Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поскольку по условию ф = Г'„зз, то Т = 55'С. Таким образом, через минуту В = 55'С вЂ” 22'С = 33'С. А тогда 33'С = 55'Се, откуда й = !п0,6, Поэтому Л = 55 (0,6)' есть закон сближения температур воды и тела. Из равенства 1 = 55 (0,6)" находим г(Т„ — = й(҄— Т„), (1) где Т„и ҄— температуры печи и металла соответственно, Далее, Т„= а+ (Ь вЂ” а)! в силу 1 равномерного повышения температуры печи, ! — время, измеряемое в минутах.
Гаким образом, дифференциальное уравнение (1) можно записать в виде аТ„ — = й ~а+ — (Ь вЂ” а) — Т„~ . О! (, 60 (2) Введем заменУ а + тб(Ь вЂ” а) — Т„= х. Тогда УРавнение (2) пРеобРазУетсЯ в УРавнение с Разделающимися переменными: 4х Ф-а а бО интегрируя которое, находим -!п(«х--~б — ) =-г+-1пС, Ь вЂ” а йФО, или 1~ Ь вЂ” а Т„=а+ (1 — — 7! — +Се ". «) 60 Так как Т„(!)(гм = а, то С = -т-« . Следовательно, окончательно имеем Т„= а+ — (! — — (1 — е )) .
Температура металла через час, очевидно, будет равна Т„(60) = Ь вЂ” — (1 — е ") . ° 60« !и 55 ге Змии 1п5 — !п3 — время, по истечении которого температура тела будет выше температуры воды на 1'С. )ь 42. Кусок металла с температурой а помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается ст а до Ь.
Скорость нагрева металла пропорциональна разности Т температур печи и металла, коэффициент пропорциональности равен й. Найти температуру тела через час. М Согласно условию, имеем 21 в 2. Задача, приводящие к уравиеиювв с разделяющимися переменными 43. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки.
Начальная скорость лодки 1,5 м/с, а через 4 с скорость ее 1 м/с. Когда скорость лодки уменьшится до 1 см/с? Какой путь может пройти лодка до остановки? де м Пусть в(!) — скорость лодки в момент времени ! от начала движения. Тогла лТ есть ее ускорение. Согласно второму закону Ньютона лз — = л', де (1) 4! где à — сила сопротивления воды. По условию л' = яи, поэтому (1) принимает вид Ые (г — = — е = )гав (Йе = сопз!). сЫ гл Интег н я это авнение, получим РР] ]Р е(!] = Се ' .
Используя условие в(0) = 1,5, находим С = 1,5. Тогда (2) имеет вид е(1] = 1,5е ', где ! измеряется в секундах. Поскольку е(4) = 1м/с, то из равенства ! = 1,5е ' следует, что цг ]ге = 0,25 ]п(2/3). Поэтому скорость движения лодки выражается формулой е(1) = (-/ м/с. Подставляя сюда е = 1 см/с = 0,01 м/с, находим соответствующий момент времени (3) !и 0,01 ( 1,=4 1+ — ') щ50с, 1п(2/3) ) Лалее, поскольку е(1) = -2!— , где а(1) — путь, из (3) получаем лз(!) 4 2 т 1п(2/3) (3) гле ге — посзоянная интегрирования Пусть а(0] = О. Тогда ае = — ! Д/3] (3/, и закон !л(2/3] '] движения лодки имеет внд Из (3) видим, что йгп е(!) = О, поэтому из закона движения лодки получаем Г'„>(Г + ДЕ) — (2(Ю) = ]гД(Е,)Ы, ИЛИ = ЛГ2(1~). (2(1 + Ж) — (2(1) тат 6 а, = !пп а(1) = м 15м, ~-+я 1п(3/2) где а, — путь, который проходит лодка до остановки. М 44.
За 30 дней распалось 50% первоначально~о количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества? < Воспользуемся законом радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося а Рассматриваемый момент. Пусть Я(1) — количество радиоактивного вещества а момент вре- мени 1 после начала распада. То~да, в соответствии с законом радиоактивно~о распала, имеем дП) = (гЯ(1), где й — коэффициент процорциональности, д(1) — количество вегцества, распада- ющегося за единицу времени. Следовательно, за промежугок времени от ! ло ! + Ь( распадется ЛЦ(1,)Ы вещества, тле 1, Е ((, 1+ Ь(), !'.](1,) — некоторое промежуточное значение количества вещества между !',](!) и ]',](1 + ЬФ).
С другой стороны, это же количество равно (3(1 + з5!) — (г(1), поэтому окончательно имеем Гл. 1. Дифференциальвме ураввеивя верыпо порядка 22 Считая Функцию О дифференцируемой и переходя к пределу в последнем соотношении при зй! — О, получим дифференциальное уравнение — = й(2(!), з((2(!) Ж решением которого является Функция (2(!) = Се . Очевидно, постоянная С здесь означает м первоначальное количество вещества. Далее, нз условия 0,5С = Се находим й = — 30 1и 2, а из зоо 1 условия 0,0!С = Се м мз получаем 1п 100 г, = — . 30 м 200 (дней) 1п2 — время, по истечении которого останется лишь 1го первоначального количества вещества.
Общая же формула для оставшегося количества вещества имеет внл О(!) = О(0)2 зо, где ! — время, измеряемое в днях. М 45. Согласно оньпвм, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества рааия? ~ П>сть ()(!) — количество радия. Тогда оно удовлетворяет уравнению (1) из предыдущей задачи. Следовательно, функция О(!) = Я(0)ем выражает закон его распада, где ! — время, измеряемое в годах. Для определения козф~знциента й воспользуемся условием: через ! = 1 год О = 999,56мг, если О(0) = 1 г. Отсюда е = 0,99956. Таким образом, О(!) = О(0)(0,99956)' Положив здесь О(г,) = 0,5О(О), определим время !п2 — — — 1600 лет, м 1п 0,99956 46. В исследованном куске горной породы содержится 100мг урана и 14мг уранового свинца.
Известно, что уран распадается наполовину за 4,5 10 лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Определить возраст горной породы, считая, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебрегая наличием промежуточных рааноактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). м Прежде всего, определим начальное количество урана в куске породы. Пусть у — количество полностью распавшегося урана в нем. Тогда, приняв во внимание условия задачи, можем составить пропорцию у 238 14 206' из которой находим у = 14 ч06 = 16,2мг. Следовательно, первоначальное количеспю урана 238 составляет 116,2 мг.
Далее, исходя нз обшей Формулы О(!) = 116,2ем, где ('„з(8) — количество нераспавшегося урана, и периода его полураспада, находим й = — — у. Принимая теперь во внимание, что по !п2 4,5 10 истечении времени Т от начала распала в куске породы оспшось 100 мг урана, определяем Т нз соотношения ! 00 = 116,2е" т: 1 4,5. 105 Т = — — 1п1,162 = ' !п1,162 га 970 ° 10олет й ' !п2 — возраст горной породы. М $2. Задачи, приводецие к уравнениям с разделшошимися веремеииыми 23 47. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя.
Слой воды толщиной 35см поглощает половину падающего на него света. Какую часп света поглощает слой толщиной в 2 м? и Пуси Т(з) — количество света, прошедшего слой воды толщиной з (рис. 11). Тогда согласно условию Т(з+ таз) - Т(з) — количество поглощенного света — равно Ы(з)з3з (й = сопя!). Таким образом, для количества прошедшего света 1(з) имеем дифференциальное уравнение т'(0) Его решение — Т(з) = Т(0)еы.
Из условия 1(35) = 21(0) вытекает, что и = — 35 1и 2. Поэтому Т(з) = Т(0) (2/ ', где з измеряется в см. Полагая в гюследнем соотношении з = 2 м = 200 см, получаем 2(О) = (Т/ ' . Тогда П200 /1 7 Т(О) — 2(200) / ! ( зт' =1 — ( — / ш0,98. 1(0) (,2) бе 2 ш — = гид — ле (й > 0), 41 где гл — масса парашютиста, д = 10 м/с — ускорение свободного налепил, я = соап. разделяя т переменные е и ! и интегрируя, получим )д о = (/ )ге =— '! Ло' ш г(е 1 1а+е~ — т =41, 1п — — = 1+ 1пС, д — йеет ' 2 /лед 1а — е1 нли Так как е(0) = О, то С = 1. Далее, из условия 1цп ~ ~-~ — "-(() ~ = +со следует, что е(1) — ~ а ~ а че(г) 1 .„~ ~ а — еЩ ~ при 1 — +ос.
Но по условию задачи 1цп с(1) = 50м/с, поэтому а = 50, или Я- = 50. Следовательно, й = 2500, о = 0,4. Принимая во внимание естественное условие 0 < е < а, из (1) находим е(1) = 501Л(0,21) = дз(1) 41 Интегрируя, получаем з(Ф) = 250 1и сЛ(0,21) + ее. (2) Исцеля~я начальное условие з(0) = О, имеем зе = О. Полагая далее а (2) з = 1000, имеем !000 = 250(псЛ(0,21~). Из последнего равенства определяем время 1, падения парашютною до раскрьпия парашюта: гг — — 51п (е + ь/ез — 1/ ш 5(1п2+4) 23с. Зь Таким образом, поглощается 98% палающего на поверхность уяе. зЗ света. М 43. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 ки, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км.
Сколько времени он палат до раскрьггия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50м/с. Изменением шютности пренебречь. Сопротивление пропорционально квалрату скорости. и Согласно второму закону Ньютона имеем Гл. 1. Диффергнциальиьм уравнения первого порзшюс 250 л(1) = во+ — (а~сок((С вЂ” 1)~/012)(г лс = сопл!. 3 (3) Формула (3) выражает закон движения мяча.
Полагая в (3) я(0) = О, находим 250 ло —— — — 1и ) соз (С)/0,12) ~. Если же в (3) полохсить 8 = С, то получим наибольшую высоту подъема мяча 125 лвы = лс га — 1п 1,48 м 16,3 м. 3 Случай Ь = 0 предоставляем разобрать читателю. м 50. Пусть жидкость вытекает из некоторого сосуда через отверстие в нем со скоросп ю, равной 0,6 1/2дЬ, где д = 1О м/с, Ь вЂ” высота уровня жидкости над отверстием. 2 За какое время вся жидкость вытечет из цилиндрического бака с диаметром 2Н = 1,8 и и высотой Н = 2,45 м через отверстие в дне диаметром 2г = 6 см? Ось цилиндра вертикальная. м П)сть Ь(!) — высота уровня жидкости в баке в момент времени 1 > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
