Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 31
Текст из файла (страница 31)
м Согласно условию задачи имеем уравнение В = —,, где 51 — ралиус кривизны крий аой, а — указанный в задаче угол, й — коэффициент йропорциональносуи. Посколысу )2 = т 1 (14 ' )з Ь! = — 5г —, а = агсгйу', то написанное выше уравнение можно записать в виде б 3.
Линейные дифференциальные ураввевиа с паенмввыми козффощиевтами 135 Из первого уравнения слелует, что Т(х)соо а(х) = То = сапог, т.е. гориюнтальная составляющая натяжения нити всегда имеет постоянную величину. Из второго уравнения находим, что д(Т(х) з(п а(х)) = дР(х), или То д(гаа(х)) = дР(х), То «(у' = дР(х). (1) В данной задаче «!Р(х) = 1«дх, где й — коэффициент пропорциональности. Тогда из (1) следует уравнение То ду' = й дх, дважды интегрируя которое, получаем форму нити й у= — х +Се+С.ы 2То 303.
Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием се веса. < Пользуясь уравнением (1) из предыдущей зздачи н принимая ео внимание соотношение дР(х) = Рдда, где рд — вес единицы длины нити, дд = у 1+у' дх, получаем дифференциальное уравнение Г г формы этой нити: ° Г 2 У 2 2 Рд Тоу =Ругу)ту', или =а, а ч«1+ у" Так как у + у~1+у« = е откуда 1 2 ' о «о+С«г -а «*ос«2) 2 2 Проинтегрировав еще раз, получим (ео «о+с«г 1 е-о «о+с«21 + С нли у с)2(агх 1 С ) 1 С 2аг ' а2 5 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1.
Линейное диффереввиагоьвое уравнение ть-го порядка с востоавиымВ коэффнщбеигаьщ. Хараигериспоческое уравнение. Общее решеиве. Дифференциальное уравнение вида аоу + а«у" + ... + а„«у + а„у = у(х), (1) где аг = сапог (о = О, и), у — известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением и-оа нарядна с «нктаянннми коэффициентами.
Если у(х) и О, то уравнение (1) называется аднараднмн, в противном случае — неедниридньи«. Гл. 2. Дифференциальные уравнении высших порядюв 136 3.2. Попок частного решения лпвейвого уравнения п-го порядка с востояпяымв коэффвщйевтами методом неопределенных коэффициентов. Если правая часть уравнения (!) имеет вид 7(х) = Р„,(х)ет*, где Р (х) — многочлен степени ат, то час!мое решение уравнения (1) будет у = х'13 (х)е', (4) где й = О, если число 7 не совпадает ни с одним из корней характеристической о уравнения (2), и а равно кратности 1 корня уравнения (2), если число 7 с ним совпадает, йс (х) — многочлеп степени т.
Дли определения коэффициентов многочлеиа 9„,(х) следует (4) подставить в (1) и приравнять вырахгения при одинаковых функциях. если 7(х) = з !(х) + уз(х) + ... + 3р(х), то частное решение уравнения (1) состоит из суммы частных решений у, неоднородных уравнений аьу" + а, у'" '!+ ... + а„!у'+ а„у = У (х) (! = 1, р). 3.3. Метод вариация произвольных постоянных. Если 7 — непрерывная на сегменте функция, то чаем!ос решение уравнения (1) можно найти, применив метод вариации произаольных ногтоннньп, заключающийся в следующем.
Пусть построено общее решение однородного уравнения (1), т.е. имеется вырюкение (3). Тогда для отыскания частного решения неоднородного уравнения (1) поступают следующим образом: а) предполагают, что С„= Сй(х) — дифференцируемые функции; б) частное решение ищут в виде у(х) = 2 С (х)у„; й=! в) функции Сй(х) определяют из системы алгебраических уравнений ~,Сй(х)уй —— бал и ! = О, и — 1, о! У(х) й=! ай где б„! ! — символ Кронекера; г) получив решения системы (6) С,'(х) = (ой(х), интегрируют эти уравнения: Сй(х) = / (о(х) дх + ай, (5) (6) (7) где ай — постоянные; д) поде!валяют (7) в (5): п у(х) = ~, уй ( ~ уйй(х) Их + айт!).
й=! (8) Заметим, что формула (8) определяет также общее решение неоднородного уравнения (П. Если 7 — непрерывная на сегменте функция, то общее решение уравнении (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (!). Авгебраическое уравнение аьЛ" + а,Л" ' + ... + а„ ,Л + а„ = О (2) пазываетсн характеристическим, соответствующим однородному уравнению (1). Пусзь Л!, Лз, ..., ˄— корни уравнения (2). Каждому простому корню Л„соответствует частное решение однородного уравнения (1), имеющее вид у„= е!'*, а каждому корню Л, кратности ! (1 Ъ 2) — решения у, = е ', у„! = хе '*, ...,у,м, = х е "'. Произвольная линейная комбинация всех часпйых й-! й„) решений являеюи общим решением однородного уравнения (1), т. е.
п у(х) = ~, С!уй. (3) й=! в 3. Лииейиые дифференциальные уравнения с постояивыми козффипиевтами 137 3.4. Метод Коши нахождеввн частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения я-го порядка с постоянными коэффициентами. Пусть К(х, з) есть решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее начальньли условиям: К(х, з)/., = К,'(х, з)~., = ...
= К.'" п(х, з)~., = О, Х.'" п(х, з)|.=. = 1. (9) Тогда, если функция 7 непрерывна на сегменте [а, Ь) и хо Е (а, Ь1, х Е (а, Ь), то у(х) = / К(х, з)7(з) дз (РО) *о будет частным решением неоднородного уравнения (1) „удовлетворяющим начальным условиям у(хо) = у (хо) = ." = у (хо) = О ( -о Решение К(х, з) называется функцией вливиия для задачи Коши Найти общие решения однородных уравнений, а также частные решения там, где указаны начальные условия. 364. уз+ у' — 2у = О.
и Составляем характеристическое уравнение Л +Л вЂ 2. 305. у" — 2у' = О, у(0) = О> у'(0) = 2. и Характеристическое уравнение Лг-2Л = О, соответствующее данномудифференциальному, имеет корни Л, = 0 и Л, = 2, поэтому общее решение исходного уравнения записывается в виде у=С,+С,е зз Для нахождения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, продифференцируем общее решение. Получим у' = 2С,е". Затем в выражения для общего решения н его производной вместо х, у, у' подставим их значения О, О, 2 соответственно.
Имеем С( + Сз = О, 2Сз = 2, откуда С, = -1, Сз — — 1. Искомое частное решение имев~ вид у = е * — 1. В Зфб. уз' — Оу = О. и Из характеристического уравнения Л вЂ” 8 = 0 находим его корни Л, = 2, Лз = -1+ гз(З, Лз = -1 — (игЗ. Следовательно, общее решение есп произвольная линейная комбинация частных решений: у=С(е +(Сзе( +Сзе ' )е *. (1) Посколы(у коэффициенты данного дифференциального уравнения действительны, то решение (! ) можно представить в действительной форме, воспользовавшись формулами Эйлера (з -~гх . 1 (' (з -(о'( сову = — (е +е ), япу = — (е — е ). 2( л' 2з Подставляя значения ем~* = сов зг'Зх х з яп т('Зх в (1), получаем у = С(е + г((Со+ Со)с(из/Эх+ з(Сз — Сз)яп в73х) е™. (2) Его корни — Л, = 1, Л, = — 2. Корню Л, соответствует час(нее решение у, = е*, а корню Л, — решение уз = е '*.
Произвольная линейная комбинация этих решений есть общее решение данного уравнения: у = С(е* + Сзе ™. (ь 1ЗВ Гл. 2. Диффереиниальиме ураввеиив высших порядков Пусть С> = С> + >С>, С> = С> — зС>, где С>, С> — действительные произвольные постоянные. Тогда из (2) следует, что у = С>е +е *(С>созв>За+С>яп>443х), где С,, С> — новые действительные произвольные постоянные. Мы получили общее решение в действительной форме.
М 307. угт+4у = О. м Корни характеристического уравнения Л +4 = О находим, пользуясь известной формулой, которая, применительно к рассматриваемому случаю, имеет вид Лз = чз -4 4= ч 2е в, й = О, 3. Отсюда следует, что Л, = 1+ з, Л> = 1 — з, Л> = -1+ 4, Лз — — -! — в. Тогда линейная комбинация у = (С>е *+ С>е ) е + (С>е + Сзе ~~) е в (1) является общим решением рассматриваемою дифференциального уравнения. Так как козффи циенты дифференциальною уравнения действительны, то решение (1) можно представить в действительной форме с помощью формул Эйлера еы" = сверх вял р и положив С> — — С> + >С>, С> = С, — >С>, С> —— С>+ >С4, Сз —— С> — зС4, где С>, С>, С>, С4 — действительные произвольные постоянные. Тогла получим у = (С~ совх+ С>япх)е +(С>созх+ С4япх)е з, где С,, С>, С>, С4 — новые действительные произвольные постоянные.
!ь 308. ум+64у = О. < Находим корни характеристического уравнения Лз + 64 = О; язв>вы> Лз= в/-64=2е 4, у=0,5. После подстановки соответствующих значений й в формулу для Л„имеем Л, = вг'3+ з, Л> — — 2С Л> —— -ь>3+з, Л, = — т>З->, Л, = — 24, Лз — — ВГЗ вЂ” з. Следовательно, общее решение в комплексной форме представится в виде у = С> '*+ С,е >'*+ (С>е + С,е '*) е + (С>е'*+ Сзе '*) е ~* Положив здесь С> = С> + (С>, С> -— — С>, С> = С> + >С4, Сз —— С>, С> -— — С> + >С4, Сз = С, и воспользовавшись формулами Эйлера, получаем общее решение в действительной форме у = С, соз 2х + С, зш 2х + (С> сов х + С„яп х)е " + (Св соз х + Сз яп х)е где Св (! = 1, 6) — новые действительные произвольные постоянные.
м 309. у" — 2у'+у=о. м Из характеристического уравнения Л' — 2Л + ! = О находим его корни Л> — — Л> = 1. Так как кратность корня равна двум, то согласно п. 3. ! частные решения данною дифференциального уравнения имеют вид: у> —— е, у> — — хе .
Следовательно, у =(С +С. )е — общее решение. М 310. у>~+ 2уь+у = О. м Решив характеристическое уравнение Л'+ 2Л'+ ! ш (Л +!) =- О, получим Л, = Л> = С 'Л, =' Л, = -з. Согласно п. 3.1 записываем частные решения Вз и -вв -м ув =е, у>=хе, у,=е > у4 — хе а затем и общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения: у= Се'*+С>е з*+х(С>ез" + С е 4*). й 3. Линейные дифференциальные уравнения с паспвизимма яозффвциеитами 139 Если положить Сз — — Сз + зС2, Сз — — Сз, С, = Сз + зС4, С4 — — Сз, то придем к действительной форме общею решения у Сз соз х + Сз яп х + х(Сз соз х + С4 яп х) где С; (3 = 1, 4) — новые действительные произвольные поатоянные. М 311.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
