Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 64
Текст из файла (страница 64)
м х у 633. х = Эх — 4У, у = х — 2у. М Из уравнения ~3 — Л -4 находим Льз = -2 —. Так как корни Лгд действительны 1хз и имеют разные знаки, то особая точка — седло. В этом случае семейство интегральных кривых (гипербол) имеет две прямые, 77 проходящие через начало координат х = 2, у = хг (2 — параметр). Для нахождения углового коэффициента У подставим параметрические уравнения прямых в систему лифференциальных уравнений. После исключения параметра 2 получим уравнение для Ул 4йз — 5(с+1 = О, Гл. б. Успгйчивесть и фазовые траектории следует, что Л, = Л, = О. Это значит, что коэффициенты данных уравнений пропорциональны.
Следовательно, прямая у = 2х состо- ит из особых точек. Семейство интегральных кривых лепко найти из уравнения — =2 ~ у=2х+С С~О. бу бх Физически семейство кривых, изобрюкенных на рис. 37, можно интерпретировать как картину ламинарного течения двух противоположно направленных потоков жидкости, причем скорость течения в обоих случаях растет по абсолютной величине по мере удаления от линии их раздела (у = 2х), где она равна нулю. м 637. й=х, у=у.
< Составив и решив характеристическое уравнение, найдем его корни рве. 37 л,=л Значит, точка (О, 0) — дикритический узел. Разделив почленно одно уравнение на другое и проинтегрировав результат, получим семейство прямых у=ух, х=О (рис. 38). Поскольку Ке Л, з > О, то узел неустойчив. м 638. й=о, у=о. м Очевидно, вся плоскость Оху состоит нз особых точек. Семейспю же интегральных кривых на плоскости Оху не существует.
м Прмиечвиие. В пространстве Охре интегральные кривые нредетзвдякгг собой прямые, параллельные оси ОГ. 63Д у, 4х-У Зх — 2у М Из характеристического уравнения — ! 0 находим корни Льз=!х2й Следовательно, особая точка — фокус. Для вьиснения вопроса о направвении закручивания интегральных кривых (спиралей) положим х = 1, у = 0 в системе уравнений: х = Зх — 2у, у =4х — у. Прямечмме. Об устойчивости особой точки исходного уравнения ничего сказать нельзя, твк квк при замене 1 ив — Г уравнение вида не меняет, траекгорин движения (интегральные кривые) не замкнуты и устойчивость в данном случае зависят ст направления двииеиия по траекториям. 648. „= 'х+У. Зх+ 4у м Составив и решив уравнение 3 — Л 4 Л )=0; Лг=5, Лз=-1, Тогда, приняв во внимание, что для этой системы фокус будет неустойчивым, а также направле- ние вектора скорости и(1, 0) = (3, 4), заключаем, что при удалении от начала координат движение по спирали осущеспияется против хода часовой стрелки (рис.
39). 1ь 297 в2, Особые тачка видим, что особая точка — седло. Путем подстановки у = йх в дифференциальное уравнение находим интегральные прямые (асимптоты семейства деформированных гипербол). Имеем 2+й 1 й= ~ й~= —, 3+ 4й 2' Таким образом, две прямые )гг = — 1 ° у= — у=-х 2' — искомые. Далее, ясно, что особая точка неустойчива (в данном случае, в отличие от предыдущего примера, характер тривиального решения не зависит от направления движения по траекториям). Примерный вид семейства изображен на рис. 40. М В задачах 641-647 найти и исследовать особые точки данных уравнений и систем.
(141, 2х+ у ° у = х — 2у — 5 м Из системы уравнений 2х+ у = О, х — 2у — 5 = 0 находим координаты особой точки: х = 1, у = -2. Далее делаем перенос начала координат в эту точку: 0 х=!+6, у=-2+и. В результате приходим к уравнению: 49 Ц+О и( 6 — 20 Поскольку корни уравнения 1 — Л -2 гсы 2 1Л=О имеют вид: Льз = 1 х 21, то утверждаем, что особая точка — фокус. Положив в системе 6=6-29, 9=26+9 6 = 1, О = О, получим вектор скорости и(1, 0) = (1, 2). Если принять еще во внимьэгие, что для этой системы точка (О, 0) — неустойчивый фокус, то легко видеть, что при движении по спиралям от начала координат О,69 будет происходить вращение щютив хода часовой стрелки (рис.
41). Заметим, что, как в примере 639, об устойчивости фокуса ничего сказать нельзя. м гу хз — уз — 1 м Из системы 2у=О, х — у †1 2 2 находим координаты особых точек (-1, 0); (1, 0). Сделав замену х = -1 + 6, у = О, приведем данное уравнение к виду ОО 20 пч ч~ — Оз — 26 Нарялу с уравнением (1) рассматриваем "укороченное" уравнение ог) йб -6' 298 Гл. б. Устойчивость и фазавме траеатории полученное, очевидно, путем отбрасывания нелинейных членов из уравнения (1).
Поскольку действительные части корней характеристического уравнения, соответствующего последнему дифференциальному, отличны от нуля (Л,, = ф2), а также функция 2 — +» (у» О)»-» 8 — »1 = о ((б + О )у+») при б' + От 0 (е > 0), то согласно п.
2.2 особая точка уравнении (1) будет того х»е типа, что особая точка укороченного уравнения. Более того, картины расположения интегральных кривых уравнения (1) и укороченного уравнения в малой окрестности особой точки булут примерно одинаковы (точнее, чем меньше окрестность, тем больше совпадение картин).
Таким образом, точка (-1, 0) — седло для исходного уравнения. Далее, сделав замену а = 1+ с, у = гг, приходим к уравнению »»О 20 ,Ц ь»г, т + 2ь» и соответствующему ему укороченному О К б Укороченное уравнение имеет особую точку (О, 0), которая, как следует из уравнения О 2 — Л ( является дикритическим узлом. По причине, изложенной выше, точка (1, О) будет дикритическим узлом и для исходного уравнения. М у+ г)+20*' ° у = *+ у+1 м Из системы уравнений у+ ь»1+20аз = О, х+ у+ 1 = 0 находим особые точки: (О, -!); (2, — 3).
Исследуем каждую из них. С помощью замены х = б, у = -! + О данное уравнение приводим к вцлу: ! »(О 0 — 1.1. (1+ 20О»»1+ 5Г»збз + о(бз) 4б (+0 б+») Укороченное уравнение г(0 О+ 58 б+ как следует из соответствующего ему характеристического 5 1 — Л ! имеет седло (Л»,з — — 1 ~ »/5). Далее, функция 4 — — б + о(Г ) = о(г ), » = )((~+ г!', е > 0; 75 з т»»-» поэтому, согласно п.
2.2, точка (О, — ! ) является седлом и для исходного дифференциального уравнения. Положив я = 2+ б, у = — 3 +»1, из данного уравнения аналогично предыдущему получаем: »»О Ч+ 27с+0(с ) »!( б+ 0 Составив и решив характеристическое уравнение /20 20 =О; Л»з=)~ Г 1-Л ' у 27' 27 убежзцемся в том, что (О, 0) — узел.' учитъпая еше соотношение ОКз) = о(г'~), соп»асио п, 2,2 заключаем, что точка (2, -3) является узлом и для данного диф»реренциального уравнения, м 299 у 2. Особые точки 644. х = 1п(2 — уз), у м е' — е". ~ Сначала находим действительные решения системы уравнений 1п(2 — у') = О и е* — е" = О. Из первого уравнения получаем у = х1; из второго — х = х). Следовательно, точки (-1, -1) и (1, 1) — особые.
Далее, исследуем каждую из этих точек. Полагая в данных дифференциальных уравнениях х = Ы + (, у = х1 + г), приводим их к виду: 4 = 1п(1 Т 29 — 9 ), г) = е (е — е"). Отаода, применяя формулу Маклорена, имеем: (=~29+0(9)> О=с (С вЂ” 9)+0(г ). Решив характеристическое уравнение е*з Лз = — — — — Т2е э! 2 4 — Л Т2 1 е+' е*' ! = О; Л, = — — + — ~ 2е*', е — е — Л ! 4 соответствующее укороченной системе С=т29, ОмЕ '(( — О), видим, что первая особая точка (ей соответствует везде верхний знак) — устойчивый фокус, а вторая — седло. В силу и.
2.2 утверждения относятся и к исследуемой системе, М б45.(= з: т2 — г '=„,и '+ >. < Система уравнений 4= — 9, Ом-21. Поскольку корни ее характеристическою уравнения Л, з = хтт2, то особая точка — седло. А то~да по и. 2.2 точка (О, -2) являетсл седлом и лля исходной системы. Теперь переносим начало координат в точку (-2, 2), полохгив х = -2+ (, у = 2+ 9. Тогда данная система принимает вид: ~с — 2 г(~-г) -ь ( — Ф(ь ч — ().
Применяя к правым частям этой системы формулу Маклорена и отбрасывая нелинейные члены, получаем укороченную систему: Ч 9 = -24 — 29. Корни характеристического уравнения Л,, = Т вЂ” действительны и имеют одинаковые знаки, зя ъгз поэтому особая точка — узел. Следовательно, согласно п. 2.2, точка (-2, 2) является узлом и для ланной системы. Наконец, полагая х = 1+ б, у = -1+ г), данные уравнения после аналогичных выкладок приводим к укороченным: 2 4' ПосколькУ коРни хаРактеРистического УРавнениа (Льз = — 4 — ) комплексны и неЛьз и О, то зяг )Л особая точка — фокус. Такой же она будет и для данной системы.
> Лгхг — у+2=2, х +яр=О имеет решения: х| — — О, хз — — —, хз — — 1 и у, = -2, уг — — 2, уз —— -1. Следовательно, точки (О, -2); (-2, 2); (1, — 1) — особые. Сделав замену х = С, у = -2-1. О, пРиводим Данную системУ уравнений к аиду: 4 = у(бз -9+4 — 2, О = агсгйс(-2 тс+г)). Разлагая правые части этих уравнений по формуле Маклорена и удерживая лишь линейные члены, получаем укороченную систему Гл. 6.
устойчнаасть и 4азовые траекнгрии 300 646. х=1п, У=х — У . У вЂ” У+! . г 3 ч Из системы уравнений у — у — 2=0, х =у г г г находим координаты особых точек: (-1, -1); (-2, 2); (1, — 1); (2, 2). Полагая х = х(+ б„у = = -1+ г), приводим систему дифференциальных уравнений к укороченному виду: 6=-9, Ч=х2(+29. Из характеристического уравнения -' 1=' на основании п.2.2 слелует, что точка (1, -!) — фокус (Л, г — — 1 х г), а тачка (-1, -1) — седло (Л~ г — — 1 * гг3).
Аналогично, положив х = х2+ (, у = 2+ г! н удержав линейные члены, из данной системы получаем укороченную: 6 = О, г! = ~46 — 40. Решив характеристическое уравнение х4 -4 — Л ~ и приняв во внимание п.2.2, заключаем, что точка (2, 2) — селла (Льг = — 2 х 2г/2), а точка (-2, 2) — вырожденный узел (Лхг = — 2 Д 0). ~ ыг. =лт-и'тз-г,д= "-'- . < Из системы уравнений у — х=1, (х — у) =1 г г находим координаты четырех особых точек (О, 1); (О, — 1); (-1, 0); (3, 2). Сделав замену х = 6, у = х) 4 О, даННЫЕ ураапсиия ИЗВЕСТНЫМ СПОСОбОМ ПРИВОЛИМ К уКОрОЧЕННЫМ: 6 = ~(6 — О), г) = е(-6 х 20). Корни характеристического уравнения дхя этой системы имеют вид: ~гг пмнтгг + +2 тгг етгг Г + Лг 2 2 ' 2 2 Поскольку Л~Лг < 0 (Лы Лг — действительные корни), то на основании п.2.2 тачки (О, 1); (О, -1) являются седлами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
