уз Вх + 2(х' — ху') йу = О. < Для кажлого из уравнений у йх — 2ху ау=о; 2х ау= О находим рч — — — г, и~ = -тт' рг = — г, ит = у. 1 х. 1 ху у х Следовательно, интегрирующий множитель лля исходного уравнения удовлетворяет соотно- шению 1 1 И = з 'Ри(„т) = з Рз(У).
Если взять )зг(у) = у ', то получим, чта уь (а) = а '. Таким образом, р(х, у) = у- и х у — ох+ 2 ~- — -~ йу = О ут г1 уХ х' ~у д Если взять ы = х — и, та отсюда получим уравнение 2игр'+ р = О. Следовательно, р = )э~ 1 = г = ()х — и!) Г. Поэтому левая часть уравнения хах х — 2и + Ии = О Дх — ~4 Дх — и~ является полным лифференииалом некоторой функпии Ф. Выбирая хе и' О, ие — — О, получим общий интеграл уравнения в виде Гл. 1. Дврфереиавшивые ураввеиия вервего порядка — уравнение в полных дифференциалах. Записав его общий интеграл в виде Ф(х, у) = / — +2/ <- — — ) «1 =согиг, l Ь х./ получим общее решение з у =Сез.м г 159. (у-х)«у+у«х-х«1-'1=О. з,у/ х/ хх з( х х) я е р ~ 1 — — ) «х + 1 1 — — + — ~ е з «у = О.
у у у Интегрируя, получаем: з 3 е з (1 — — 1 «г+ / «1 = салаг (Уз зе О), уз ( о Ю у + у — х = Суе з, или е з=С.и у'+у — х 1чкР (бхуз+ хз) «У У(ЗУз х)«х О М Поскольку уравнение бху «у — Зу «х = О имеет з и интеграл и~ —— х, а уравнение х г(у+ ху«х = О— з и интеграл и, = ху, та, согласно методу разбиения на неладного уравнения ищем в виде интегрирующий множитель р, = — т 1 зху интецзирузощий множитель )зз — — — з— 1 х у две части, интегрирующий множитель 1 з 1 р = —, узз <У«-) = — хз(ху), х !У з, з з откУда находим т)зз <Ух ) = Рз(хр). ПолагаЯ Узз ш у, полУчаем Узз <У вЂ” ) = лх-. Следовательно, 1 Зу (х) р = — з —. Умножив данное уравнение на р(х, у), получи~ уравнение в полных дифференциалах 1 ху < 3 — — — «х — < 6- + -~ «у = О. Его общий интеграл запишем в вице Ф(х, у) = ~ ~ — — -) «( — ~ (6 — + -) «Г = сопзз.
з з Вычислив интегралы, окончательно получим з~ е з ух = С. м ~ Для уравнения (у — х) «у+ у «х = О интегрирующим множителем является функция р, = = у, а интегралам — и, = уез. Для уравнения х«< — 1 = О интегрирующим множителем <У/ является функпия рз = —, а интегралом — из = —. В соответствии с методом разбиения имеем 1 х х' У' 1 я 1 Р= —,Р <Уе ) = — Рз®. Если положим рз(а) = а, та отсюда паз(учим, что — ее = узз з — ) . Следовательно, р = — ее есть 1 У (у/ У интегрирующий множизтль для даннага уравнения, которое после умножения на,и принимает вид $ б. Уравнение Эйлера — Рвкиати $6.
Уравнение Эйлера — Риккати б7 6.1, Уравнение Эйлера — Риккитн. Специальное уравнение Рнккати. Уравнение вида — = Р(х! + ('„2(х)у+ Я(х)у йу г (1) дх называется уравнением Эйлера — Риккагни. Если положить Р(х) = 6х', ('„2(х) ш О, В(х) = -а, где а, 6, и — постоянные, то уравнение (1) примет вид — +ау = Ьх'.
Юу (2) йх Оно называется снециальныи уравнением Риккати. Уравнение Эйлера — Риккати, вообще говоря, не интегрируется в квадратурах. Даже специальное уравнение Риккати приводится к квадратурам 4й 4й только в том случае, когда а = х) — -~~, где й — целое илн со. Если равенсг.во а = -!à — 2й выполняется при й > О, то в (2) делаем замену у = — г + — „, приводящую (2) к внлу 1 Фи аи2, 2 — + — = Ьх'~~, йх х' Полагая далее и = —, имеем 1 ««2 г — +Ьх е =ах Фх Наконец, после замены х'ю = г приходим к уравнению йи Ь, а — + — е = — х .~з, йз а+3 о+3 Эти преобразования проводим до тех пор, пока не получим уравнение с разделяющимися переменными.
Если равенство а = 3--2у выполняется при й ( О, то указанные преобразования следует 4й проводить в обратном порядке. 6.2. 2(аноническое уравнение Эйлера — Риккати. Уравнение и = хи + ге(х) (3) называется каноническим уравнением Эйлера — Риккати. Если в (!) функция Я дважды дифференцируема, то с помощью замен у =а(х)г, х = и+))(х) (4) уравнение (1) приводится к каноническому виду. Иногда форма (3) позволяет сравнительно легко установить частное решение уравнения (1). Если у,(х) — частное решение уравнения (1), то заменой у = у, + — уравнение Эйлера— 1 Риккати приводится к линейному. Путем подбора частного решения решить уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
