Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда, полагая в (6), п.5.3 ы = х — у, получим (2у' + Зху + х — х + (2х + Зх'д + у' — у')) — = (бх — бу + 2у — 2х))г, г(ы (уг,з+хг+дг+Э у(.+у)) д 2(зхг Зуг+у,) г Йы Очевидно, по выражение не является функцией от (х — у), поэтому у — х +х +у +Эху(хи у) будем искагь функцию )г в виде )г = )г(х + у). Тогда, аналогично проделанному выше, имеем (2у + Зху + х' — х — (2хз + Зхгу + у — д') ) — = (бх — бу + 2д — 2х))г, (3(у — х)(у + яд + х ) — (у — х)(х + у) + Зху(у — х)) — = (у — х)(2 — 6(х + у)) р, г г ~И откуда окончательно находим (3(х + д) — (х + у)) — = (2 — 6(х + у)))г, йо (З '-ы)д'=2(1 — 3 )йб ыд'+2д=О.
Решая последнее уравнение, получаем р = -т — — — т (С = 1). Умножив исхолное 1 и (х+ у) уравнение на — г, будем иметь уравнение в полных дифференциалах. Его общий интеграл 1 (х -ьу) имеет вид 21 +31 у+у — у ОГ+ /21 ((=сопл( (у, ~ О), П+ д)г о тг илн х + уз+ ху = С(х.+ у). Отметим, что решение у = -х содержится в общем интеграле при С = аа. М 56 Гл. 1.
Диффереиаиалыиае уравиевиа иервого иарадвв 129. (у — — + ) «х+ «у=о. ау м Ищем интегрирующий множитель в виде )з = р(х + у). Тогда из (6), п.5.3, получим (ы = а+ у): ( -"'-у-х) — "" =('--')' ((а — х)х — у(х — а)),и = (х — а)!и; (х+ у),и + р = О; ыр'+ р = О, Таким образом, р = ы ' = (х+ у) ' (С = 1) и данное уравнение приводим к виду Интегрируя его, получаем г «! «! + а / — = сопи (ха ~ 0), / х+! и о е ~1 ь-"~ =С.!ь Решить следующие уравнения, считая, что интегрирующий мнохситсль имеет аил: и = р(ху), ,и = )г(х' + у') или,и =,и(х — у ).
13(). (х' + у) «у+ х(1 — у) «х = О. М Испытаем множитель !г = р(ху), т. е. в (6), и. 5.3, пололсим ы = ху. Тогда получим ((х + у)у — (1 — у)х ) — = ( — х — 2х)р, 2 «р «ы (2ух +у — х ) — -ь Зхр = О. т з з«р «и з, „„г,,~„, Зх гу +у — х виде интегрирующий множитель не существует. Положим ы = х'+ у'. Тогда будем иметь ((х + у)2х — (1 — у)2ху) — = — Зхр, 2 «р 2(х + у') р'+ Зр = 0; 2ыр'+ Зр = О. з Интегрируя полученное уравнение, находим р = ы 1 (С = 1).
Таким образом, исходное уравнение преобразовывается в уравнение в полных дифференциалах: х +у х(1 — у) 3 «у+ 3 «х ж О' (х'+у')1 (х'+уз)з Проинтегрировав его, получим т(! — у) «! р «(!у!) + — — сопя! (уе тг 0), о (И+у')т з, или — )--= у (-у )у! тй'+ у'/ !у! ' !у! уха+ ут 57 $5. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрируюишй множитель 131, (2хху~ — у) бх + (2х ут — х) г(у = О. М Пусть ы = ху. Тогда из (б), и. 53, получаем ((2х у' — х)у — (2х у — у)х) — = 4ху(х — у )р, или (ху) р + 2ху)г = О; ы,и'+ 2,и = О. Огсюда находим р = -т — — — т — т (С = 1). Исходное уравнение приводится к уравнению в полных 1 ! и ху дифференциалах: (2х — — ) бх+ (2у — — ) лу = О. Применив формулу (3), и. 5.1, находим общий интеграл / (21 — — ) ит+ / (21 — — ) ~(Г = оопп, 1 1 или ху(х'+у') + 1 = Сху.
М Решить уравнения, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных. 132. (хт+ут+х)г(х+у4У=О. ° Записывая уравнение в виде (хт+ уг)бх+ 1 О(хг+ ут) — О и полагая х' + у' = н, получаем 1 ийх+ — ди = О. 2 Интегрируя это уравнение, находим и=Се ™, илн (х +у)е =С.~ 133. (х + у + у)их — х~(у = О. м Записав уравнение в виде удх — хду бх+ =О хт + ут еях — хяя г l и приняв во внимание, что — т — т- = й (агсгб - ), получаем г( (х+ ахсгб — ) = О, откуда у! у) х х+ агсгб — = С У вЂ” общий интеграл уравнения. и 134* Убу = (хну+ Убх)ъ/1+ Ут. м Представим уравнение в виде бу' = б(ху), 2т/1+ у' ф + ут = ху+ С. и 135.
ху'(ху'+ у) = 1. ° По аналогии с решением предылущих примеров, имеем последовательно (ху)(хр) =х; хУ=и; ии =х; — 1иг1 =х — 3~ 58 Гл. 1. Двффереааиалиаые уравиевия верного порядка Откуда и = — х +С, или 2ху — Зх =С.> з З 2 3 3 2 2 136. уз«х — (ху+ хз) «у = О. < Считая х и' О, у и' О (х = О и у = Π— тривиальные решения), преобразуем уравнение к виду у(у«х — х«у) — х «у = О, откуда у«х — х«д х — -«д=о.
х' у Полыая х = и, имеем «д «и+ — = О. и Получили уравнение с разделяющимися переменныыи. Проинтегрировав епз, получим и + 2у = =С, или д +2ху=Сх. Решение х = О входит сюда при С = со, а решение д = Π— при С = О, поэтому можно считать, что получили общий интеграл исходного уравнения. и 137.
д- -! х+ — = О. «у д и Преобразовываем последовательно уравнение слелующим образом: у «х + «(!п — ! = О; х «х + — «1 !и — 1 = О; — «(х ) + — «(!и и) = О, у! д 1 2 х~ д и ' 2 и где и = лх. Поэтому 1, «и згх' 1) -«(*')+ — =О, «~ — — -~ =О. 2 из ' 12 и/ Отсюда находим х 1 — — — = сопи, или х у — 2х = 2Су. в 2 и 138. (х'+3!пу)у«х = х«у. Ы Вводя замену !п у = и, получаем уравнение (х + Зи) «х — х «и = О, интегрирующий множитель которого ищем в виде Р = )4(х). Тоги будем имен — ()4(х + Зи)) + — ()зх) = О, ди дх откуда следует, что 4д + хд' = О.
Интегрируя полученное уравнение, находим один из инте- грирующих множителей (4 = х 4. Разделив почленно уравнение (1) на х4 (х Ф О), приходим к уравнению в полных дифференциалак ( ) 1 Зи~ «и — + — ) «х- — =О, х2 .4) хз общий интеграл которого имеет внл 1 У 2 З вЂ” — З! — = сопя!, или х +1пу= Сх . !ь г 1 ~*' ! ! ф 5. Уравишищ в пашни дифамревниааах.
Ивгегрврувнний мввшитель 139. у'ах+(ху+гбху)ауш О. М Полагая ху = и, получаем у = — ", ау = — г(х ам — мах). 1 х Подставив у и ау в уравнение, имеем и хан — мах — ах+ (и + сан) =О, хт т откуда Интегрируя, находим н Гй и ах = (и + 1й н)х ан. х = Сняпм, или дяпху = С. > 140. у(х+у)ах+(ну+ Пад=о. м Разделив почленно обе части уравнения на у, получим уравнение в полных дифференци- 11 (х+у)ах+ (х+ — ) ау = О. у Епз общий интеграл имеет нид х + 2ху+ 1п у = С. При делении на у было потернно решение исходного уравнения у = О. > Замечание. Полученный интеграл можно представить следующим обраюм: 1пу =йтс-х -2*у, т 2 откуда 141.
у(у'+1)ах+я(у'- х+1)ау= О. М Цепочка преобразований над уравнением: 2 2 уах+хау ау (у ф 1)(у ах + х ау) — х ау = О; .тут ут т+ ц =О; ам ау где и =ну, дт(ут ф 1)' приводит, как видно, к уравнению с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид а(ху) ау (х,)т т(ут+ ц( 1 =)( аи Г г'1 1 т х-у — — у) ау+С, т.е. + экгй у = С. и "=)(у у+ ) ху 142. (хт+гх+у)ах — (. — З ту)ау=О. м Проводим последовательно преобразования: (х +2х)ах+(уах — хау)+Зх уау=о; (1+ — ) ах — а(-)+ — ау =О (хФО); 2 х) тх) 2 а(х+) * — — +-у) =о. д 2 ) Интегрируя, находим х+йтх — — +-у =С.
у 3 х 2 Присоединим еще "потерянное" решение х = О. и 143. уах — хай = 2х'гй хан. м Разлепив обе части уравнения на хт и произведя замену к = н, получаем уравнение х ан = 2хсйнах, 2 етпч где С вЂ” новая постовннвв. Теперь легко видеть, что решение у = О содержится в последней формуле общего решения прн С = О. Гл. 1. Дифг(гереицаалыгые уравнения первого порядка 60 которое легко интегрируется. Имеем о(а!п и) Г = 2г! хйх+)пС, откуда !а(п -~ = Се*.
)ь апи х~ 144. Уг г!х+ (е* — у) г(у = О. М Замены е' = и и и = зд приводят к уравнениям д /и г — г(и + !1- — 1г! г(у = 0; д г(г + я бд = О. н у Последнее уравнение имеет общий интеграл 1п(у! — Уе *=С; У=О. > $45. ядах =(уз Охгд ! хг),(д м Проведем сггедующие преобразования уравнения: уйх — хг(у у х(улх — хг(д) =у(х +у )г!у; = — г(у; хг+ уг х -г! (агой -~ = — г(у. ут у Положим у = хо. Тогда оп -г((агсгри) = оду, и(1+ и') Интегрируя, получаем окончательно: г и =(!+о)се ", илн У е" .г.! г =С.ы 146. х'у(убх+хбд) =2убх+хг(у. ° Действуем аналогично проделанному в предыдугцем примере.
Имеем г г((ху) г(х (х у — 1)г((ху) = дг!х; (х у — 1) ху х Положим ху = и. Тогда получим г(н г(х / 1) г(и Ых (хо — !) — = —, или н х х о хг Пусть — — = с, тогда 1 ди (и+ с) — — г(с = О, или иг(в+ сг(и — иг(и = О. и г(о /с ~ с — - г( ~ - ( = О, !и !о! — — = сопа1.
о и Окончательно имеем х у)п Сед = -1. > г 147. (х' — у'+ у) г(х+ х(2У вЂ” 1) г(у = О. м Образуем уравнение для интегрирующего множителя д = д(ы) г ( г г г)ы г(д (2ху — х) — — (х — у + у) — ) — = ( — 4У + 2)д. дх дд оы Легко видеть, что оно допускает множитель вила )г = д(х): х(2У вЂ” 1) — = 2(-2У+ 1)рб х)г + 2Д = О. йд г г(х Разггелим обе части уравнсггия на ог и проинтегрируем полученное уравнение: $5.
Ураююввя в полных дифференииалах. Иитюунрующвй множитель б1 Интетрируя, получаем д = х . Умножив обе части уравнения на,и, получаем уравнение в полных дифференциалах < у' у ) у2у 1 — — + — дх+ < — — — ! 4у = О. *! Его общий интеграл имеет вид х +у' — у=Сх.> 14а. (2*У+у) х+(*'у .),Ь =О. ю Из уравнении для интегрируюшето множителя ( ды з ды'! др х(х у — 1) — — (2х у+ 1)у — ) — = (х у+ 2)р дх ду/ д видно, что оно допускает множитель вида д = д(ы), где ы = ху; 2 2 ~р 3 ху(х у — 1 — 2х у — 1) — = (х у+ 2)р, или ыд'+ д = О. Из послелнего уравнения находим д = ы ' = (ху) '.
разделив обе части исходного уравнения на ху (х зь О, у Ф О), получим уравнение в полных дифференциалах (2ху+ — ) ох+ (х' — -) ду=О, проинтегрировав которое, находим: х'(! -ь у) ь ( Н = С. Очевидно, что уравнение имеет также тривиапыпяе решения х = О, у = О. и 149. у(х+ у') да + х'(у — 1) ду = О. ° Применим метод разбиения падве части. Для этого рассмотрим два уравнения ху д* - х'ду = О, у' дх Ч- х'у ду = О.
Легко убедиться в том, что дпя первого уравнения р, = — т — и общий интеграл и,(х, у): — . = С,, = — х= ху а лля второго дз — — -з-т, из(х, у) = +„— — Сн Согласно методу разбиения на дае части, ху интезрируюцщй множитель д дпя исходного уравнения удовлетворяет соотношению у!(е) 2 Ч2(яхту)' Пусть рз(х) = х~. Тогда 1 х хт 1 з(е'(хну) = ( Следовательно, 1 1 ! и д(х,у)=— 2 х'у (1+ х) у(х+ у)' Умножив обе части исходного уравнения на д(х, у), получим уравнение в полных дифференциалах 4 д =0 4х+ (х+ у)' у(х+ у)' Гл. 1. Диффереицвалыаое ураваеааа иервого аорядяа Выберем в формуле (3), и. 5.1, хо — — О, уо = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
