Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 26
Текст из файла (страница 26)
~в 236. (2а — х)у = х . М Исключая параметр а из системы (2а — х)у — х =О, — у +2(2а — х)уу — Зх =О, получаем дифференциальное уравнение данного семейства: 2У'х — Зх у — у = О. з з з Ему соответствуют дифференциальное уравнение ортогональных траекторий 2х +(Зх у+у )у' = О. Последнее уравнение однородное. Решая его известным способом, находим общий интеграл: Зц+ цз г ах У г(ц+ / — = 1пС, где ц = —, ц»+Зцз+2,/ х х' (хз + уз)з = С(2хз Ф уз). ы 237. х'+ у' = 2ах.
М Аналогично проделанному выше, имеем х + у — 2ах = О, 2х+ 2уу' — 2а = О, откуда 2хуу + х — у = О. После замены в последнем уравнении у на — ут получим дифференз з з ! 1 циальное уравнение ортогональных траекторий (уз — х )у'+ 2ху = О. Это однородное уравнение. Полагая у = хц(х), имеем з(х ц — 1 з — + г(ц = О. цз+ц Общий интеграл зтого уравнения имеет вид х(из+1) =Сц, или х +уз =Су. ~ 238. у' — 2р(х — а) = О. м Искюочение параметра а нз уравнений У вЂ” 2р(х — а) О, 2уу' — 2р = 0 1ОВ Гл. 1. Диффереициальвме уравнения первого порядка с одновременной заменой у на — -т приводит к дифференциальному уравнению ортогональных 1 у траекторий у+ру'=О.
Интегрируя его, находим у=Се У. Таким обраюм, исходное семейство парабол ортогонально семейству экспонент. м Найти семейства изогональн ых траекторий линий. 239. х — у = х + а ~зг = 4) . я Дифференциальное уравнение данных линий имеет вид ! — у' — 2х = О. Отсюда, используя уравнение (1), п. 10.1, (т = 1), получаем дифференциальное уравненце изогональных траекторий у' — 1 1 — — — 2х= О, или 1 — х — ху =О.
у 41 Интегрируя последнее уравнение, находим требуемые траектории у = 1и Сх — х. > 240. х + у' = 2ах (уг = Ц. и Заьгеняя в дифференциальном уравнении х' — у'+ 2хуу' = 0 данного семейства производг ную у на Уг — -, согласно (1), и.
10.1, получаем у г1' У (х' — у~+ 2ху) д х — у' — 2ху = О. Интегрируя зто однородное дифференциальное уравнение, находим 1 — 2 где откуда х +у =С(х — у).1ь 241. х' д у' = а' ((з = а). М Если в дифференциальном уравнении данного семейства х + уу' = О вместо у' подставить г -У вЂ” тв — (а Ф ~т), то получилг дифференциальное уравнение нзогонадьных траекторий 1+у Гаа ут — х у =, т = гва. хга -ь у ' Перейдя к полярным координатам х = рсоа д, у = р яп д, получим уравнение р' д глр = О, откуда р = Се 242.
р = а(1 + соз д) ~(е = Я . я Исключив параметр а из уравнений р = — аяпд, р=а(1+совр), получим дифференциальное уравнение данного семейства: ряпд+(1+саад)р = О. Отсюда, согласно (4), и. 10.1, находим дифз$еренциальное уравнение оргогональных траекгорий р'япд — (1+сова)р = О, которое можно записать в виде 1+ созд р' япд р й 1О.
Задачи иа траектории 109 Проинтегрировав полученное уравнение, находим искомое семейство г В р= Сягп —, илн В = С(1 — сояв). ~ 2' 243. р'т)пгвв+с ((с= Я). ~ Заменив в дифференциальном уравнении семейства 1 'п 2В производную р' на — ст, согласно (4), и. 10.1, имеем дифференциальное уравнение ортогональных Р к данному семейству траекторий р' ч- р' я(п 2В = О. Разделяя в нем переменные и интегрируя, находим требуемые траектории: 2 Р С вЂ” соя 2В 2 244. р'= — (о =а). соя 2В а 2(ействуеьг по той же схеме, чго и в предыдущем примере.
Сначала получаем дифференциальное уравнение данного семейства: р' = ргв2в. заменив в этом уравнении р' на р с — — ~4, где пг = гва (а Ф ~~), согласно (3), п.10.1, имеем Р— гав дифференциальное уравнение иэогональных траекторий р'(1+ пг га 2В) = р(яв 2 — пг), р ~ О, нли — = гд(2 — а).
Р Интегрируя последнее уравнение, находим семейство изогональных траекторий С Р= 'щ2г — я 245. р = а(1 -> соя В) (уг = а; а ~ ~~) . а Дифференциальное уравнение данного семейсша имеет вид р (! + соя В) -> р йп В = О. Заменив здесь р' на р~ — — 4 (гп = гйа), получим дифференциальное уравнение изогонааьных +т р — ляр траекторий: р (1 -ь соя  — пт я( и В) -ь р(пг -ь пг соя В + я1п В) = О, нли я ".'"л '"я В ° В Р соя 2 — тя(п у в в' Проинтегрировав это соотношение, получим (пра 21п)сову — пгя(п 21+(пС„игш р= Ссоя ~2+а).
~ В В! тгв 24б. р = а соя В (Р = а; а ~ Я. М Заменяя в дифференциальном уравнении этого семейства р сояв+ рип — О По Гл. 1. Диффереициазвяые уравнения вирвого порядка Найти эвольвенты линий. 247. у = а с)! - (цеппал линия). < Запишем сначала параметрические уравнения цепной линии: ( = аС, !) = а сЬ С, дп а затем, вычислив производную л! — — зг = зы„воспользуемся первым уравнением в (5), и. 10.2. Тогда получим Ф~ дх ас = ад!, 4!) = аз)!гдС, !)! = — = з)!С = - —. д( ду Второе уравнение в (5) примет вид у = ас)!С+5ЬПх — аС). Дифференцируя обе части (2) и подставив !Су в (1), получим: дх з)зС =— (х — аС) с)!Сдг+з(СС!Сх (2) или дх хай! -> сйС вЂ” = а!япг.
41 Решая линейное уравнение с помощью метода вариации произвольной постоянной, находим: С х = а(С вЂ” 0! Ц+ —. (3) ей С Подставив значение х в (2), имеем СзЬС+а си С Параметрические уравнения семейства эвольвент цепной линии имеют вид (3), (4). Сь 248. ( = а(созС+ Сяп(), !) = а(з(пС вЂ” Ссозг) (окружность). Ч Действуя по той же схеме, что и в предыдущем примере, получим: ду д( = аСсозг, дг) = агз!пС, — = !ВС, г((г (4) 1 у = а(япс — ссозс)+гйс(х — а(сов!+се(пс)), ду = гйсдх+ — (х — а(сов!+ сяпс)) дс, с 'С дх дх СВ!в — + х101 = аяпЦ1+ С!йС).
1й(г(х+ — з-(х а(созС+Сзшг))дг гй Интегрируя полученное линейное уравнение с помощью метода вариации произвольной постоянной, находим: аС х = Ссозг+ — (2япС вЂ” Ссозг). 2 Тогда а(з з! у = -а(созС+ С вЂ” — ) япС. 2) Получили параметрические уравнения искомого семейства звольвент. я производную р' на р~ — — т (т = 1ва), согласно (3), п. 10.1, записываем дифференциальное '+ю р — пгр уравнение изогональных траекторий: р' гйд+гйа = — !В(д + о). р 1 — !йа1йд интегрируя которое, получаем исходное семейство: р = С со!(д -Ь а).
Очевидно, если а = О, то полученное семейство, естественно, совпадает с данным в условии задачи. и $10. Задачи ва траеишрии 249. б = а(С вЂ” яп|), г! = а(1 — со!|) (циклоида), М Аналогично с проделанным выше, имеем: э(г) С э(( = а(1 — соаС)э(С, э(г) = аяп|ей, — = с|й —, г(С 2' ( у = а(1 — соя С) + сгй — ! х — а(С вЂ” яп С)! = 2а + сгй — (х — аС), 2! / С (х-а|) С г(х э(у = (э(х — а гй) с!и — — гй, сгй 2 2 з|п' 2 ' 2 (э(х — а эй) сгй 2 — 1*:; |Сш 2зш' 2 После згеслокных преобразований получим линейное дифференциальное уравнение г(х х С а — — — сгй — = -(яп| — С)сгй —, эй 2 2 2 2' общий интеграл которого имеет вид 250.
( = а сок'С, г) = аяп'С (астраида). Л Поскольку г(С = -Засох'Сяп|Ж, эгэ) =- Заз|п'Ссоз(эй, то Ф . з э э(( — = — гй|, у =аяп С вЂ” гйС(х — асш С), х г(С э(у = асса|эй — — — |й|г(х, созз С э(х !йС = хгй а сот С э(С - -* — з — — гй С э(х сез С Из последнего равенства получаем линейное дифференциальное уравнение э(х з — +хц(С = асов С!и|. эй Его общее решение имеет вид э х = Ссоз(+ — соз(зш С. 2 Осталось найти у. Находим: у = азш С вЂ” !и| (Ссоз(+ -соз(яп С вЂ” асов С) = -Сз|п|+асов Сяп|+ — яп С. з з з з ".з 2 ) Получили параметрические уравнения требуемых звольвент: э х= Ссоа(+ — соа|яп С, у= -Сяп|+ -япС(1+сов С).
м 2 2 — „ = ЗС'. М Как и в предыдущих примерах„имеем: эСС = — бС с(С э(э) = 61 эй — = — — у = ЗС з 'Сг) 1 з э > Сс С) э!э) 1 э(х (-,*,+ге) й — ф /х ~ э(х э(у = ~ — + 2(у! эй — —, С С вЂ” — (а+ 2! ) э(х х 21 лС С(Сз+ П С +1' С х = С Б|п — .|- а(С -! 5|п С). 2 Тогда Сэ' С У = а(1 — соз С) + сэй — !! С Яп — + а(С + Яп С) — а(С вЂ” з|п С) у! = С соз — -Ь а(3 + со! С). М г Гл. 1.
Диффереивиальвме уравнении иеуааго ворааиа 112 Применив к полученному линейному дифференциальному уравнению метод вариации произволь- ной постоянной, находим; СС х=2С+ Лт+1' Для определения у подставим полученное значение х во второе уравнение системы (5), п.
10.2. Имеем у = ЗС вЂ” — (ХЗС+ + 21 ~ = С вЂ” 2— 1 СС гд г С Лт+ 1 г' ЬГСт+ 1 Таким образом, параметрические уравнения звольвент данной кривой записываются в виде: сс с х=2С+, у=С вЂ” 2— Л'+ 1' ' Л'+1' Упражнения для самостоятельной работы Найти решения следующих зацач. / 1.
у' = ~' ( х ь» — х г -г ), х ~ О. 2. у' = ~5ф- г(Сг у(0) = 1. гг= ! а 3. у!(х+ ( гху — г/х) г(у = О, у(1) = 1. 4. х'у' — сох 2у — 1 = О, у(+со) = тт. 5. (х' + 1)у' = 2ху, ~ у(х) г(х сходится. 6. — ~у(С) 4С = йу(х), у(1) = 1, Сг = сонг!. Проинтегрировать уравнения. 7. У = 8~+ е* — г-"-т. 8. У' = 8~+ г)пхГайх. 9. (2х — 4У+6)4х+(х+У вЂ” З)г(У = 0 10. (х + у+ 4)у' = 2х + Зу — 5.
11. ~ухуу' = )(хг — у' + уг, Найти решения следующих задач Коши. 12. ип ( — * — Ą— ) Оу+ с*~о+'г(х = О, у(0) = 2. 13. (х'у' — у)4х — (х у' — 2х'уз+Ох) бу = О, у(1) = 1. 14. (х" — у )г(а+ у! (хг — уг) г(у = О, у(1) = 1. 15. ху' = ус!и)п й~г у(1) = ег. Проинтегрировать слелующие линейные уравнения и сводящиеся к ним. 16. у = х(у' — х соз х). 17. у' + у гш х = мп х. 18. (ху + е*) 4х — х 49 = О. 19. у'= — 8 — т. 20.
у'+29 =е* ° у . 21. ху' — 2хг /у =4у. Построить общее решение уравнений в форме Коши. 22, у'+у — т®т — — е*. 23. у'+у(1+ хг) зшх =сгвх. 24. у'+у!ах =с!их. 25. у'+ л = х, 1+в х Решить следующие дифференциальные задачи. г 1 3 26. х 1п хЯ + гу = х(1п х — 1), у(е) = 2 — 5г. 27. хгу + у = е* — (г — * — г, I у(х) г(х < сс, (х +1) ',/ ! 28. у' = (Зхгуг .1. уг) (ху" .1. 2хгу), у(1) = 1 Проинтегрировать следующие уравнения Риккати. г 29. 2У'= хУ+У'+ — г — 3. 30. У'= кх — ~-+х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
