Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 2
Текст из файла (страница 2)
+ а„, Х+ а„= О, а, > О, с действительными коэффициентами (275) Примеры (276) з 2. Особые точки Определение особых точек и их классификация (292) Практические приемы исследования особых точек (293) Примеры (294) 8 3. Фазовая плоскость Основные понятия (305) Построение фазового портрета (305) Предельные циклы (306) Признаки отсутствия предельных циклов (306) Признаки наличия предельных циклов (306) Примеры (307) Упражнения для самостоятельной работы Глава 7.
Метод интегральных преобразований Лапласа решения линейных дифференциальных уравнений 8 1. Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства Оригинал и изображение (323) Свойства преобразования Лапласа 212 228 239 240 240 266 273 274 274 292 305 322 323 323 (324) Примеры (325) 8 2. Свертка функций.
Теоремы разложения Определение свертки (336) Теорема умножения (Э. Бореля) (336) Обобщенная теорема умножения (А. М. Эфроса) (336) Формулы Дюамеля (337) Примеры (337) 83. Обратное преобразование Лапласа Формула обращения Римана — Меллина (339) Сведения из теории функций комплексного переменного (340) Теоремы разложения (341) Примеры (342) р 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами (346) Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (347) Решение уравнений с нулевыми начальными условиями при помощи интеграла Дюамеля (347) Примеры (347) р 5.
Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения Интегральные уравнения типа свертки (357) Интегральные уравнения второго рода (358) Интегральные уравнения первого рода (359) Особые интегральные уравнения. Интегральное уравнение Абеля (359) Примеры (360) 8 6. Применение операционного исчисления к решению уравнений с частными производными Примеры (367) Упражнения для самостоятельной работы Ответы Предметный указатель 336 339 346 357 366 370 372 377 В вид канонический линейного д. у. 2-го порядка, 152 Предметный указатель Настоящий предметный указатель призван облегчить поиск терминов по алфавитному признаку. Для поиска терминов по тематическому признаку пользуйтесь подробно составленным оглавлением. В указателе, как правило, приводятся ссылки только на страницу, содержащую определение термина; составитель указателя не ставил своей целью отследить все упоминания приведенных терминов в тексте. Исключение составляют термины, описывающие методьц приемы, практические результаты: для них в некоторых случаях после номеров страниц курсивом указаны также задачи, в которых они используются существенным образом.
С целью уменьшения громоздкости указателя вместо термина "дифференциальное(ые) уравнение(я)" применяется сокращение "д. у.". А Бернулли уравнение, 39, 115, 97, 99, Абеля 101, 103, 106, 168„265, 447 — уравнение интегральное, 359 Бихари лемма, 83, 201, 202 — — формула, 159, 363, 364 Бореля теорема умножения, 336, 711- астроида, 111 715, 719, 720, 740, 752, 753, 762 Б Бендиксона признак отсутствия предельных циклов, 306, 672, 675 Вольтерра уравнение интегральное — 1-го рода, 358 — 2-го рода, 358 — особое, 359 Вронского — матрица, 182 — определитель, 151, 183 вычет функции, 340 Г Гессе — прием, 208, 460-462 — система, 208 гипербола вырожденная, 18 Грина функция краевой задачи„170, 393-406 Гурвица матрица, 275, 616-619, 621, 622, 624-627 д Дюамеля — интегралы, 337 — формулы, 337, 347, 721, 742-744, 766 3 задача — Коши, 4 — — векторная, 83 — краевая, 169 — — нестационарная, 367 — Штурма — Лиувилля, 170 — —, собственные значения, 170 — —, собственные функции, 170 значения собственные задачи Штурма — Лиувилля, 170 И инвариант линейного д.
у. 2-го порядка, 152 интеграл — вероятности, 338, 715-718, 724, 733 — полный, 228 — системы д. у. первый, 201 интегралы — Дюамеля, 337 — независимые, 201 интегрируемая комбинация, 201 интегрирующий множитель, 53 К канонический вид линейного д. у.
2-го порядка, 152 Клеро уравнение, 78, 191, 194 косинус-интеграл Френеля, 334, 707, 712, 713, 763 Коши — задача,4 — — векторная, 83 — метод — — отыскания интегральной поверхности, 229, 519 — 521 — —, обобщение, 229„522-524 — отыскания частного решения неоднородного д.
у., 137 — формула о вычетах, 341 краевая задача, 169 — нестационарная, 367 кривая дискриминантная, 99 критерий — линейной независимости функций, 151 — Льенара — Шипара, 276, 618, 619, 626-628 — Михайлова, 276, 620, 621, 623 — Рауса — Гурвица, 276, 616, 617„ 621, 625 Л Лагранжа — уравнение, 78, 192, 193 — — второго рода, 438-440, 629, 630, 750 — функция, 582, 629, 630 Лагранжа — Шарли метод, 228, 504, 517 Лапласа преобразование, 324 †, линейность, 324, 686, 688, 710, 734 —, однородность, 324 Левинсона — Смита теорема о наличии предельных циклов, 306, 676 лемма Бихари, 83, 201, 202 Липшица условие, 82, 240 Лиувилля преобразование, 165, 381— 387 Лорана ряд, 340 —, главная часть, 340 —, правильная часть, 340 Льенара — Шипара критерий, 276, 618, 619, 626-628 Ляпунова — теорема — — вторая, 275, 606-609, 611, 615 — — первая (об устойчивости по первому приближению), 274-275, 589-593, 595, 598-600, 602, 615, 630 — функция, 275, 606-615, 630 М матрица — векторного д.
у. — — интегральная, 182 — — фундаментальная, 182 — Вронского, 182 — Гурвица, 275, 616-619, 621, 622, 624- 627 матрицант, 183 метод †вариац — — произвольного вектора, 183, 429 †4 — — произвольных постоянных, 39, 136, 151, 87-89, 91-93, 97, 108, 325, 326, 331, 342, 360, 431 — исключения, 200, 408-420, 431, 435, 442, 449-451, 453, 454 — Коши — — отыскания интегральной поверхности, 229, 519 — 521 — — —, обобщение, 229, 522-524 — — отыскания частного решения неоднородного д. у., 137 — Лагранжа — Шарпи, 228, 504, 517 — малого параметра, 247, 559 — 566, 568 — неопределенных коэффициентов„ 136, 141, 315 — 324, 328, 329, 410, 432 — подбора интегрируемых комбинаций,201,443-448 — последовательных приближений,Ш вЂ” разбиения данного уравнения на две части, 53, 149, 154-156, 158-160 — Рунге — Кутта численного решения д.у., 267, 572 — 575 — степенных рядов„ 246-247, 537-555, 576, 577 — Штермера численного решения д.у., 267, 575 — 577 — Эйлера — — отыскания общего решения неоднородной системы д.у., 184, 420-429, 433, 437, 439 — — численногорешения д.
у., 266, 569 †5 Миндинга — Дарбу уравнение, 40, 106- 109 Михайлова критерий, 276, 620, 621, 623 множитель интегрирующий, 53 О определитель Вронского, 151, 183 Осгуда теорема, 82 Остроградского — Лиувилля формула, 151, 362, 363 П Пеано теорема, 82 Пикаратеорема, 82, 199-204, 207 плоскость фазовая, 305 показатель роста функции, 323 полюс, 340 порядок полюса, 340 преобразование — Лапласа, 324 , линейность, 324, 686, 688, 710, 734 , однородность, 324 — Лиувилля, 165, 381-387 прием Гессе, 208, 460-462 признак отсутствия предельных циклов — Бендиксона, 306, 672, 675 — Пуанкаре, 306, 673, 678 пространство фазовое, 305 Пуанкаре признак отсутствия предельных циклов, 306, 673, 678 Пфаффа уравнение, 213, 233, 491-500, 503, 505-508, 511, 517 Р Рауса — Гурвица критерий, 276, 676, 6/7, 621, 625 Рейссига теорема о наличии предельных циклов, 306 — 307, 677 решение — -дифференциального уравнения — — изолированное, 105 — — особое, 99 — задачи Коши — — общее, 4 — — частное, 4 — неустойчивое в смысле Ляпунова, 274 — — обыкновенного д.
у. и -го порядка, 4 — устойчивое — — асимптотически, 274 — — по Ляпунову, 274 Риккати уравнение специальное, 67, 70 — 71, 164 — 167, 169-171 Романа — Мемина формула обращения, 339-340 Рунге — Кутта метод численного решения д. у., 267, 572 — 575 ряд — Лорана, 340 , главная часть, 340 , правильная часть, 340 — Фурье, 556-558, 728 С самосопряженная форма линейного д. у. 2-го порядка, 152 седло,293 синус интегральный, 335 — гиперболический, 335 синус-интеграл Френеля, 334, 707, 712, 713, 763 система — Гессе, 208 — линейных д.
у. — — автономная, 305 — — неоднородная, 182, 184 ††нормал,200 — — однородная,182 — решений однородного д. у. фундаментальная, 151 скорость фазовая, 305 Т теорема — запаздывания, 324, 689, 739, 741, 768 — Левинсона †Сми оналичии предельных циклов, 306, 676 — Ляпунова — — вторая, 275, 606-609, 611, 615 — — первая (об устойчивости по первому приближению), 274-275, 5*9-595, 595, 598-600, 602, 615, 630 — о дифференцировании — — изображения преобразования Лапласа, 325, 704 — 706, 723, 749 — — оригинала преобразования Лапласа, 324, 700 — 702, 740 — о линейности преобразования Лапласа, 324, 686, 688, 710, 734 — о предельных соотношениях, 325 — о существовании и единственности решения задачи Коши, 82 — об интегрировании — — изображения преобразования Лапласа, 325, 708 — 710, 732 — — оригинала преобразования Лапласа, 325, 707, 708, 718, 724, 733, 742 — об однородности преобразования Лапласа, 324 — опережения, 324 — Осгуда, 82 — Пеано, 82 — Пикара, 82, 199-204, 207 — подобия, 324, 6~7, 6*9, 765 — разложения — — вторая, 342, 725, 727, 728, 736, 738, 739, 741, 743-745, 747, 750, 751, 767 — — первая, 341, 729 — Рейссига о наличии предельных циклов, 306 — 307, 677 — смещения, 324, 699, 7У5, 734 — умножения — — обобщенная А.
М. Эфроса, 336, 764 — — Э.Бореля, 336, 711-715, 719, 720, 740, 752, 753, 762 — Четаева о неустойчивости, 275, 612 †6 точка †разветвлен многозначной функции, 342 — системы двух д. у. первого порядка особая, 293 — функции особая — — однозначного характера, 340 — — устранимая, 340 — функции существенно особая, 340 траектории — изогональные, 106 — на фазовой плоскости. 305 — ортогональные, 106 У узел, 293 — вырожденный, 293 — дикритический, 293 уравнение †Бернул, 39, 115, 97, 99, 101, 103, 106, 168, 265, 447 — в частных производных — — гиперболического типа, 366 — — квазилинейное 1-го порядка, 212 — — нелинейное 1-го порядка, 228 — — параболического типа, 366 — дифференциальное — — в-го порядка, 4 — — — каноническое, 4 — — в полных дифференциалах, 53 — — для интегрирующего множителя, 54 — линейное — — 1-го порядка, 39 — — 2-го порядка, 152 — — —, инвариант, 152 — — —, канонический вид, 152 — — —, самосопряженная форма, 152 — — и-го порядка, 135, 150 — — — неоднородное, 135 — — — однородное, 135 — не разрешенное относительно производной, 73 — обобщенно-однородное, 30, 122 — однородное, 29 — однородное относительно функции и ее производных, 122 — с разделяющимися переменными, 11 — интегральное — — Абеля, 359 — — Вольтерра линейное — — — 1-го рода, 358 — — — 2-го рода, 358 — — — особое, 359 — — Фредгольма — — — 1-го рода„357 — — — 2-го рода, 357 — — — однородное, 357 — — — особое, 359 — Клеро, 78, 191, 194 — Лаграюка, 78, 192, 193 — — второго рода, 438-440, 629, 630, 750 — Миндинга — Дарбу, 40, 106-109 — Пфаффа, 213, 233, 491-500, 503, 505- 508, 511, 517 — Риккати специальное, 67, 70-71, 164-167, 169-171 — характеристическое, 136, 184 — Чебышева, 152 — Эйлера, 152, 371„372, 391 — Эйлера — Риккати, 67, 152, 163, 282 — — каноническое, 67, 172 условие Липшица, 82, 240 Ф фокус, 293 форма — векторная системы линейных д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
