Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 47
Текст из файла (страница 47)
У(' — уг = х, уг'+16у~ — — х~, 0 < х <+со, 1цп (у, з(х)е у ) = О, у~(0) = 1, уг(0) =О. 19. х~у1' + хуз + Зу| — — О, х уз'+ 4ху1 + Зуз — — О, ! < х < +со, у|(1) = О, уз(1) = 1, уьз = 1т =О(*8), * + Проинтегрировать следующие нелинейные системы; 20 ~ х Ф х 21 Р 2 ~ й 2 22 ю ю й( + Построить первые интегралы систем: 2 Построить общий интеграл систем: 27 е = я = х = —.28.— г-= — ~= — г= — 7-.29.--г= — "— г= —.
йх еа ае яи йх 4 Их 4и ях и Нх х у х е ' х ху — 2г Глава 4 Уравнения в частных производных первого порядка ф 1. Линейные и квазилинейные уравнения 1.1. Основные понятна. 1.2. Решеппе квазплнпейиого уравнения в частпыл производных первого порядка. Для решения уравнения (1) поступают следующим образом. Составляют систему уравнений Ых~ дхз дх„ д« Х, Х ' Х„ й ' интегрируя которую находят и независимых первых интегралов: Ф2(хн хы ., х„, «) = С2, Ф2(х! х2 хч «) С2 (2) (3) Ф„(Х2, х2, ..., х, «) = С .
Общий интеграл уравнения (1) записывают так: Ф(Ф2, Ф2, ..., Фч) = (), (4) где Ф вЂ” произвольная дифференцируемая функция. При этом считается, что функции Х„1(в непрерывно дифференцируемые, не обращавшиеся в нуль одновременно в рассматриваемой области изменения переменных х„х„..., х„, «. 1.3.
Задача Коши. В приложениях часто требуется найти решение уравнения (1) Р(Х2 ХП Хв-Н Хвм ~ ° . Юг=*и Схема решения задачи Коши такова. Фиксируя в (3) переменную Ф2 (Х2~ Х2) ... ~ Хв-2~ ХН1 Х2Ч2 ~ ..., Хч~ 2р) 'рз (Х2, хз, ..., Хв 2, хвы ив+2, ..., х„, чз) при условии, что х) хв, получаем (5) Ф„ (х2 хз, ..., Хв-н Хвв> ав+и " . ~ ач, 'р) = б'ч. Квазивинвйным уравнением первого порядка в частных производных иазыввегся уравнение вида ч д Х2(Х2~ хг~ ° ° 1 Хч2 «) )2(х! Х2~ . 1 Х ) «)1 (1) где хн 21 — известные функции, « = «(х„х„..., х„) — функция, 22ошгежашая определению.
Гели функции х2 от «не зависят и )2 гв О, то уравнение (1) называется линейным однородным в частных производных. й 1. Линейные и авазилввейвые уравнения г!3 Исключив, если это возможно, из (5) переменные х„ хм ..., хь „ хьь„ ...,х„, имеем зависимость Р хм,С(,С(,...,С„=О. (6) ( ) Подставляя С; = Ф(, г = 1, и, взятые из (3), в (6) вместо С(, имеем окончательно г( „, й,, й„..., й„) = о. Иногда начальное условие задается неявно: Ф((х( хн ° > хч~ х) = 0~ рг(хц хм.
° ., х„, г) = О. Тогда, исключив переменные х„хн ..., х„, л из систем (3), (8), получим уравнение ,Р(С(, Сз, ... > С„) = 0 Наконец, подставив в (9) значения интегралов из (3), имеем: .Р(й„й„..., й„) =О. (7) (8) (9) (10) 1.4. Уравнение Пфаффа.
Уравнение вида Найти общее решение или общий интеграл для каждого из следующих уравнений: да дл 466. (:+ гу) — — у — = о. дх ду м Согласно формуле (2), п. 1.1, составляем систему уравнений: ах ду да а+2у -у 0 Р(х, у, г) Ых+ ('„)(х, у, з) ду + )((х, у, х) дх = 0 (11) называется уравнением Пфаффа. К нему сводится задача о нахождении семейства поверхностей и(х, у, а) = С, ортогональлых векторным линиям поля Р = (Р(х, у, х), (е(х, у, х), ц(х, у, а)) .
При этом дх, ду, Ыа — координаты вектора, лежащего в касатеяьной плоскости к искомым по- верхностям. Если поле Р по(енциально, т.е. Р = д-, (Г = д —, й = д —, то искомая поверхность (Г да ди да х' у' х' находится с помощью криволинейного интеграла: и(х, у, а) — / Р((х+()ду+ Лдл.
(! 2) (м м.ч) Если поле Р не потенциально, то в некоторых случаях можно подобрать множитель р = р(х, у, а) так, что потенциальным окажется поле РР. Следовательно, ди ди ди РР= —, д() = —, РЛ= —. дх' ду' дз Необходимым и достаточным условием существования семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям, является равенство (Р, го(Р) = О, Если зто условие выполнено, то урав- нение (11) можно интегрировать как с помощью интегрирующего множителя, так и с помощью следующего метода. Считают некоторую переменную в уравнении (11) постоянной и интегрируют оставшуюся часть уравнения.
В полученном интеграле постоянную интегрирования принимают за неизвестную функцию от ранее зафиксированной переменной и подбирают ее таким образом, чтобы интеграл удовлетворял уравнению (! 1). Если (Р, го1 Р) = О, то говорит, что уравнение (! 1) интегрируется одним соотношением. Если же (Р, го(Р) г( О, то уравнение Пфаффа интегрируют двумя соотношениями, т.е. ищут не по- верхности, ортогонааьные векгорным линиям поля Р, а линии, облаааюшие тем же свойством и лежащие на заданной поверхности и(х, у, з) = О.
Исключив оцну нз переменных из уравне- ний (11) и и(х, у, а) = О, получают обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. 214 Гл. 4. Уравнения в чаегиых иранзводвых иервого порядка Из вгорого уравнения получаем первый интеграл а = С,. Первое уравнение удх+ (а+ 2у)ду = О является уравнением в полных дифференциалах, поэгому у дх, + ( 2у, ду, = ау+ уз = С вЂ” его интеграл.
Общий интеграл данного уравнения имеет вид (см. (4), п. 1Л): р (», *у + у') = О. Разрешив последнее уравнение относительно а, получим общее решение = ж(*у+ у ) где р — произвольны дифференцируемая функция. Ь ди ди ди 467. (х — л) — +(у — а) — + 2а — = О. дх ду да ч Составляем систему уравнений: дх ду да (1) х — г у — е 2а (и = С| — первый интеграл — очевидно). Из системы (1) получаем две интегрируемые комбинщши: г((х + е) Ж~ д(у + г) Ж х+а 2а' у+а 2е' откуда находим два первых независимых интеграла (х+ а) (у+ а) =С, =С,. Таким образом, общий интеграл представляется в виде: ж(и,(Р—;1)-,-(У+ — ") = О, откуда следует общее решение ((х +г)~ Зу +е)) где р — произвольная дифференцируемая функция. ~» еда 2 да 468.
е* — + у — = уе*. дх ду ч Составляем систему Ых Ну да е* ут уе* Из первого уравнения находим один первый интеграл — „— е * = С„а из второго с учетом равенства е* = Т-у-С- следует еще один первый интеграл у )и |у) — х = С,.
е* — у' Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет ФЯ вЂ” е, =.)У) — ~~. — а) = О. ' е *-у Общее ие решение его имеет вил а =,, +ге(у — е *). И 1п (у! — х $1. Лине(шые и ваазилилейвзае уравнения 469. (х'+ут) — +2ху — +х'=О. д Уу и Из системы 215 ех ну бх х +уз 2ху -х находим два первых независимых интеграла: хт — -У=С„ У Следовательно, общее решение имеет вид: =„*..+ (*.
)' х 1 — + — = Сз хт уг дх дз 470. ху — + (* — 2з) — = ух. дх ду и Система уравнений дает два независимых интеграла: т — = С„2х — у — 4з = Ст. х Следовательно, общий интеграл данного уравнения имеет вид: Ф(х, 2х — у — 4х) = О. и ди ди ди 471. (у+ з) — + (з + х) — + (х+ у) — = и.
дх ду дх и Находим первые интегралы системы: ах Ыу бя ~й~ у+х х+з х+у и Из этой системы образуем три интегрируемые комбинации: Ю(х — у) йи д(х — з) йю Ю(х + у + з) у — х и' з — х и' 2(и+у+я) интегрируя которые получаем три независимых первых интеграла: х+у+г и(х — у) = Сн и(х — л) = Сз, А тогда общий интеграл данного уравнения представится в виде: Ф~и(х — у), и(х — х), ~-~ууч — х) = О. М и откупа следует первый интеграл х — у — =С. х ди ди ди 472.
(и — х) — + (и — у) — — з — = а+ у. дх ду дх и Аналогично прелыаущему примеру имеем: Юу <Ь ди и — х и — у -х х+у На основании свойства пропорции получаем интегрируем)то комбинашпо г((х — у) бх х — у х 216 Гл. 4. Уравнения в частных производных первого порядка Аналогично имеем еше одну комбинацию з((х+ у+ 2и) з(х 2и — (х+у)+2(а+у) з ' з((х + у+ 2и) дз 2и+х+у з' откуда интегрированием находим (х + у+ 2и)а = Сз — первый интеграл.
Остается найти еще одни первый интеграл. Для этого с помощью последнего интеграла исключим сумму х + у из третьего уравнения системы. Тогда придем к уравнению дя з з(и г 2из — Сз Интегрируя это уравнение, имеем еще один первый интеграл Сз 2 и — х — у +Сзз =ь = Сз. За Зх2 Таким образом, общий интеграл имеет вид: Ф( — -й, (х+у+2и)з, — т ~) =О. и Найти решения следующих уравнений, удовлетворяющие указанным условиям: дз , дг 473. — + (2е* — у) — = О; х = у при х = О.
дх ду м Согласно п. 1.2 сначала мы должны найти общее решение. Из уравнения Ых з(у 1 2е* — у находим первый интеграл уе — е =С. й Зз Следовательно, общее решение будет з =)з(уе* — е ). Теперь найдем функцию р, пользуясь начальными условиями. Полагая здесь у -1 = и, получаем уз(и) = и + 1. Таким образом, з=уе' — а*+1 есть искомое решение. Ь ди ди ди 474. — + — + 2 — = О; и = уз при х = ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
