Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Решение примера сводится к случаю д). Получаем 1( 1)3 — а 1С)+ а сова(зЛ)3С ф — — + ) г р 2 + ( 1 р + а ) г у 1 ( д + Са )3 — га '1 (3(р' — а' — 23') 2 (,рг + аг — (32 — 12аг3 рг «аг — 232 + 12а)3! (рг + аг — )32) + «аг(32 689. а) !'(С) = з(п(ыС вЂ” ре); б) 7(С) = зй(ы( — ре); в) 7(С) = соз(ыг — 121); г) г(С) = сЛ(ыг — уге); д) г(С) = (аС вЂ” Ь)'.
< Применим теоремы подобия и запаздывагня дпя нахаждсина ИЗОбражения оригинала вида 7(аг — Се), Гдс Се ) 0 и а — комплексное число. Пусть 7 Ф Р„тогда по теореме подобия ,7(аС) Ф а!" („) . По теореме запатаывания имеем 1 ~(ог — Се) = «(а(С вЂ” ад)) =; — Р ~-) е а, а) Воспользуемся решением примера 687, а) и формулой (1), Подучим Свг ю Яп(ы( — угг) =; е р2,1 ы2 51. Преобразованяе Лапласа. Освовнме вошпня н саойспа 329 ! Г(п+ П ь о'Г(а+ 1) еь (Ш вЂ” Ь) =' — — „„е е о (г)" Р "' (а! бп0 у(1) = О(1 — (ь) '= ( О' 1 ' — обобшеннач единичная функция Хевисайда.
( 1, 1>(ь, О, 1<(ь и Согласно решению примера 679 и формуле (1) из примера 689, получаем; -рьь О(1 — (ь) Ф— р 691 1' а, если 0(1( т, О, если 1( Оияи(> т. и Представььм функцию ьг в виде т'(1) = (ь)(() — О(1 — т))а. 'Тогда 7(т) ьг! е' ть 1 — е' 1'(1) Фа~ — — — ( =ар Р Р ( 1 — 2а, если 2а <1< а+Ь, б9о. 7(1) = ~ 2Ь вЂ” 1, если а+Ь <1< 2Ь, (рис.96). О, если 1> 2Ь или 1(2а О 2и и Поскатьку функцию У можно нрелставить в виде 1'(1) = (1 — 2а)ь)(1 — 2а) — (( — 2а)г)(1 — а — Ь) + (2Ь вЂ” 1)г)(1 — а — Ь) + (1 — 2Ь)зр(1 — 2Ь) = = (1 — 2а)О(1 — 2а) — 2(1 — а — Ь)ь)(1 — а — Ь) + (1 — 2Ь)ь!(1 — 2Ь), -2ат 2е-(аьььт -зьл ( — Р -ьт)2 И): + Рз )ьз )ьз 2 (см.
решение примера 689,д)). > И Записав функцию 7 в виде Я) = О(1 — 1) — О(1 — 2) + 29(1 — 2) — 2О(( — 3) + 39(1 — 3)— — 3ь((1 — ч)+... +(и — 1)ь)(1-(и-1)) — (и — 1)О(1-и)+пО(1 — и)+ ... = = Ч(1 — 1) 4- г)(1 — 2)+ П(1 — 3)+ ... +О(1 — и)+ ..., О 1 2 3 получаем 1 " ь ! /(1) =' — ~ е ' р,, р(ет 1)' б) Аналогично, принимая во внимание решение примера 687, б), имеем ящ аь зй(ььт — Рь) Ф е ье — ьь в) Согласно 687, в), созьь( Ф -гр — т. По формуле (1) накопим: -~- ьь сгл соз(ьь( — рь) Ф е р' т ьь' г) Воспользуемсьг решением 687, г) и формулой (!). Получим Рта Р с)ь(ьь( — ус) = е Р ьь д) Пршгнмая во внимание формулу (1) нз примера 682, а также формулу (1) из настояшего примера, имеем Гл.
7. Метод ивтмрааьвых преобразований Лапласа ЗЗО если В < а, если ! Ъ а (рис. 98). / можно представить в виде — е ) 9(! — а). б94. /(!) = ~,', и, .? ! О, М Очевидно, что функцию У(!) = (! Следовательно, ЕР' ЕР' Ье«' /(!) =; — — — = . а р р+ь р(р+ь)' 0 а Р .РВ (рис. 99). пЕУо Найти изображения периодических оригиналов. ® / яп(, если 2пгг <! < (2п+1)а, ) О, если (2п+1)а <! ((2п92)л, М Воспользуемся следствием из теорелгм 5 и. 1.2: если / яш?яется Т-г?ериодической функцией, то г р(р) = — я)е Р Ж.
1 — е Ртl 1 о В рассматриваемом случае получаем: ? 0 Е(р) = — / е " яп(Ж = / е ' з(п(?й = е-2«Р / 1-е-2« / й о 1 ! 2 Р о, е Р'(соз(+рып!)! 1 — е "Р (! — е "«)(р?+1) о 1+е "" 1 (1 — е 2 Р)(р? О Н (р' О Н(1 — е «Р) )л а л а Таким образом, 1 Я) ф —— (р? "!. 1)(1 — е «Р) 696. /(!) = )Р?паЦ (рис.100). М Функции / — — -периодическая, следовательно о « Е(р) = —,/ е "в!па(г(! =, 1пт / е~ Р г(!— — — .иа? 1 — е Р« 1 — е Р« о 1 о 1 е Рг(аспас!+рипа!) р?+ а' -Р- — Е о а 1+Е Р«а ЕР?«+Е Р?о а к р2+а2 1 -?- р?+а2 2 -Р Р2 ! а2 г сгйр л а ?à — )о!па!!ф с?йр —. М 2а' р?+ а? 2а о!п! / 1, если 2пл < ! ( (2п+ 1)а, 697.
Р(!) = ~ЯпЦ 1 -1„если(2п+1)я <В < (2п+2)л, ибро(Рис 001) О, если!<О и Сужение функции / на положительную полуось есть 2?г-периодическая функция, поэтомУ 2« 2 Р(р) = / е " аап(в)ив) г(! = ~ / е Р йь — / е М и! 1 —.-"/ 1- е-?.Р,/ о о !/,о,?1 1 (1-е«)2 1 — е' е? — е «1 рл —. - ?Ь вЂ”. Р 2 ~« ~ / 1 — е4 Р(1 — е-?Р ) Р(1+ е-2 ) р еет + е"7) р $ !. Преобразование Лапласа. Осыовиые попятив и свойства ЗЗ1 Следовательно, топ С 1 рог — = — СЛ вЂ”. М !2)пЦ ' р г' О 2а 4а ба 8а гоо.
цц тьи. Сег — — 422, если 4па < С < (4п+ 1)а, — „— + 4п+ 2, ес22и (4п+ 1)а < С < (4п+ 2)а, 698. У(С) = 7(С + 4а) = п Е Уо если (4п+ 2)а < С < (4п+ 4)а, С < О, О, (рис. 102). <о Функция 7 4а-периодическая, и ее изображение найдем по форм)ле Р(р) = / е " У(С) 2(С = 1 1 — е аар 1 а 2» '-.4'-'"")" (--') "> = о + 2 р2 о р р' р , арз(! — е »ар) (1 — е 'Р)' 1 еао ар'(1 — е зр)(1+е "Р) арз(1+е 'Р)(1+е "Р) арз(1+е ' Р) Таким образом, (Л -"8 У(С) . ар2(1+ е-2ар) ' Пользуясь теоремой смещения, найти изображения функций. 699.
а) 1(С) = е "' з(пь21; б) 1'(С) = е "2 оЛ»21; в) у(С) = е "сох ь21; С» г) ЯС) = е "спор!; д) 7(С) = С ео'1 е) 7(С) = С'о!п))С; ж) 7(С) = „ео бпаС; з) 1(С) = -„-гопаС; и) Я) = -„теглзйа(; к) ЯС) = С'соо(ЗС; л) 1(С) = -„-те"'сора(; м) 1(С) = -пт оп а(; н) Я) = -„-тел' сЛ аС. и В случаях а)-д) можно непосредственно применять теорему смещения. В общем же случае, если требуется найти изображение функции (о, следует, если зто возможно, представить ее в виде у2(С) = е""РГ(С), ро — — сопи и применить теорему смещения. Тогда 72 ф 2Р(р — ро) где ар — изображение функции 2(2. имеем: а) цп ьРС ф -т-И вЂ” т т (см.
пример 687, а)). По теореме смещения 12 +Ю -оо Ь2 е о(пьРС =; (р + а)' -1- ьа' б) ойь21 =; — го — т т (см. пример б87, б)). Следовательно, Р— »2 -»2 а2 е оймС вЂ”. 222 Гл. 7. Метод иатевральимх ареобразоааиий Лапласи я) совы! Ф вЂ” ~-Е-т (см. пример 687, в)).
Тогда р .~ав р+а е совы! =; + а)в+,„в' г) сйы! Ф -т-г-т (см. пример 687, г)). По теореме смещения р — ав р+а е ' сЬав! Ф "---.— -- —— (р+ а)в — ыв л) ! Ф вЂ”;тт — (см. пример 682). Тогда , гьх+ !> р" Г(а+ И ! ел =' ()в >у)ав! ' В частности, !" ещ Ф вЂ” и 1„-а; ' (р — >т>"+ ' е) решение сводится к случаю д). действительно, !" х!и >М =- 27(!'ем — !'е вл'). Г(а+ 1)((р+Дв) +' — (р — дв)'а') ! Мп!М Ф 2в(рв 1 >)2)а.~.! Если а = и, то !" „.„,, 1 ()'+Д()"" — (р->)в)ам и! 2в (р'+в)в)а+в Если а = -2, то 1 ввп>У! в/Я т/Р+ Дв — в/Р >)в / ' 2в /рт+ >Ф в1п ! В частности, — Ф 2 2р ! хс) Решение свалится к случаю е).
Имеем 1 (р — !>+ а!)ам — (р — Д вЂ” ав)"ы — ел йпа! —; —,- и! ' 2в ((р — /))в+ ав)ам з) Предо!алим функцию / л виде /(!) = 2 ! ате — -иге ! и воспользуемся счучаем ж). 1/!" в ва -П Получим !а 1 '1 (р + а)"+' — (р — а)"+ — вл а! —;— вв! ' 2 (,(р — а)"+' (р+ а)"+'/ 2(рв ав)ав в н) Воспользуемся решением з) и теоремой смещения. Имеем п( ' 2((р )))2 ав)а+! к) из представления функции /(!) = т ((левш+ !'е ш ), решения д) и теоремы смещения находим: 1 / Г(а+1) Г(а+1) > Г(а+1) (р+в)3)~~ +(р — в>3)'+ !' сов)у! Ф вЂ” ~ 2 в,(р — в>у) "' (р+ в>у) м/ 2 (рв+>ув)а+в +в "+'+ — в )"+' в Ч~ 'ь!+р / в В частности, -т соз/М вЂ” ' (Š— '-~)-~ — -(Геа ат~ —, ~~~- — ' 2(р +р )"+ 2х( 2 рв -~- ! л) Поскольку, согласно д), -т сохаь Ф „+, то по теореме смещения имеем ва +Ва)а+в+( ва)а+в 2 +а )"+ !" Лв, (р — >9+ ва)""' + (р — >у — ва)"+' —, ел соваФ вЂ” ' 333 Ф 1 Преобразование Лапласа.
Основные пошпия и свойства м) Таккак -тс>за! = ч (-те + -те ) и согласно д), ! е =' — "-„-~, то !ь ! /!в ! !" ОП ы . ш и. (и. и. (р — а)"+ с" (р ! а)л+ ! (р а)аы — с>з а! — ' — + и! ' 2 ~(р — а)ьн (р+а)"г!/ 2(р! — а')иы ц) Воспользуемся решением м) и теоремой смещения. Находим: Л! (Р— Д+ а)"ь' + (Р— >3 — а)оы — е с(з а! — ' и! ' 2((р — (3)! — а')иы Найти изображения дифференциальных выражений.
700. Ту = уа(!) — 5у "(!) — 4у"(!) + 2у'(!) — у(!) + 8 при условиях у(0) = 5, у'(0) = О, у"(0) = — 1, у'"(0) = 2. и Пусть у(!) Ф У(р). Тогла по теореме 7, п. 1.2, получаем, принимая во внимание начальные условия: у (!) =' рУ(р) — 5; у (!) Ф р У(р) - 5р; у"'(!) =', р У(р) — 5р + 1; у'"(!) Ф р У(р) - 5р +р — 2. Применим свойство линейности преобразования Лаш)аса. Имеем Ьу Фу~У(р) — 5р +р — 2 — 5 (р'У(р) — 5рз+ 1) — 4 ~р~У(р) — 5р) + 2(рУ(р) — 5) — У(р) + — = р = (р~ — 5рз — 4рз + 2р — 1) У(р) — 5р О 25р + 2!р — 17 + †. М р 701. Ьу = уа(!) — 2у"(!)+ Зу'(!) — у(!) при условиях у'(0) = у(0) = О, у"(0) = 1 и у(!) Ф у(р).
я Действуем по той же схеме, что н лри решении предыдущего примера. Получаем: у (!) =: рУ(р> — д(0> = рУ(р> уи(!) ф р'У(р> — д(0>р — у'(О> = р'У(р>; у 0) ~ р У(р> — у(0>р — ру'(0> — у"(0) = р > (р) — !. Следовательно, Ху ф р'У(р) — 1 — 2р 1'(р) + ЗрУ(р) — У(р) = ~р~ — 2р + Зр — 1) 1'(р) — 1, М 702.
Найти изображение производной функции у(!) = ц2. м Имеем ~,73) У(!) ф 3 р! р! 2рт Функция Т'(!) = = существует т! > 0 и не существует при ! = О. Изображение таких фуцк! гя! ций находим по теореме дифференцирования оригинала, в которой предполагается, что Тм!(!) существует ч! > О, а при ! = 0 Т!"'(!) вообще может не существовать. Таким образом, У'(!) Ф р — з — у(0) = —, (так как Т(0) = 0). и зг'я з/я 2р! 2р! 703.
Ту =у +гу! +4у, у(О> = у'(О> =у"(О> = О, у"'(О> = у' (0> = — !. < Принимая во внимание начальные условия, получаем: у"О) ф р'У(р)+р+ 1, у'"(!) Рр'1'(р>+ 1, т,у =, (р'+ гр'+4) у(р)+р+ 3. в ЗЗ4 Гл. 7. Метод иатеграаьиык преобразований Лапласа С помошью теоремы о дифференцировании изобрюкенил найти изображении функций. 704. а) /(С) = Сяпас; б) /(С) = Ссозас; в) /(С) Ф со(гас; г) 70) = ссйаС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
