Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Наконец, зеркально отобразив кривые, изображенные на рис. 58, относительно оси Ох, а затем полученную картину — относительно оси Оу, будем иметь полную картину траекторий (рис. 59). Очевидно, точки (1, 0) и (-1, 0) — центры, а точка (О, 0) — селло. и 655. х — 2*+ х + 1 = О.
и Перейдя на фазовую плоскость, имеем г(у 2с — х — 1 х=у, у=2* — х — 1 (1) с(х у Интегрируя уравнение (1), получаем семейство траекторий: 2*ы у = — — х' — 2х+С. 1п2 (2) Далее, используя обычные методы математического анализа, строим картину интегральных кривых (2) (рис. бО). Отметим, что кривой, проходящей через точку (1, 0), соответствует значение ф С = 3 — —.
1п2 309 Замкнутым кривым, охватывающим начало координат, соответствуют значения С, определяемые неравенством 2 4 — — < С < 3 — —. 1п2 1п2 » "зо )»(о Зл 7л з з' 0 з Т 7л За Рлс. Ог Значения С для остальных кривых указаны на рис. 60. и 3 Рас. Оз 656. х+ 2созх — 1 = О. М Из системы х = у, у = 1 — 2 соз х получаем Цу 1 — 2созх з уз = 2х — 4йпх+ С. с(х у р(х) = 2х — 4з(пх (рис. 62), а затем картину семейства ОЗ(х) = 2х — 4мпа+ С путем параллельного переноса графика функции р (рис.63).
Теперь построим семейство кривых (5»(х) = 2х — 4з(па+ С > 0 (рис. 64). Далее строим семейство кривых у = ~)/ф»(х) (рис. 65) (точнее, на рис. 65 изобралсена только часть зтопз семейства в окрестности двух особых точек ( — $, 0) и (О, ~т) — центра и седла соответственно). Для получения всей картины семейства траекторий на фазовой плоскости Оху следует картину, изображенную на рис. 65, периодически (с периодом 2»г) продолжить как влево, так и вправо относительно ее первоначального положения.
Тогда получим следующую картину (рис. 66). 1ь Решив конечную систему у = О, 1 — 2созх = О, находим особые точки: М» Я+2йа.,О), л» (-~у+ 2йзг, О), где (с б х. далее, нетрудно установить, что 1»х» — седла, а 117» — центры (рис. 61). Для построения картины семейства (1) сначала строим кривую Гл. 6. Устейчнвесп и фазовые траектории 657. х + 2х+ 5х = О. м Сделав замену х = у, приходим к линейной системе х=у, у=-2у — 5х с особой точкой (О, О). Поскольку корни характеристического уравнения этой системы равны -1З:26 то особая точка — устойчивый фокус. Положив в системе х = 1, у = О, находим вектор фазовой скорости е = (О; — 5), с помощью которого мы, учитывая устойчивость фокуса, устанавливаем направление закручивания траекторий на фазовой плоскости (рис.67).
и 658. й+*+2х- '=О. м Полагая в данном уравнении х = у, получаем систему дифференциальных уравнений: 2 в=у, у=в — 2х — у, из которой следует, по точки (О, 0), (2, 0) — особые. Обычное исследование их показывает, по точка (О, 0) — устойчивый фокус, а точка (2, 0) — седло, причем прямые у2 = х — 2, уг = -2х+ 4 Ряс. 42 являются касательными к интегральным кривым, входящим в него (рис,бе). Далее, судя по знаку производной х — 2х — у 2 у = у устанавливаем грубую картину интегральных кривых (рис.
69). Заметим, что на параболе у= а — 2х интегральные кривые достигают экстремальных значений; ось Ох они пересекают под прямым углом, а ось Оу — под углом 45'. Используя эти данные, строим картину интеграяьных кривых (рис.70). и 659. х + хз — х + 1 = О. м Из уравнения * — у — 1 = О 2 2 2 2 Ну х — у — 1 Рве. бв у (е) находим области возрастания и убывания интегральных кривых на фазовой плоскости Оху (рис.71). Кривые 311 $3.Фазоваа плоскость служат касательными к интегральным кривым, входящим в него.
Р .го Особые точки показаны на рис. 72. Таким образом, исходя из сказанного н рисунков 71, 72, строим фазовый портрет (рис. 73). )ь Рас. 71 Ряс. 72 Ра . тЗ 660. х+5х — 41п = О. х +1 2 < Исключив параметр ! из системы дифференциальных уравнений х +1 *=У~ у=4)п 5у 2 придем к уравнению г(у 4!и — * — 2+ — — 5у (1) г!х у с особыми точками: (-1, 0) н (1, 0). Решая неравенства 4 1п — *+- — 5р сО, у устанавливаем области монотонности интегральных кривых уравнения (1) на фазовой плоскости (рис. 74). Кривую Рас. 74 4 х+1 5 2 интегральные кривые пересекают под нулевым углом, а кривую у = 0 — под прямым.
Теперь исследуем особые точки. пересекаются интегральными кривыми под нулевым, а ось Ох — под прямым углом. Далее, известным способом находим две особые точки: ( — 1, 0), (О, 1). Поскольку корни характеристического уравнения, соответствующего укороченной линейной системе Р'=О, й=-24, у мнимы, то особая точка (-1, 0) мотает быть для системы г х=у, у=х — у — 1 либо фокусом, либо центром. Принимая во внимание то, что прн замене у на -у уравнение (4) вида не меняет, Убеждаемся, что х рассматриваемая особая точка является центром для указанной системы. Точка (1, 0) является седлом, а прямые дг — — ьг2(х — 1)г уг = -ггг2(х — 1) Гл.
б. Устойчивость и базовые траеаторви 2!г Полагая в системе (е) х = 1+1, у = 0 и отбрасывая нелинейные члены, получаем укороченную систему: ь=б, 6=4ч — 50. Поскольку корни характеристического уравнения -5 х т/41 Л, 7 — (Л, ге 0,70; Лг м -5,7), то особая точка (1, 0) — седло. Прямые у = Л,(х — 1), у = Л,(х — 1) тис 75 являются касательными к интегральным кривым, входящим в эту точку. Аналогично, полагая в (з) и = = — 1 + (, у = О, получаем укороченную систему: 4=0 6= 44 — 57) характеристический определитель которой имеет нули Л,=-1, Л7=-4.
Следовательно, особая точка (-1, 0) — узеа. Из уравне- ( -4 — 5 — Л|) (е,) находим, что все интегральные кривые, проходящие через узел, касаются прямой у = — х — 1, а из уравнения ( -4 -5 — Л~) (ег) следует, по все указанные кривые пересекаются интегральной кривой, проходящей через узел и имеющей в нем касатезшную у = -4х — 4. Окрестности особых точек изображены на рис. 75. Наконец, учитывая все полученные данные, строим полную фазовую картину (рис. 76).
~ 661. х = 4 — 4х — 2у, у = ху. и Из системы Гас. 76 4 — 4х — 2У=О, ау=О находим особые точки: (1, 0), (О, 2). Известным способом (см. выше) устанавливаем, что (1, 0) — седло, а точка (О, 2) — вырожденный узел; Гас. 77 т причем в седло входят интегральные кривые под углом о = — 4-. Далее, ось Оу интегральные кривые пересекают горизонтально, а прямую 4-4х-2У = 0 — вертикально. Решая неравенства хр >О 4 — 4х — 2у устанавливаем области монотонности интегральных кривых (рис. 77).
Для более четкою представления о поведении интегральных кривых рассмотрим знак второй производной 4У(у — У1)(У вЂ” Уз) (4 — 4х — 2У)з з з где у, = 2 — х+ от, уз = 2 — х — х 7 (х > 0). если х ( О, то 4У (у + у(2х — 4)+(1 — х)(4+ х )) (4 4х гу)з Решая неравенства зО прях>0 (4 — 4х — 2и)з и ++++ ++++ ++++ ++ ч+ ++++ 2 +++++ +++++ +++в+ +++ +++ +++ +++ +++ +++ +++ +++ — — — +++ ./.
+ Ъ~ — — — // + + ++ — 'к т+ ++++ 1 ++++ ><О при х< 0, (4 4 2У)з находим области выпуклости интегральных кривых (Рис.78). Заметим, что на прямой 4 — 4х — 2у = 0 и на кривых У = Уг, у = уг часть траекторий меняет направление выпуклости. Теперь проследим за интегральными кривыми, проходящими через особые точки. Через седло проходит прямая у = О и кривая, пересекающая ось Ох лод углом а = — а/с!8 з. Эта кривзя на параболе у = у, имеет точку перегиба и пересекает ось Оу горизонтально, а прямую 4 — 4х — 2У = 0 — вертикально.
Наконец, под углом 135' к оси Ох она входит в узел. Нижняя часп, ее (при у < 0) проходит под параболой у = у„поскольку; +++ +++ + + .~- +е+ +++ +++ +++ + ++ сг Ъ е+ х+ г +++ +++ м — а ш ху у = 4 — 4х — 2У х на -х (ради удобства), перейдем к интегральному уравне- нию кривой (/у): у(х) = е + / (у(1) <й (х ) )0). (1) ,/ 4+ 4( — 2У(1) о Очевилно, у(х) > е > 0 при х > О.
Пусть у(х) < 2(1+ х) при Р х 3 1) У - — 2 при у — -со, а уг - -чхт; 2) попасть в обласп, между кривыми у = у, и 4 — 4х — 2У = 0 при у < 0 рассматриваемзя кривая не может, ибо в противном случае, имея выпуклостгч направленную вниз, ей бы припшось либо пересечь прямую 4 — 4х — 2У = О, что невозможно, либо остаться в этой области, что в силу 1) также невозможно (рис. 79).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
