Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 12
Текст из файла (страница 12)
М (1) 89. (х+у')пу = упх, М(1, П. < Уравнение не вюшется линейным относительно переменной у, однако оно линейгюе относительно х. Поэтому целесообразно считать х функиией у. Считая 4у ~ О (у = Π— тривиальное решение), имеем 4х х+д =у 4д' Соответствующее однородное уравнение х = у2 — имеет общее решение * = Су. Применив кх д метод вариации произвольной постоянной, получим последовательно Сд+у = у(СуфС), Сь=), С= у+С. Следовательно, все ретиения данного уравнения описываются формулами * = Су+ у'; у = О. > (1) 2 Замечание. Перспнсав первую формулу а (1) в виде р = — СУ- н положив С = со, пояучнм решенно д = О.
Таким образом, если допустить, по постоянная С может прнннмать сингулярное значение, то решенне у = О можно не ямпнсмеать отдельно. Полагая а (!) х = 1, у = 1, накопим С = О. Тогда нз (1) получим частное решение х = у . т 90. (2е" — х)у' = 1. дй ! < Предложенное уравнение линейное относительно х. Так как з- — — -~-, то его можно ет записать в виде 2е" — х = х'. Общим решением однородною уравнения х'+ х = О явдяется функция а=Се ". (2) Считая С = С(у) и подставив (2) в уравнение (1), !!слупим последовательно 2ез — Се "= С'е "— Се ", С' = 2ез", С(у) = е "+ Се. Окончательно имеем х = Сс " + е". )ь 91. (я(п'у+хсгбу)у'=1. < Уравнение линейное относительно переменной х, поэтому представляем в его в виде х — хсгбу=ип у.
Применив метод париации произвольной постоянной, получим х(д) = С(у)ипу, где С(у) = — сову+сопи. > 14у / 92 — — + (2 — х)1пу = х'(е ~.1-е т ) у 4х И Это уравнение вила (3), п. 4.3, поэтому применяем замену 1п у = л(х). Имеем — — — х + (2 — х)л = х~с + е т у1.
у йх' 42 Гл. 1. Дифференциальные уравнения нервно порядка Полученное уравнение линейное относительно «. Пользуясь мепщом вариации произвольной постоянной, получаем » г / »2 «(х) =С(х)е'У, где С(х) = ~ х~ е Т+е ) г(х+Сз. Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид )и у и е з ~ — ~х — - ! е — е т + С) . М *— '-з» г'1 1 2» Ы 93.
" — У + ф+ ! = х' у»ут+ 1 а'х < это также уравнение вида (3), п.4.3, следовательно, произведем замену «(х) = ч'уз + 1. Тогда получим ! «~=, «+«=х +1. гу»+ ! Проделав всю необходимую процедуру, требуемую в методе вариации произвольной постоянной, найдем: « = С(х)е *, где С(х) = е* (х — 2х+ 3) + Сз. Итак уз+1 = хт — 2х+ 3+ Се * Р— общее решение исхолного уравнения. М , г(у 94.е* У вЂ” е"=е". ох ° Умножив обе часты рассматриваемого уравнения на е*, получим уравнение вида (4), и.4.3« йу ††.
ох Следовательно, применяем замену «(х) = е ". Тогда получим последовательно — » Р »» г » «(х) = -е "у(х), -е"« — 1 =е е", — « — « = е . Полученное уравнение линейно относгпельио «. Его решение имеет вид: 1 « =Се * — — е*. 2 Осталось записать общее решение исходного уравнения: 1 е "=Се» вЂ” — е~.м 2 95. 3 ау + (1+ е*+'») йх = б. и Преобразовав уравнение к виду йу 3 — +! = -е*.е г(х замечаем, что оно относится к виду (4), п.4.3. Поэтому воспользуемся заменой «(х) = е з". Тогда последовательно получим » «(х)»» — Зе з"у', — — +1=- —, «' — «=с*. « «' Общее решение линейного уравнения находим известным способом, в результате чего имеем «(х) = Се*+ хе*. Осталось запиазть общее решение исходного уравнения: 1 х у= — -1п(С+х) — —.
м 3 3 $4. Лввейвме уравнения в уравнения, врваадяагвеев к ввм 43 96 "У+ ф~ ~з у з(х 3(х + 1) ° Уравнение относится к виду (3), п.4.3, поскольку Следовательно, произведя замену з(х) = 3 Дйу)г, получим линейное уравнение 2 з х+ — =1, х+1 общее решение которого имеет вид: 1 С з = — (я+1)+ х+1 Окончательно общий интеграл запишется в виде С р((лу)з (.+ Ц+ > 3 2 я+1 97. (х+ ц(у'+ у') = — у. 1 Считая, что х ~ -1, делим обе части уравнения на х+ 1 и записываем его в виде з У 2 у+ = у.
х+1 Это есть уравнение Бернулли. Разделив абе его части на уз, затем производим замену у ' = з(х). Тогда последовательно получаем х'(х) = -у зу', х' — = 1, х+1 Полученное линейное уравнение решаем методом вариации произвольной постоянной. При этом находим з = С(х)(х+!), где С(х) = $п(х+ Ц+Се. Окончательно решение исходного уравнения принимает вид 1 у= (х+ 1)бп(х+ Ц+С) 98. хуз(х+ (*'+ у'+ 1) Иу = О. ° а Произведя замену хз = и(у), получим линейное уравнение первого порядка 1 йи — у — + и = -(у' + 1).
2 4у Сг з / 3 Его общее решение имеет вид в = — щ, где С(у) = -у ~$- + 1) +сопи. Таким образом, имеем У все решения исходного урзвиения: у + 2хзуз + 2у = С. ° 99. (х'у — Зх'у+ у') <Ых -ь 2х' г!у = О. ° Разделив обе части уравнения на Их ~ О (х = Π— очевидное решение), получим уравнение Бернулли 2х — +(х — Зх )у= — у. зау з з з Фх Счишя у Ф О (у = Π— тривиальное решение), делим абе части посдеднего уравнения на — уз и полагаем = я(х).
Тогда получим 1 — = я'(х); х з' — (х — Зх )з = 1. Гл. 1. Дифферевпиальвые ураввшия первого порядка Решая это линейное уравнение, находим х = С(х)х зе*, где С(х) = -е *+ Се Теперь запишем все решения исходного уравнения. Суе — у — х =О; х=б; 2 ь 2 3 у=б.м 100. 2у' — — = м Умножив обе части уравнения на у и положив у = и(х), получим линейное уравнение и — и = х. х (1) хз — 1 Ищем решение в виде и = у(х)в2(х).
Подставив и и и' в (1), имеем (.('-,*' ) +-'~=*. Функции 1 и в2 находим из уравнений хг =О, в2) =х, х2 — 1 Из первого )равнения получаем ( = СДхг — Ц. Из второго уравнения следует, что 1 2 и = — )) х' — Ц зап(х — 1) -Ь См С Следовательно, и = !х — Цзян(х~ — 1) + СДхт — Ц = х — ! + СДм~ -Т~, откуда у' = х'-1+ Сф*з — Ц.
~ 101. у'х'мну = ху' — 2у. < Разделив обе час~и уравнения на у' Н О (у = Π— очевидное решение) и приняв х за функцию от у, получим уравнение Бернулли ЙХ 3 2у — — х = -х йпу. 2(у Используя замену х ' = х(у), приходим к линейному уравнению уг +х = 3!пу, общее решение которого вырывается формулой С позу у у Все решения исходного уравнения имеют вид: ! С сову г 2 У=О; — 2= — — —, илн у+х сову — Сх =О.м у у 102З, (х + у + 2х — 2У)Их+ 2(у — 1)2(у = О. М Преобразовывая уравнение следующим образом: ((х + 1) + (у — 1) — 2) 2((х + 1) + 2((у — 1) = О н полагая х+ 1 = и, (у — 1)' = е, приходим к линейному уравнению 2(Е 2 †+в=2 в а 2 г с его общим решением в = Се "— и + 2и.
Все решения исходного уравнения описываются формулой х'+ у' — 2У = Се '. > 45 $4. Лиыейыые уравыеыиы и урашеыыя, нриводящыеся к ыым 103. (е" — у')х = 2. < Полагая е" = е(х), получим уравнение Бернулли 2 х+ — т=х. х Его обшее решение имеет вид 1 х(х) = х(1+ Сх) Общее решение исходного уравнения запишется в виде у = — (п(х ь Сх ). (и 104. д(х) = ~ у(1) 41 ч- х + 1.
о и Взяв от обеих частей равенства производную, получим линейное уравнение общее решение которого у = Се Исходя из очевидно~о начального условия у(0) = 1, находим С = 2. Следовательно, у =2е' — 1. м 105. '( (х — 1)у(1) 41 = 2х Ч- ~ у(1) г(1.
о е ~ Дважды дифференцируя левую и правую части равенства, имеем последовательно у(() 41 = 2+ у(х); у(х) = у'(х), е откупа находим у(0) = — 2 и у(х) = Се*. Из начального условия следует, что С = 2. Итак, функция у(х) = -2е* есть решение поставленной задачи. м 106. унх 4 х 4у+ у~(яду — ус(х) = О. м Это уравнение Мнндинга — Дарбу, поскольку функции М(х, у) = у и тт'(х, у) = х однородные и имеют степень 1, а функция Я(х, у) = у' однородная и имеет степень 2.
Следовательно, применима замена у = их(в), Имеем их йх + х(и йх + х йи) + из хе(х(и йх + х Ыв) — их йх) = О, или 2идх Ч-х(14 х'нз)ди = 0; х = О. .(1) Разделим обе части полученного дифференциального уравнения на йи. Оно превратится в уравнение Бернулли Их 2 3 2н — +х= -и х . йи Полагая х ' = е, приходим к линейному уравнению 3 ве — е=н Легко проверить, что его общее решение представляется в виде х = и'+ Си. Последовательно возвращаясь к старым переменным, окончательно имеем у +Сху — 1=0.
Решения х = 0 и у = 0 входят сюда при С = со. м 46 Гл. 1. Диффереицвальгмм уравнения первого порядка 107. (х'у+ у' — ху) !(х+ х'!(у = О. М Записывая уравнение в виде О у (Еу + (х~у + у ) г(х+ х(х г(у — у ах) = О, замечаем, что оно есть уравнение Миндинга — Дарбу. Поэтому, полагая у = их, полу мем х (и+ и )!(х+х Ии = О, !(и х=О; +Ых=О; и=б.
и(1+ и!) Отсюда следует, что + — = Се *. Возвращаясь к переменным х и у, окончательно получаем ъ/и'-(-1 у~ = Сзе ~(х + уз); х = О. м 108. у~(х+о)Их+ х(х — ау)оу = О. М Это уравнение Миндинга — Дарбу, поскольку оно приводится к стандартному вшгг у хе(х+ и~ г!у+ ау(убх — хг(у) = О. Произведя замену у = их(и), получим линейное дифференциальное уравнение йх х а — + !(и и(и+ 1) и+ 1' для решения коюрого применим метод вариации произвольной постоянной. Решение соответствуххцего однородного уравнения имеет вид и+1 х = — С. (!) и Считая С = С(и), получаем дифференциальное уравнение решение которою имеет внд о С(и) = о !л(Се(и+ 1)) + —, Се = сопя!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
