Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Упоминаемое в условии решение имеет внд х(С) = е ' / у(т)е' с(т. (3) Пусть, далее, сут б ( — со, +оо) 1(т + Т) = у(т), где Т > О. Тогда из (3) находим с с+т х(С) = е ' / у(т+Т)е'с(т = е сс+тс / г(тс)е"с с(тс —— х(С+у), ОР сс где т, = т+ Т. Следовательно, 'х — периодическая функция. М Замечание. требоааиие пепрерылиосги функции г ие является необходимым. Выделение класса Функция у, лля когоросо эть теорема верна, предоставляется читателю. 120.
Показать, что только одно решение уравнения ху' — (2х + 1)у = х стремится к конечному пределу при х — +со, и найти этот предел. Выразить это решение через интеграл. м Исходим из общего решения данного уравнения у = ае (С+ / е ' с(х) . $4. Линейные ураввеивв и уравнения, ирвиодащвесв к ивм 51 В силу слодимости несобственного интеграла / е гй, выражение в скобках в (1) можно пРедсгяшть в виде г г С+ / е * 4х = Сг + / е Ф, (2) где С, — некоторая постоянная.
Равенсшо (2) легко проверяется посредспюм дифференцирова- ния. Таким образом, асе решения изучаемого уравнения выражаются формулой (3) Пусть х — +ос. Тогда нз (3) замечаем, что для ограниченности у при х — +со необходимо выполнение условия С, = — уг е 41 = -тгх. Г Последнее равенство и достаточное для того, чтобы Шп р был конечным.
Действительно, по г +ог правилу Лопиталя имеем /е ' гй — тГ'я Е-г (гпг г— -(х '+ 2)е Ы 2 !нп гг~ х'е* Теперь запшпем искомое решение: Г г гг у=хе ~ е гй — зги =хг е гй.и -ОО ,СО 121. Найти периодическое решение уравнения р = 2рсоз х — згцх. М В силу сходимости несобственного интеграла е яп(гй, обшее решение данного уравнения представшем в виде у = Се*+ * * — ~ е '+* ' '+ * *яп1гй.
Поскольку функция е*+ * *, очевидно, не является периодической, а функшш у,(х) = / е ' тгпЫ1= / е Г Уяп(в+в)Иа, г а как следует из толшества, р,(х) = / е "г+Г+~У ~"и''~г+~"Г+~"' ~+~гяптг4(г шуг(х+2х), г+2% где 1 = 1+ 2гг, является 2гг-перисиической„то функция р периодическая только при С = б. полагая в (1) С = О, получим периодическое решение р = р,(х). и Гл. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 122. Пуси в уравнении с/с= (с+ /с/с с п((«осс)с )* ~(-1 с/с ).
о о 'о Исходя из формулы (1) и условий задачи, имеем с с ,сс-(ь ° (/с» (( со/с)с ) (-( с/ ° ), о о о с со= (ь+У/с с-ь(( сосо)ь ) (-У сс~ ). о о о Вычитая почвенно из (2) равенство (3), получим оценку с с.,с~)-*,с~ссьсь-ьс-~(-1«с~ )+)с/с с-ос сслл (-// со/с)с' о о (2) (3) (4) Поскольку с/сс-/ссс ь, ° (-1 ссс)о ", )~(-/с с/с/с)с о то из (4) следуют оценки /хо(() — хс(1)( < б (е '+ — (1 — е 'УУ' < 6 (1+ — ) . С ) (, С) Таким образом, если по заданному с > 0 выбрать число б = Т+ ~., то при 6 > 0 выполняется оС неравенство (хо(() — хс(()( < е, указывающее, согласно определению, на устойчивость решения хо(1) при постоянно действующих возмущениях. м с(х — + а(()х = У(П Ф а(1) > С > О, У(1) — 0 при 1 — бсо и функции а, У непрерывны при 1 > (о. Доказать, что кюкдое решение этого уравнения стремится к нулю при Ь вЂ” +со.
а Исходя из общего решения данного уравнения х(Ь) = (С -1- У' У(1) ехр (У' а(1) 61) сК() ехр (- У' а(1) с(Ь), условий задачи, и применив правило Лопитачя, получим: С 4 уУУ(1)ехр (~а(() с(() й У(1) ехр (У(уа(1) б() й/и х(() = 1)ш — 1пп = О. ехр Ца(Ь)6() ' а(1)ехр(/а(1)с(1) Заметим, что непрерывность функций а и У здесь гарантирует дифференцируемость соответствусощих интегралов, а условие а(() > С > 0 используется дважды; ' У(П1 /У((И ехр (/ а(1) б() > е' -ь бос и ( — ( < — -ь 0 при 1 боо.
м а(1), С 123. Пусть в уравнении из предыдущей задачи имеем а(1) > С > 0 и пусть хоб) решение с начальнылс Усаовием хо(0) = Ь. Показать, что стг > 0 Лб > 0 такое, что если изменить фУнкцию У и число Ь меньше чем на б (т.е. заменить их такой функцией Ус и таким числом Ьс, что /У/(1)— — У(1)~ < 6, ~Ьс — Ь( < 6), то решение хо(1) изменится при 1 > О меньше, чем на е. Это свойство решения называется устойчивостью по отношению к постоянно действующнлс возмущениям.
а Пусть 1, = О. Тогда общее решение рассматриваемого уравнения можно записать в виле Ф 5. Ураиюиня в полных дифференциалах. Ивтезрируюиной мноиппезоь $5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 53 5.1. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнение вида М(х, у)дхвот(х, у)ду = О (1) называется уравнением в поляых дифференциалак если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Ф, т. е. М(х, у)с1х Ь зт(х, у) ду га дФ(х, у). (2) Теорема. Если фуннции М, )ч", -~-, -ду- непрерывлы в некоторойодносвязной области Р С Тч, длг дхг з то условие дй( дм дх ду является необходимым и достаточным доя того, чтобы вырахсение М дх + )чг ду было полным дифференциалом функции Ф.
При этом Ф(х, у) = ] М(й у) д(-О ~)ч'(хо, 1)да оо оо Точка (хо, у,) выбирается так, чтобы сегменты [х„х], [уо, у] принадлехсали области Р. Функцию Ф можно также представить в аиде Ф, у) =~М„,уо)д(+~Я(х,()дй *о оо Все решения уравнения (1) содержатся в равенстве Ф(х, у) = С, являющемся лля этого уравнения общим интегралом. 5.2. Интегрирующий множитель. Функция р = р(х, у) х О, после улоножения на которую уравнение вида (1) превращается в уравнение в полных дифференциалах, называется интегрирующим множителем для этого уравнения.
Теорема У. Если функции М и Ж непрерывны, имеют непрерывные частные производные, то интегрирующий множитель существует, если М ь )ч' ог О (достаточные условия). Теорема 2. Если ро(х, у) — интегрирующий множитель уравнения вида (1), а ио(х, у)— соответствующий ему интеграл этого уравнения, т.
е. Ро(Мдх+ з Гду) = дпо то р = р,(х, у)зо(ио), где зо — произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем указанного уравнения. Эго свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части. Сущность метода заключается в следующем. Пусть и,(х, у) = С,, р~(х, у); из(х, у) = С,, рз(х, у) — общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений М~дх+ЛодУ=О, Мзда+у(здУ=О. (4) Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции р; = рн(о,(и,) и рз = ргрз(из) яюиются интегрирующими множителями лля первого и второго уравнений соответственно.
Если удастся подобрать функции р, и рз так, чтобы выполнялось равенство )о,уо,(и~) = рзрз(из), то интегрирующим мнозкителем для уравнения (М1 + Мз) дх + (р(1 + )тз) ду = О, (5) очевидно, вынется функщнг. и = ро(оь(и~) = рз)оз(из). Гл. 1. двйяререияиальвые уравиеввв первого парилка 54 5.3. двффереицввдьвое ураввевве дли ивтегрврувнвего мвцивтели.
Если известно, что )з = )з(ы), где оз = оз(х, у) — известная лнфференщоруемм' Фун"зогя то интегрирующий множитель )з удовлепюряет дифференциальному уравнению (6) Найти общие интегралы уравнений. 124. (х!пу — х'+сазу)г(у+(х'+РИд — у — 2ху)г(х=О. М Так как на множестве Р = ((х, у) Е м~: -со < х < +со, у > 0) выполняется равенство з д з — (х +у1пу — у — 2ху) = — (хИу — х +сазу) = !ну — 2х, дд дх то левая часть рассматриваемого уравнения является полным дифференциалом некоторой функции Ф. По 4юрмуле (3), п.
5.1, получаем а г 4 з Ф(х, У) = ( (Г + У !п У вЂ” У вЂ” 2!У) ~И + ~ соз ! М = — + хд(И У вЂ” 1) — Ух + Яп У вЂ” Яп Уо. 4 о зо Общий интеграл уравнения записывается в виде х'+4ху(1пд — 1) — 4х'у+ 4япд = С. и 125. + з(х+ д — Од=О. и Поскольку при |у! > (х! выполняется тождество ду згуз — хг дх дзгуз — хт то имеем уравнение в полных дифференциалах.
Применив формулу (3), п.5.1, получим з ф( °, )=~( ° )а~/~а--( ° и)+..---и. д=! / у 2 Общий интеграл уравнения имеет вид х + у + 2 шсз!и — = С. В з х у Решить дифференциальные уравнения метадон интегрирующего множителя, зняг, что )з = = у(х) или Р = у(д). 126. 1+ !' дх+ — + — ", дую=о. М ПаваГж В (6), П.5.3, и = Х, М = 1+ -дт, !ЗГ = — + -У, ПОЛУЧаЕМ или 4я 2Р Йх х Отсюда,и = хз (С = 1). Видим, что выбор функции и оказался удачным.
Умножив почленно данное уравнение на *', пахучим уравнение в подиьи дифференциалах (аз + у) дх + (х + 2у) з(у = О. Применив формулу (3), и.5.2, найдем общий интеграл: хз + Зху+ Зуз = С. и 55 $5. Урявввиия в иолимх дифферевцииаах. Ивтщгвруяицвй миожвтель 127. у'(. — зу)ах+ И вЂ” зхд')г(у = о. < Положим в (6), и. 5.3, и = х, М = уг(х — Эу), )гг = 1 — Зхуг: ) гт гчг 1 г()г 2у(х — Зу) 1 — Зхд ) — = 2д(х — Зу)уб <(х ,и г!х 1 — Зхуг Замечаем, чта )г не может зависеть только ат х, поскольку слева в последнем равенстве имеется функция талька от х, а справа — функция от х и у (х н у — независимые переменные).
Испытаем теперь множитель и = у. Имеем г ад -у (х — Эу) — = 2у(х — Зу)уо -у — = 2И. цд ' йу Интегрируя последнее уравнение, находим р = у (С = 1). Умножая обе части исходного уравнения на у г, получаем уравнение в полных дифференциалах (х — Зд)г(х+(д ' — Э )г(у =О. По формуле (Э), и. 5.2, записываем общий интеграл этого уравнения ау — бху — 2=Су (дхо).
При почленном делении исходного уравнения на у мы потеряли решение у = О, поэтому общий его интеграл имеет шщ х у — бху' — 2 =Су (у =о при С=со). М Проинтегрировать следующие уравнения с помощью множителя )г = )г(х+у) или,п = )г(х — у). 128. (2х'+ з*'у+ у' — у)г(х+ (2у'+ зхд'+*'-*')(у = о. и Пусть )г = д(х — у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
