Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Аналогично, перенеся начало координат в точку (-1, 0) по формулам х = = -1 + (, у = 0 н удержав в правых частях линейные члены, получаем укороченную систему: ! 6 = — (Π— 6), О = -еф Поскольку корни 1 )с) е Льг=--*~( —-- 4 116 2 комплексны, то согласно п. 2.2 особая точка (-1, 0) — фокус. Наконец, палашя в данных уравнениях х = 3+ 6, у = 2+ 0 и используя формулу Маклорена, получаем укороченную систему: 1 6 = — (6 — О), д = е(40 — 6), 2 характеристическое уравнение которой имеет корни Лпг — — 2е+ д* ! 2е+ т ! — -2-. Поскольку 1 г 1гг Зе корни действительные и одинаковые по знаку, то особая точка (3, 2) — узел. ~ В задачах 648-650 дать примерную картину расположения интегРальных кривых в окрестности начала координат. 648.
У = — *" . х+ у ч Сначала на плоскости Оху выделяем области знакопостоянсгва производных у', у", а также кривые, на котормх эти производные либо равны нулю, либо неограничены. Решив неравенства ЗО1 ху у = ><О, х+у приходим к следуклцему результату. Если (х > О Л у > О) Ч (х > О Л х + у < 0) Ч (у > О Л х + У < О), то у'>О,а если ( о * ° о о) (* о о о) ( о ° ° о о), тоу <О.
Рве. 4З Поскольку у = 0 при х = 0 или у = О, то интегральные кривые пересекают ось Оу под прямым углом, а ось Ох является инте(ральной кривой. Далее, поскольку на прямой х + у = 0 производная у' не ограничена (точнее было бы сказать, что производная у' на прямой я+у = 0 не определена н у'- оэ при х+у — 0), то интегральные кривые подходят к этой прямой с обеих ее сторон под прямым углом к оси Ох. Таким образом, если интегральную кривую с отрицательной производной изображать наклонной чертой 1, а кривые с положительной производной — чертой вида /, то картину интегральных кривых в первом приближении можно представить так, как покиано на рис.
42. Для установления областей определенной выпуклости интегральных кривых решаем неравен- У(у У()(У Уз) у —, <О, где 1 о у(д(х) = — ~ — х ~ Чх' - 4х') . 2 У .4З Решив эти неравенства и обозначив области, где у" > О, знаком "+"„а области, где у" < 0 — знаком "-", получаем картину, изобразкенную на рис. 43. Таким образом, на кривых у = О, у = у,(х), у = у,(х) вторая производная обращается в нуль, а на прямой х+ у = 0 она не ограничена (вернее сказать, на прямой х+ у = 0 она не определена, а в окрестности ее не ограничена).
Теперь, имея такую информацию о поведении интегральных кривых, можем представить их картину во втором приближении (рис.44). Остается вьшснить некоторые детали в поведении интегральных кривых. Поскольку функция (х, у) )-) х+"д вместе со своей частной производной по у непрерывна при х + у Х О, то через каждую точку плоскости (х+ у и' 0) проходит единственная интегральная кривая.
Далее, поскольку у = 0 (х ~ 0) есть решение данного дифференциального уравнения, то ни одна инте(дальная кривая не может касаться оси Ох. Является очевидным факт, что все интегральные кривые, заходящие в угол х+ у > 0 л у < О, обязательно попадают в начало координат (вернее бьпю бы говорить об асимптотическом стремлении кривых в начало координат, поскольку при х = у = 0 правая часть данного уравнения не определена). Отметим также, что существует интегральная кривая, расположенная между семейспюм параболообразнмх и семейством гиперболообразных интегральных кривых (см.
второй квадрант) и входящая в начало координат, зог Гл. 6. Устойчивость и фазавые траектории Наконец, покажем, что ни одна интегральная кривая не входит в начало координат со стороны х > О, у > О. Предполагая противное, записываем интегральное уравнение для кривой, входящей в точку (О, 0) при х>0, у>0; 7 (У«)~ l (+у«)' В силу неравенства у(П с 4- у(П вЂ” — <) «>О, д«)>О) из последнего уравнения получаем оценку: у(х) < ~ И( = —.
г' о Рас. 4З В свою очередь, у«) у«) ( 7 Сз,а у Сг хз (+у«) Р, (+у«) (+2' У У 4+2 У 2 З, о<о< 'д- о о и т.д. Продолжая оценки, на и-ом шаге получаем ю у(х) < ( Отсюда следует, по у(х) < 0 при о сю. Пришли к противоречию. После этих замечаний строим третье приближение к истинной картине интегральных кривых (рис. 45). ~ 649. У' = — УТ. м Из неравенств Рас. 44 2ху , <>О у -~- х находим области знакопостоянства производной у'. Именно, если (х>ОЛ у>0) Ч (у+х <О Л х>0) Ч(х<0 Л у<О Л у+х >0), то у' > О. На остальной части плоскости, исключая прямые у = О, х = О, где производная равна нулю, а также параболу у = -х, где производная не определена, интегральные кривые имеют отрицательную производную. Таким образом, в первом приближении картина интегральных кривых имеет вид (рис.
46). Далее, из выражения лля второй производной 4 Г х +у у =2У (у+ хг)з следует, что интегральные кривые при (у > О) Ч (у < 0 Л х +у < О) выпуклы вниз, а при у < 0 Л х'+ у > 0 они выпуклы вверх. Поэтому с учетом выпуклости картину, изображенную на рис. 46, можем уточнить (второе приблилгение) (рис.47). Заметим еще, что при построении кривых на рис. 47 мы принимали во внимание соотношение У=о „у+.г геометрически означающее, что интегральные кривые при удалении от начала координат по любой горизонтали распрямляются.
Кроме того, при замене х на -х уравнение вида не меняет, поэтому все интегральные кривые симметричны относительно оси Ох. Наконец, выясним вопрос о том, какие из интегральных кривых стремятся в начало координат. Ясно, что любая интегральная кривая, выходящая из обласги у+ х < О, попадает в угол (х > 0 л у < О) У (у + х > О). с другой стороны, через каждую точку (х, у), где д + хз ~ О, согласно теореме о существовании единственного решения, проходит единственная интегральная кривая. Следовательно, ни одна интегральная кривая, вышедшая из области у+ х < О, не может остановиться в указанном угле.
В силу этой же теоремы ни одна из кривых не может пересечь ось Ох, поскольку прямая у = 0 является интегральной. Далее, ни одна из интегральных кривых не может уйти вдоль оси Ох на бесконечность, поскольку в рассматриваемом угле у" < О. Итак, осгается единственная возможность, когда все указанные интегральные кривые стремятся попасть в точку (О, 0). Покажем теперь, что ни одна интегральная кривая не может попасть в начало координат со стороны у > О.
20и этого, предполагая противное, для некоторой кривой у(х) > 0 при х > 0 от дифференциального уравнения перейдем к интегральному у (д(г)а / 82+~(г)' Отсюда в силу оценки -г" — ( 1, находим (г) Г 4-д(Г) у(х) ( 2 /1 Ж = х . о Аналогично, Ряс. 48 у х д(х) < 2 ~1 пмх — й =— у о<тяп И+у 2 о и т, д. На и-ом шаге получаем неравенспю д(х) < — „. Следовательно, у(х) ( 0 — противоречие. Учитывая все замечания, строим картину интегральных кривых в третьем приближении (рис. 48), м 650. у' = з м Аналогично предыдущим примерам из неравенств Ряс.
4Ф ху у х находим области монотонного возрастания и убывания интегральных кривых, а затем строим грубую картину повеления нх на плоскости Оху (рис. 49). Далее, из выражения юи второй производной д(д' -2х") д (д- ')' видим, что на графиках функций у = хзг'2х интегральные кривые меняют направление выпуклости. Области знакопостоянства второй производной изображены на рис. Я.
Проследим за интегральной кривой, цлущей из области х<0 Л у>0 Лу<х. 304 Гл. б. Устойчивость и фвзовые траектории Поскольку в этой области у' > 0 и у" > О, то ордината кривой растет при увеличении х, а выпуклость кривой направлена вниз (рис. 51). Ясно, что !нп у =+ос, с сс-0 а Ряс. 53 (ах + Ьу) г(х + (тх + Ьу) г(у = 0 не является уравнением в полных дифференциалах; 2) особая точка (О, 0) этого уравнения — седло, то оно имеет непрерывный в окрестности начала координат интегрирующий множитель. м Интегрируюпгий множитель (с = (г(х, у), удовлетворяющий в данном случае уравнению др др (пгх+ пу) — — (ах+ Ьу) — = р(Ь вЂ” т), дх ду будем искать в виде р = сг(ы), где ы = ах+ )уу, а, )5 — постоянные, поллежашие определению.
Подставив значение (с в (1), получим (г (ы)((та — о!У)х + (па — Ь!5) у) = (Ь вЂ” т)(с(сг). (2) Йп у = — со, с сс+С поэтому кривая пойдет вверх и левее точки х = хс. В точке М перегиба нет, однако, как следует из рис. 5 1, кривая поменяет направление выпуклости. Далее, в точке гсс она должна иметь перегиб, поскольку зта Рсс.
51 точка лежит на кривой перегибов интегральных кривых у = тг2х . На- г конец, поменяв еще раз направление выпуклости, интегральная кривая в силу отрицательности производной уйдет налево вверх (к +со). Теперь проследим за интегральной кривой, выходящей из точки г (О, у) и идущей в сторону * < О. Поскольку у' < 0 при у > х, то ордината кривой будет возрастать (рис.
52). Однако, в силу того, по парабола у = Тх является решением данного дифференциальною урав- 3 г пения, наблюдаемая нами интегральная кривая не может ее пересечь, а значит, и уйти из области у > эх . 3 Х Следовательно, пространство межау параболами — г у=.2 и у=- 2 у будет заполнено гиперболообразными кривыми, одна из ко( торых рассмотрена выше. Парабола же у = ч х служит раз- 3 г делителем указанных кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
