Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Обратное преобразование Лапласа 3.1. Формула обрацеиии Римана — Меллииа, Теореме (формула обращения Римана — Меллина). Или функция у яолиетея ориеииолои, т. е. удовлетворяет услоишии 1), 2), 3) и. 1.1, о р слуисит ее изоброакеииеи, то в любой 719. найти оригинал функции г, гле Р(р) = 1 (Р и !)(Р -с- 2) < Разлагая функцию р на простые дроби, получаем: 1 1 ! р(р) = — — — —- р-1-1 р+ 2 (р+ 2)з Поскольку — 1 ф е — 2 =' е, то решение примера сводится к отысканию оригинала 1 аь — с 1 зь -зс Р+ ' ' Р+ функции зс(р) = — — т — — — -2 — -2. По теореме Боре!и ! ! 1 (Р42) Р-с- Ре с ус(р)=' /е е йт=е / йт=е С. о о Гл.
7. Метод иитегравьвмх щтобразоааивй Лвпваса 340 точке ггепрерыаносеи функции у выполняется равенство ьн г (С) = — / сир(р) др, ! (1) где интеграл берется вдаль любой прямой (р Е С ! Кер = а > а) и понимается в смысле главного значении по Коши. В точках разрыва функции г' вместо г (С) н левой части формулы (1) следует взять 2(у(С+ 0) 4 у(С вЂ” О)). 3.2. Сведеппи из теории функций комплексного переменного.
Напомним читателю, что функция у; С вЂ” С, диффсренцируемая в каждой точке некоторой области 2), называется аналитической (иначе, регулярной или моноггнной) в этой области. Если функция у аналитическая в кольце К = (г Е С ~ г < ,'г — го! < Л), то она может быть представлена своим рядом Лорана гг(г) = ,), сь(г — го), =- о равномерно сходящимся в любой замкнутой области, приналдежащей кольцу К. Ряд (1) можно записать в виде (3) геа Г' = с,. (5) с„ У(г) = Е с.(г — го)" + к — , ,=о „=1 (х — го)" 7 ь - о При этом ряд 2; с„(х — го)" называется правильной частью ряла Лорана, а ряд 2: — -=а г— л.—.о ,ю (г — го) главной Ега частью.
Если функция у дифференцируема в некоторой окрестности точки го, за исключением, быль может, самой точки го, то го называется особой точкой однозначного характера. Если главная часть ряда Лорана тождественно равна нулю, то го называется усеранимой особой точкой. Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, то точка го называется полюсом. Число пз называется порядком полюса, если с и' О, а с, = 0 ЗСЗ Е )4, Теорема А Точка го являееся полюсом т -го порядка еогда и только тогда, когда существует такая непрерывна диффгргнциругмая функция уо, что Зо( ) Т(х) = чг Е О*о 1(го) и зо(го) и О, (з г)м где О„= (г Е С: )г — го! < б). Если с „и' 0 для бесконечного множества значений и Е г(, то точка го называется суще- ственно особой.
Например, функции г ь е*, г ь пп —, г ь соз — имеют в начале координат ! ! существенно особую точку. Функция у называется целой или голоморфной, если она вовсе не имеет особых точек. Напри- мер, функгти г ьч е', г ьч илг, г ь созг являются целыми. Функция !' называетсн дробной или мгроморфной, если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Согласно определению, мероморфная функция есть частное двух анзлитических на комгглекс- ной плоскости С функций, причем функция в знаменателе имеет хотя бы один изолированный нуль на плоскости С, а если нулей бесконечное множество, то оно не имеет предельных точек. Вычетом функции У в изолированной особой точке а называется число 1 гезу = —, / у(г) йг, (4) 2кг,/ где т — достаточно малая окружность П = (х Е С: !г — а! = б).
Если функцию у можно представить рядом Лорана (2) в окрестности изолированной особой точки а, то зй! 5 3. Обратив,б гие Лапласа В устранимой особой точке вычет все .да раасн нулю. В попике порядка гп вычет вычисляется по формуле й' ! юз1= — Ьп — „(( -а)"У( )) (6) (и 1)! ««йз" Для полюсов первого порядка формуда (б) принимает вид гез7 = !!ш(х — а)У(х). « Если при этом в окрестности точки а у(х) = фц, где )«и ф — анвлнтические функции в точке а, причем р(а) ~ О, а ф(х) имеет в точке а нуль первого порядка (т. е, ф(а) = 0 и ф'(а) Ф О), то вместо формулы (7) можно пользоваться формулой р(х) (в(х) р(а) гез 7 = Ош — (х — а) = Огп - „ (8) --' ф(х) -" х( ):Е(а) ф'(а)' (7) З.З, Теоремы разложении. Непосредственное применение формулы (!), п.3.1, затруднительно.
Мы рассмотрим здесь так назьтаемые лервую и вторую теорены раможенил, которые значительно упрощают процесс восстановления оригинала по его изображени!о. Теорема Е Если изображение Р донускает в окрестности точки рч — — 0 раможение в сходящийся ряд Парана ло стеленям— ! р Р(р) = ~', — '„"„ «=о р то ему оютветствует функция-оригинал !« О(!)у(!) =',) а„— с ««о (2) Прежле чел! формулировать вторую теорему разложения, приведем нааодяшие сообрюкения.
Если у — аналитическая функция внутри области Ю всюду, кроме конечного числа особых точек а! (3 = 1, и) и непрерывна на границе С этой области, то справедлива формула Коти о вычетах 7(з) йз = 2я! ~ гезу. (3) с г=! Подынтегральнал функция Р(р)е' в формуле (1), п.3.1, аналитическая и ее особые точки находятся на плоскости р слева от прямой, уравнение которой У = а = а. Справа от этой прямой функция Р(р)е' аналитическая, поскольку оба сомножителя — аналитические функции. Если применить теорему о вычетах к интегралу «аи ~е~Р(р) йр = / е~Р(р)йр+ / емР(р) йр с -и сл по контуру С = С, ы Сл (рис.
103) и перейти к пределу при Ь -! со, то оказываетсн, что е"Р(р)йр -! О, / е~Р(р) йр — ! 7"(!)2я! = 2н(~ гез(е~Р(р)), св «-и ! т.е О(!)У(!) = ~ геа(е" Р(р)). У! Этот результат известен в теории операционного исчисления как вторая теорема развахгвния. Сформз пируем эту теорему. Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа 342 Теорема 2.
Если изображение Р есть меромарфнан фунниия на комплексной пласкаопи р и аналитическая на нарунлагкасти )(ер > а и если существует последовательность екрузкностей С„= (р Е С: 1р~ = А„), Вь < Вь < ..., Н вЂ” +со, на которой Р(р) стремится к нулю равномерна относительно агйр, а также»уа > о интеграл )' Р(р)йр абсолютно сходится, та оригиналам изображения Р(р) яеляетгл функция О(1)У(() = ',), юз(е "Р(р)).
(4) Если для точки зь можно указать такую б-окрестность, что при однократном обходе точки з«по любому замкнуюму контуру, целиком лежащему в этой б-окрестности, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка з« называется точкой разветвления данной мно- гозначной ф ункции.
Если среди особых точек функции ер'Р(р) кроме полюсов и существенно особых точек рь (й = 1, 22) имеются точки разветвления р,' (ь' = 1, гп), то « ! « Г(() = ~ гез(емР(р)) — — ~ / ер Р(р) йр, (5) Рь 22гь ., 2«1, » где у,' — контуры, состоящие из окружностей С,' малого радиуса с цен- трами в точках 'разветвления, верхнего и нижнего края разрезов плос- кости по лучам, проведенным из этих точек (рис.
104). Рве. ьае Найти оригинады данных функций Р. Е Е"«Р 722. Р(р) = —, а > О. а 2»Р ' т Функция.Р— аналитическая на плоскости р с разрезом по отри- С, цательной полуоси. На верхнем крае разреза р = ре" и р = ьзрр, а на нижнем его крае р = ре '" и „р = -2 рр.
Поскольку р = 0 — точка 0 разветвлении функции Р, то, согласью формуле (5), имеем 1 г е'"" у(1) = — — / ер йр, 2хь Р' чРР 7« где у« — контур, изобрюкенный на рис. 105, ориентированный против хода часовой стрелки, состоящий из двух лучей и окрухгности радиуса е > О.
Оценим г .ьез р,е 'ЧРР ~ е-«»р / ер — йр < / 1еи) ~ — ~йр) ,р . ~,р Полагая р = ееь", получим е 'ЧРР— «чт~х 2 (е 1 — 1йр~ = е' «Р .гй»р < ем,ре2я — »0 при г-»0. Поэтому Р Р«Е -«чрр»««р о ,„е и д +м / ь«,рр -2«.рр) — (е — йр = — ~ е —, йр — ~ йр = — ~ е М ! йр '4 + « +«« ! Г юсова РР 2 Р У(П=-'~'е- йр = — / е " созаийи р 343 03. Обратвое преобразование Лапласа Г гг (после подстановки гр = и). Обозначим 1(а) = / е "'сазана(и. Интегрируя по частям, нахоо з(п аи аг,1+ 21 Г „г, 21 а(1 1(о) = — е а ~~ 4 — / ие " з(пои г(и = — — —. л о а а г(а о Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. решая его, получаем г 1(о) = Се аг.
Постоянную С находим из условия угя 1 рг С = 1(0) = / е " ' Ни = — / е '"' аг(иЛ) =— у71,/ Д 2 2)/1 о о Следовательно, ! гя а 1 аг 1(а) = -)/ — е а, 1(1) = — е 2 )/1 ' ггяг 723. г(р) = е ав, о > О. а Пусть 1(1) =' е '"о. Тогда по теореме днфференшарования изображения получим ,,у 2 е'' -1~(1) ф (е ' г/, илн — ГГ(1) Ф вЂ” — —. о ' гр ,1 Согласно решению предыдущего примера — 11(1) = — е аа . Позтому тяг аг а аг я)= е а, е что=; е ац,м 2чтя(з ' 2(ъ'яг е '"у 724. р(р) = —, о > 0. р ' а Воспользуемся решениеагапредыдуще~о примера н теоремой интегрирования оригинала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
