Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Рассмотрим узел, Выйдя из угловой точки по касательной к кривым у = у, и у = уг, траектория (а) может попасть лишь в область 1П, поскольку в области 1 выпуклость направлена вверх, что для этой траектории невозможно, а в области П выпуклость направлена вниз и поэтому траектория ло/окна пересечь интегральную кривую (а), что также невозможно. Таким образом, попав в обласп, Ш, фазовая траектория пересекает прямую 4-4х — 2У = О вертикально, затем ось Оу — горизонтально и, имея выпуклость, направленную вниз, уйдет налево вверх. Теперь рассмотрим траекгории, выходящие из узловой точки и идущие иверх налево.
Здесь имеется две возможности. Первая состоит в том, что фазовая траектория (б) сначала попадает в область 1, затем в области П, П1 и, наконец, уходит налево вверх. Вторая возможность: фазовая траектория ( 1) попадает в область (У, затем пересекает прямую 4 — 4х— — 2У = 0 вертикально, ось Оу — горизонтально, меняет направление выпуклости на кривой у = у, и, наконец, асимптотически стремится к оси Ох. Возможные выходы фазовых траекторий из узловой точки представлены на рис. 80.
Покажем наконец, что все выхолящие из узла интегральные кривые, за исключением кривой (а), асимптотически стремятся к оси Ох при х — +со. Очевидно, д/и этого достаточно показать, что Уе > 0 Зх такое, что интегральная кривая (/3) обязательно пересечет прямую 4 — 4х — 2У = О.
С этой целью, заменив в дифференциальном уравнении Гл. б. Устойчивость н фажиоые траекторви 3!4 х > О. Тогда из (1) следует оценка: Г !ой Г х 1 у(х) ) е+ — / — = е ~ 1+ — — — 1п(1+ а)) . 4./ !+С- ~ 4 4 о С учетом последнего неравенства нз (!) получаем более точную оценку: 1 г 41+ С вЂ” 11п(1+ 1) 1 С 1 с' 41+С~ — С1п(!+С) у(х) >е 1+ — / < й )е!+ — / о(С 16/ С+1 ) ~ 16/ С+4 о о х' ! *гС!п(!+С) ~ / х' ! *г = е 1+ — — — / оС ) е 1+ — — — / )п(1+1)пС 32 16,/ 1+4 ) ~ 32 !6,/ о о х' х !+х = е 1+ — -~- — — — )п(1+ х), х ) О. 32 16 16 Следовательно .2 . 1+ 0 < е 1 + — + — — — )п(1 + х) < у(х) < 2(1 + х).
32 16 16 Отсюда уже нетрудно видеть, что ое > 0 Эхо такое, что кривая (13) пересечет указанную прямую. Действительное, такое хо удовлетворяет неравенству 0 < хо < х, где х есть решение уравнения: х х 1+х е 1+ — + — — — 1п(1+ х) = 2(1+ х), х > О. 32 1б 16 Далее, при х -+ +па и ограниченном у издифференциального уравнения (*) следует, что у (х) — — =о у(х) Се 4 4 т. е. при х — +аа все интегральные кривые асимптотически стремятся к оси Ох. Поведение интегральных кривых при у < 0 не требует детального исследования.
Примерный вид фаювых траекторий изображен на рис. 81. а 662. й = 2х+ у' — 1, у = бх — у~+ 1. М Из неравенств бх — у +1 80 2х+ уз — 1 определяем области монотонности фазовых траекторий (рис. 82). Отметим при этом, что за исключением двух особых точек (О, 1) и (О, -1) параболу 2х+у'-1 = 0 траектории пересекают Рис. аг вертикально, а параболу бх — уз+ ! = 0 гори- зонтально. Далее, известным способом нетрудно установить, что точка (О, — 1) — неустойчивый фокус, а точка (О, 1) — седло, причем прямые у = 1 — Зх и у = 1 + а являются касательными к интегральным кривым в этой точке (рис. 83). Покажем теперь, что любая траектории, проходяшая через точку (хо, 0), обязательно пересечет параболу 2х+ у — 1 = 0 (хо < 0).
Поменяв, ради удабсзва, в уравнении б, з+! 2х+ уз — 1 г .вз в .вг х на — х, а у на -у, запишем интегральное уравнение указанной траектории: у(х) = бг — 1+ у (г) 21+! — уэ(Г) ((г. Поскольку у'(Г) > О, то из (1) следует неравенство: г бг-! 2х+ 1 у(х) ) / ог = 3(х + хь) — 0 1п 21+1 1 — 2хе указывающее на возрастание ординаты исследуеиой кривой. Поскольку это возрастание происходит быстрее, чем по прямолинейному закону, то обязательно найдется такое х,, что у(х,) = ьг!+2хь Далее, нз выра:кения дяя второй производной (уг - 1- 2хуу') = ((уг — 1)(2х+ уг — 1+ 2ху) - 12хгу) (2х+ уг — !)г (2х+ уг — 1)з видно, что между параболами бх — у + 1 = 0 и 2х+у — 1 = 0 при у ( 0 все траектории имеют выпуклость, направленную вниз.
Поэтому интегральные кривые пересекуг параболу бх — уз+1 = 0 и далее уйауг вверх направо. Таким образом, учитывая все приведенное, строим семейство фазовых траекторий (рис. 84). > 663. х = 1 — *' — у', у = 2ху. м Поскольку дифференциальное уравнение «х 1 - хг - уг при замене х на — х, у на — у вида не меняет, то картина фазовых траекторий симметрична как относительно оси Ох, так и оси Оу. Далее, легко найти, что особые точки (О, х!) — центры, а точки (х1, О) — седла, через которые проходит эллиптическая траектория х + — =1. г у 3 Гл.
б. Устойчивость и фвзовые траектории 31б Далее, решив неравенства ху г уз< находим участки монотонного убывания (возрастания) фазовых траекторий (рис. 85). м 664. х = (х+ у)' — 1, у = -у' - х О !. М Как и в предыдуших примерах, сначала находим области монотонности интегральных кривых (рис. 8б), а затем выявляем особые точки и их характер; (О, — 1) — седло, (1, 0)— неустойчивый фокус, (-3, 2) — узел, (О, 1)— седло. Из укороченной системы диффереггциальных уравнений следует, что в точку (О, — 1) интегральные кривые входят„касаясь прямых Рсс. аз у= -!+ — х-1 и у=- 1+ — х-1; в точку (О, 1) — прямых 1 ! ( 2) ( 2) ьг2 тг2 В узловой точке траектории касаются прямой ! — тгЗ у = — (х + 3) + 2.
2 Через эту точку проходит также интегральная кривая с каса- тельной 1+ ьгЗ у= (х+3)+2. 2 Особые точки и их малые окрестности представлены на рис, 87. Наконец, представляется интересным выяснить поведение интегральных кривых, проходяших через особые точки. В частности, покажем, шо кривая (а) перейдет в одну из спиралей полюса (1, 0), а кривая (6) обойдет полюс и в полосе (х + у)' < 1 пройдет ниже кривой (а). Записав интегральное уравнение кривой (6) при х > О, у>О: (!) с Рсс, ат и приняв во вниманиенеравенства 0 < у(С) < 1 и С+у(С) > 1, из (1) имеем оценку: г ! — (с+ у(с)) т 61 г61 х у(х) > 1 — э! г ( >1- ~' — =1- -. / 1 — (С+у(С))' l !+!+у(И с с с Отсюда следует, что кривая (6) пересечет ось Ох в точке хс > 2, Далее, в полосе (х + у)' < 1 производная у' > О, значит, ордината кривой (а) возрастасг и поэтому последняя может пересечь прямую я+ у = 1 в точке (х„у,), где х, < 2.
Таким образом, траектории (а) и (6) "разминутся": траектория (а), как видно из рис. 88, превратится в спираль, а траектория (6), обопгув полюс и совершив вертикальное пересечение прямых х+ у = 1 и х + у = -1, станет асимптотически сближаться с кривой (е). 317 Изучить поведение других из указанных выше интегральных кривых, примерный внд которых изображен на рис. 88, предоставляем читателю. Таким образом, исходя из проведенных исследований, строим эскизный портрет фазовых траекторий (рис.
89). и Рас. аа 665. х = (2х — у)' — 9, у = (х — 2у)' — 9. м Из неравенств (х-2у)'-9 <>о (2х — у)з — 9 находим области монотонности интегральных кривых (рис. 90). Заметим, что кривые 2х — у = х3 интегральные кривые пересекают вертикально, а прямые х — 2у=х3 — горизонтально.
Далее, легко обнаружить, что особые точки (-1, 1) и (1, — 1) — седла, а точки (3, 3) и ( — 3, — 3) — узлы; причем интегральная прямая у = х проходит через узловые точки, а две другие интегральные кривые проходят через них перпендикулярно указанной прямой.
Угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым вточке ( — 1, 1) равны й, = 2+и'3, йз = 2 — ъ'3 Перейдя к переменным и = Я, е = Я, дифференциальное уравнение ву (х — 2у) — 9 йх (2х — у)з — 9 преобразуем к вилу гве. зе йе ие ои о+))из+ 7ез Поскольку при замене и на — и или е на -е последнее уравнение вида не меняет, то интегральные кривые расположены симметрично как относительно прямой х+ у = О, так и прямой х — у = О.
Таким образом, учитывая все сказанное, строим семейство фазовых траекторий (рис. 91), ь Гл. б, Устойчиаость и базовые траектории 318 666. й = х — у, у = (х — у) (х— — у+ 2). м Переходя к новой системе координат Они по формулам х = е, у = 1 — и, из данной системы получаем дифференциальное уравнение: бе 1 — е — н 2 (и ! е)з Рае. З! г к аз интегральные кривые которого уже изучены в примере 664. Следовательно, если июбраженную на рис. 89 систему координат сначала параллельно перенести вправо на единицу, а затем повернуть ее на угол 90' против хола часовой стрелки, то мы получим портрет семейства фазовых траекторий данной системы дифференциальных уравнений. М Начертить на фазовой плоскости траектории систем 667-669, записанных в полярных координатах, и исследовать, имеются ли предельные циклы.
ог дх 667. — = (,— П( — г), --= !. п( Ж м Почленно разделив одно уравнение на другое, получаем ~6 — = г(г — И(ю — 2). (и бр Отсюда, если 0 < г < 1, то 8 — > О, т. е. г = г(р) монотонно возрастает при р - +со (! — ~ +со); р если 1 < г < 2, то уГ- < О, т.е. г = г(уб монотонно убывает цри 1 — +со. Далее, очевидно, г" что г = 1 есть решение уравнения (И. Следовательно, согласно и.3.3, окружность г = 1 есть устойчивый предельный цикл. рассмотрим еше одну замкнутую траекторию г = 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
