Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 32
Текст из файла (страница 32)
уз" + 8уи+ 24у" + 32у'+ 16у = О. < Характеристическое уравнение Л + 8Л' + 24Л + 32Л + 16 = (Л + 2)4 = 0 имеет корень Л = -2 кратности 1 = 4. Согласно и. 3.1, этому корню соответствуют четыре частных решения -24 -24 2 -24 3 -2* у,=е, уз=хе, уз — хе, у4 — хе Следовательно, У (С +С х+С х +С4х ) — общее решение. и ЗИ. у"' — 5у~+4у'" = 0; у(0) = у'(0) = у"(0) =ух(0) = у'"(0) = О, у~(0) = 2. и Составив характеристическое уравнение Л вЂ” 5Л'+4Л = 0 и решив его, получим Л, = Л, = = Лз — — Л4 — — О, Л, = 1, Лз =- 4. Следовательно, общее решение представится в виде: у = Сз + Сзх+Сзх +С4х'+С,с*+ Соез*.
Длв определения посюннных С, (3' = 1, 6), соответствующих искомому чаю ному решению, следу- ет последовательно продифференцировать пять раз общее решение и воспользоваться начальными условиями. Тогда получим систему уравнений относительно указанных постоянных: С, +Сз+Сз — — О, 6С,+С,+64С4 — — О, Сз+ Сз+ 4С4 = О, Сз + 256С4 = О, 2С3+С,+16С4=0, С,+1024С4= 2. Отслхза находим С, = — Т, Сз = 384, Сз — — Т2)1, С, = 32, Сз — — Тб, С4 = Т2. Таким образом, 85 21 5 2 1 3 2 4 1 у= — + — х+ — х + — х — -е*+ — е 128 32 16 12 3 384 — искомое частное решение.
м 313. ум+ зузт = о; у(о) = 1 у'(о) = уо(о) = у'4(о) = у"(о) = д'(о) = о. и Из харакзериспзческого уравнения Л'+ЗЛ = 0 находим сто корни Лз = Л, = Л, = Л4 = О, Л, = зч23, Ло — — -ззз'3. Согласно и. 3.1, записываем общее решение данного дифференциального уравнения у = С, + Сзх + Сзх + Сз*'+ Сз яп 3/ Зх + Со соо Ях. Аналогично проделанному в предылушем примере составляем систему уравнений относительно постоянных Сз (3 = 1, 6) и решаем ее.
Тогда получим: С, = 1, Сз = 0 (з = 2, 6). Следовательно, частное решение имеет вилз у=1. М Найти общие решения неоднородных уравнений, а также частные решения там, где указаны начальные условия. 314. у"-2у'-Зу = е"; у(О) =1, у'(О) = О. и Сначала находим общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, т.е. уравнения у" — 2у' — Зу = О. Так как корни его характеристичеакого уравнения Л' — 2Л вЂ” 3 = 0 есть Лз — — -1, Лз = 3 „то укаэанное общее решение запишется в виде у = Сзе™ + Сзез*.
Поскольку правая часть уравнения у(х) = е и число 7 = 4 ие совпадает ни с змиям из корней характеристического уравнения, то в соответствии с п.3.2 частное решение данного неолнорцлного уравнения ищем в виде: у = Яо(х)е щ аое, (1) Гл. 2. Дифференциальные ураввеиия высшвх порядков где ао — пока что неизвестная постоянная. Для определения ао подсшвим (1) в исходное дифференциальное уравнение. Тогда получим тождество 5аое = е 4» о» из которого находим ао = 5.
Следовательно, у = Те и общее решение неоднородного уравне- 1 ! и ния запишется в виде 1 у = С!е *+С»ем+ — е~. 5 Подставив в общее решение, а также в производную от него, вместо х, у, у' значения О, 1, О соответственно, получим систему уравнений относительно Сн Сз.' 1 4 С!+С!-г — =1, -С~+ЗСт+ — =О. 5 5 Решив эту систему и подставив значения Си Сз в общее решение, найдем искомое частное: 4, 1 у= — е *+ — е 5 5 315. у" — у = 2е' — х~.
< Легко находим общее решение соответствующего однородного уравнения у = С,е' + С,е Так как правая часть данного дифференциального уравнения есть сумма функций Д + Д, имеющих вид Р (х)от*, то, согласно п.3.2, частное решение также ищем в виде суммы частных решений следующих неоднородных уравнений: у" — у.= 2е*, у" — у = -х~.
(2) В силу того, что в первом уравнении Т = 1, а во втором Т = О, согласно формуле (4), п.3.2, частные решения этих уравнений ищем соотвезственно в виде: у~ = лохе', уз = Ьох + Ь! х+ Ьм (3) где ао, Ьо, Ьн Ьз — пока что неизвестные коэффициенты. Для их определения подсшвим (3) в (2). Тогда получим тождества »» 2 2 2аое ш 2е, 26о — Ьох — Ь! х — Ьз ш -х, из которых, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим: 2Ьо — Ьз — — О или 6з — — 2. -6, =О, во=1, Ьо — — 1, Следовательно, частное решение исходною неоднородного уравнения будет у = у~ + уз — — хе* + а' + 2.
Наконец, принимая во внимание (1), записываем и общее решение этого уравнения: у = С, е*+ Сте * + хе* + х + 2. ° . 316. у" — Зу'+ 2у = з(пх. м Сначала запишем общее решение соответствующего однородного уравнения: у = С,е* + Сте Далее, представляя правую часть исходного уравнения в виде -1» ипх= — е — —,е ', 2» 2» замечаем, что Ъ = о, Тт = -»2 Поскольку у Ф Л, то, согласно п. 3.2, частное решение лифференциального уравнения ищем в виде: у»»у~+В~ $3.
Лянейпьзе диффереинввяьные уравпеняя с посппшпьзми коэффнцвевтамя 141 где Уз = аеез*, Ут = Ь,е '*. Подставлав фУнкцию У = аеез*+ Ьее в исходное УРавнение н пРнравннвая коэффициенты прн ез* и е '*, получаем 3 з 3 з аз= — — —, 6е=ае= — + —. 20 20' 20 20 Таким образом, частное решение запишется в анде 3 1 у =- аее'*+ нее '* = (ае+аз)созх+ з(ае — ае)мпх = — созх+ — япх, !О 1О а общее — в виде 3 1 у = С!с*+ С,е *+ — соля+ — я!пх. !ь 10 1О Примечание. Если коэффициенты левой части уравнения действнтелынл, лего прелая часть имеет лид ет'(Р (х) соз(3х -Н3л(х) ил йх), (1) то часпзое решение неоднородного уравнения можнО искать в виде У = х' (Г)р з(х) сот ух + з)з з(х) з!и 33х)т ет*, (2) где л = О, если у + )уз не является корнем харектернсзнческого уравнения, и л равно кратности этого корня е противном случае, р = шах(ш, н) . тлк, л РассмотРенном пРимеРе У = о, Рм(х) н О, !2ь(х) м 1, Р = о, 33 =- 1, лз й г + (ззл лт ~ г 4 Рзх Слеаамтельно, л = О н частное решение имеет лнд у = азсзжх 4 Ьеюлх, где ае, Ье — подлежашне определению «оэффицненты.
Подставил у в исхолное дифференциальное уравнение, находим аз = ТО, 3 ! Ье = )б. 317. у" +у = 4з!па. < Для нахождения частного решения даннопз неолнородного уравнения воспользуемся примечанием к примеру 316. В нашем случае Т = О, Р (х) = О, зс„(х) = 4, 33 = 1, р = О, Л, = з = Т + гЯ. Поэтому л = 1 н частное решение, согласно формуле (2) предыдущего примера, представятся в виде у = х(ар соя х + Ье яш х). (3) Подставив (3) в исходное дифференциальное уравнение и приравняв коэффициенты прн функциях пп х, соя х, находим аз = — 2, Ье = О. Наконец, приннман во внимание общее решение соответствующего однородного уравнения, записываем общее решение неоднородного уравнения: у = Сз юпх+ Сзсозх — 2хсоях.
~ Для каждою из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэф- фициемимн. 31зэ. у" — 2у'+ 2у = е*+ хвоях. М Находим корни харакзернстического уравнения; Л, = ! + з, Лз = 1 — з. Далее, поскольку правая часть рассматриваемого уравнения есть сумма двух функций, то частное решение у ищем в виде суммы частных решений уз и уз соответствующих уравнений: ул — 2у'+ 2у = е*, ул — 2у'+ 2у = хсоях. (1) Для построения частных решений у,, у, воспользуемся примечанием к примеру 316. В случае пеРвого нзУРавненнй (1) имеем 3= 1, 33= 0, Р (х) ш 1, у= 0.
Так как У+)уз Ф Л,, Т+)уз ~ Лт, то л = О. Следовательно, согласно формуле (2) указанного примечания, уз = Сее . В случае второго уравнения (1) у = О, 33 = 1, Р (х) ш х, О„(х) ш О, р = !. Поскольку Т+)уз ~ Л,, У + 33з ~ Лз, то л = О. Таким обРазом, согласно фоРмУле (2) из пРимечаниЯ после пРимеРа 316, ут = (аех + а з) соя я: + (Ьез + 6П яп х. Итак, частное решение исходного днфференшшльного уравнения следует искать в виде у = Сее*+(аех+аз)пах+(Ьех+ Ьз) яшх. > 142 Гл. 2.
Дхффереинвалввме уравиезвш высших поридюш 31»х». у" +бр'+ 10у = Зхе 㻠— 2е сова. М ПРежде всего находим коРни хаРактеРистического УРавнениЯ Л'+6Л+10 = 0: Лш ы-ЗЫ, Далее, пользуясь примечанием к примеру 316, строим частные решения, соответствующие уравнениям у» + бу' + 10у = Зхе ~, у" + бу' + 10у = -2е"созх. (1) В слУчае пеРвого из УРавнений (1) имеем У = -3, )3 = О, Р„(х) ш Зх, Р = 1. Так как У+)3! Ф Льм то в = О. В случае второго уравнения (1) у = 3, !3 = 1, Р (х) ш -2, Я„(х) ш О, р = О.
Далее, поскольку у+131=3+з Н'Л, „то о =О. Для первого иэ уравнений (1) частное решение имеет внд у~ = (аох+ а,)е -3» а дяя второго— уз = (Ьо сова+ Ь, в!па)е *, Сумма этих частных решений и есть искомое частное решение данного уравнения: у = (аох+а~)е '+(Ьосовх+Ь1в!пх)е . я 320. ух — 2у»+ 48' — 8у = емз!пгх+ гх'. < Находим корни характеристического уравнения Л' — 2Л'+ 4Л вЂ” 8 = 0: Л, = 2, Лод = хг!. По аналогии с проделанным в прельшущнх примерах устанавливаем, по для кюклого из двух уравнений у' — 2у«+48' — 8У = е з!п2х, у — 2у +48' — 8у = гхз имеем о = О. Кроме того, лля первого иэ этих уравнений у = 2, Д = 2, (2„(х) ш 1, Р (а) и О, р = О, а для второго — у = О, !) = О, Р„(х! = 2а, р = 2.
Следовательно, у! = (ао яо 2х + Ьо сов гх)е~, ув = Сох + С1х + Сз, у = у, +ув ы (аоз!п2х+Ьосзмгх)е +Сох +С,х+Сп Ы з» 2 321 ° у" — 4у' + 5у = ез» з!п~ х. < Определив корми характеристического уравнения Льз = 2 ф в н записав правую часть уравнения в виде з« ° в 1 2» ! 2» е в!и'х = — еы — - е сов2х, 2 2 аналогично проделанному выше получим у~ -- аое~', )п = (Ьо сов 2х+ Ь1 яп 2х)ез*. Таким образом, у = (ао + Ьо сов 2х+ Ь| в!и 2х)е 322.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
