Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Получим р ' 2чгя,/,ггтз' о Произведя замену 4- —— и, находим: а г а /,е ц г(т = — / е ' би = Ег( ® . о а г гт( Имеем — =' Ег((-ф) . М г+ 725. р(р) = (р — 2)(рг — р — 20) м Поскольку (р — 2)(р~ — р — 20) = (р- 2)(р+ 4)(р — 5), то функция р имеет простые полюсы в точках р, = 2, р, = — 4, рз = 5. Эти же полюсы имеет и функция ег'Р(р). Для нахождения оригинала функции Г воспользуемся формулой (4), п.
3.3. Вычеты функдии р а-а еие.(р) найдем с помощью формулы (8), и.3.2. Имеем еи(рг бр — 1) 5е гез е~р(р) = о=г 3(рг — 2р — 6) 18 ' 344 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа е'(рз+р-1) П и геь ег Р(р) = = — е ь=-ь 3(р' — 2р — 6) 54 еьь(р~+р — 1) ~ 29 геь сир(С) = = — е 3(рз — 2р — б) ) 27 Подставив полученное в формулу (4), и. З.З, находим: 7(С) = — (1!е 458е — 15е ). и 54 726.
р(р) = о -р+2 (р' 4 4)(рз + 1) ° Фунюгия емр(р) имеет простые полюсы в точках р = ж2( и р = ж(. По формуле (8), п. 3.2, находим ем(р'-р+2) (1+ь) „ "р(.) =— 2р(2рз 4 5), б ем(р'-рч-2) 1 — ь „, геь е" Е(р) = — = е ' . г.=з1 2р(2рз + 5) 6 В точках р = — ь и р = 2ь получим комплексно сопряженные выражения. Следовательно, г'! — ь е !+ь „'ь 1 С(С) = 2Ке ( — е ' — е' ) = — (соь2С+ ып2( — соьС+ ь!пС). и 6 6 ) 3 ! 727. р(р) =— (р — 1)'(рг + 1)(р — 2) м Функция е'~е (р) имеет простые полюсы в точках р = 2, р = жь и полюс 3-го порядка в точке р = !.
Согласно формуле (4), п. 3.3, имеем у(С) = геьеь Р(р)+ геьеир(р)+ геь еие(р) Ч- геье"у(р). ь=г ь=! Р= г 1 Вычислим вычеты по формулам (6) и (7), п. 3.2, получим: р! а геье Е(р) = — —, = — е, (р — 1) (рз+ 1) еи 1 геьгзьр(р) 4 геь еь'р(р) = 2Ке (гезеМР(р) ~ = 2Ке ( ) = — (соьС вЂ” Зал(), / ь,(р — 1)з(р+ ь)(р — 2) 7 =; 20 1( еь' е"р(р)=-( г р=' 2 1,(р'+ П(р — 2) ) 1 (2(бр~ — 16р + 15р — 3), Зрг — 4р+ 1, С~си ь~ е' 2 1, (рз + 1)'(р — 2)ь (р 4 1)ь(р — 2)' (рь 4 1)(р — 2)/ 4 Таким образом, еь 1 е С(С) = — + — (соьС вЂ” Зь!п() — — (С 4!).
М 5 20 4 728. р(р) =— рейр чс Поскольку ей р = сов ьр, то функция еир(р) имеет бесконечное множество простых полюсов рз = О, р„= ж( (й — р ) ьг, )ь 6 Я. Согласно второй теореме разложения имеем !ь гч=( — ) ~ь.т ( — ' е ( 7) ~ „соь()ь — 1) кС = 1+2Ке2 ',, = 1+ 2~ (-1) ь(к — -') кь)гь((ь — -') к = (Сь — !) к б 3. Обратное преобразование Лапласа 2 г Йл! ак — — — / У(!)соз — 4! (й Е Уо). о 4, цозтому 1 г — / 2 !22 = 2, ! В рассматриваемом случае 1 = 1 Йкг С05 -2 51п — 4- ! вл ° лл ак = — / соз — ! ой = 2 2 4 1 ао = — / К(!) !(г = 2./ о ! — 1) Таккак со5-"2 51п-4- =( — 1) при п=4й — 2(ЙЕЩ, то а =2 2, и Гй — 2~ л 2! соз й — 1 !+2с 12 ~1 2)~ )О, если 4й — 1<!<4Й4-1, (й 11 '(2, если 4й+ ! < 5 < 4Й+3.
к=! !й — 2!2г с помощью единичной функпии 2) можем представить функцию ( в виде у(!) = 2 ) ( — 1) 2)(! — 2й — 1). Таким образом, к=о 1 — Ф 22 ( — 1) О(! — 2й — 1). М рсйр =о Найти изображения функций. 729. ((1) = йп256. м Воспользуемся теоремой 1, п. 3.3. Разлагая функци!о 1 в степенной Ряд, получаем 5!п252! = 2 (-!)" !"'! ='Р(р). .—.о (2п+ 1) Согласно решению примера 683, имеем (2п 4 1)152л ! 2Ф и!22 к!р"+т Следовательно, ~Ф) = Е(-1)" »=о п)р" к ! 1Р— -~',(-1)" —,— =- -е к, и р »=о и' р р 730.
у(!) = —. со5252! 2! < Из разложения к мк-1 со5222! (-!)222»!к ! (2Й)! и соотношении 1! ! Г (Й+ 2) (2Й вЂ” 1)112/л (2Й)!2!»л 2 — ' к -' ькй р 2 2 р 2 Й!225 2 находим о получено разложение в ряд Фурье на сегменте [О, 4) функции (О, если 4й — ! < ! < 4Й+1, ,( 2, если 4й+ 1 < С < 4Й+ 3, по косинусам кратных дуг. действительно, коэффициенты Фурье ак,оля функции 1 вычисляются по формулам Гл. 7.
Метод ннтегралыная преобразований Лапласа 731 У(С) = С?2«(2ч?С), где 2„(х) = ~ (-1)~(-~ «о лева) функция 1-и? рода и-го порядка. н Подставляя в формулу для 2„(х) вместо х аргумент (?С)"+?« ((с) = ст 2„(2чС) = С ? ~ (-!)' й!Г(и+ у+ ! Принимая во ю?имание решение примера 682, имеем Г(а + й + 1) р «««? 1 — цилиндрическая (бессей!(и+ й)! 2??гС, получим ( 1)«С«ы ) -Е,,(„„,1) Следовательно, )« ? 7!1 «(И Г(С)=~ ( !) = — 2 ( — 1) — = — е У, пЕ??.о.м — Р ? «=о "' Р"+ 734. ° Г'(С) = м Воспользуемся решением предыдущего примера, полагая там и = 1.
Получаем ! ! Ст,7,(2«?С) =' — е о. р? По формуле интегрирования изобрахгеиия (теорема 1О, и. 1.2) находим ? «ы Г !ту (2ч?С) Г е о ?Сд 11+'« ф/ — =еГ~=! — ер. / (Г? г Таким образом, ? Г(С)=,! — е У и. 4 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы 4.1. Интегрирование уравнений е постоянными коэффициентами. Пусть дано дифференциш?ьное уравнение 4"у 4"-'у Ау Ьу = ао — -Ьа? — „+ ... + а„-? — + а у = Г(С) «СС" АС"-' ''' " 4С и начальные условия А(р))г(р) = Р(р) + В(р), (3) где А(р) н В(р) — известные многочлены. Решая зто уравнение, найдем операторное решение Р(р) + В(р) А(р) д(О) = у„й?(О) = у, ..., Уи '(О) = у' (2) Считаем, что ао ~ О и функция г", а также решение у(С) вместе с его производными до п-«о порядка являются оригиналами.
Обозначим )'(р) Ф у(С), Р(р) ив У(С). Г!о правилу дифференцирования и свойству линейности вместо дифференциалыюго уравнения (!) с начальными условиями (2) получаем операторное уравнение (аоР '- а,Р + ... + а„) У(Р) = = Р(Р) + уо(аор" ' + а?Р" ' + " . + а. ?) + Уо(аор" ' + а?Р" ' + " . ь а -?) е " е Уо" 'ао, или 347 $4. Лияейиые дафферевииальиые урноиеиия и системы Если уравнение (!) при начальных условиях (2) допускает решение у(!), удовлетворяющее условиям, нала,кенным на оригиналы, то это решение является оригиналом лля г (р). 4.2.
Решение сметем лпнейнык дифференциальных уравнений с настоянными ноэффнниентамн. Аналогично применяется операционный метод к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть требуется решить систему и дифференциальных уравнений второго порядка аы —, + Ьы — + с,кдк = У (!) (и = 1, и) кы г, с начальными условиями 4.3. Решение уравнений с пулевыми пачяльнымн условиями прн помощи интеграла Дюамеля. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения АУ=У'"'+а,У'" "4 ... Ч-ак,д'+акр=-У(!) с начальными условиями д(о) = у'(о) = ... = у'" п(о) = о.
(2) Рассмотрим задачу д(0) = д'(О) = ... = ди к(0) = О, (3) где бд — левки часть уравнения (1). Поскольку операторные уравнения, соогветствуююцие задачам (1), (2) и (3), имеют вна 1 А(р)У~(р) = —, р если известно решение задачи (3), то„сот!иск!о А(р)Р(Р) = Р(р) где Р ф (, то г (р) = РУ~(р)Г(р). Таким образом формуле Дюамекш, имеем д(!) = ~У(т)у',(! — т)йт о (приняли во внимание, что у,(0) = 0 согласно начальным условиям). Формула (4) принимает вид у(!) = у,(!)У(О)+ ~у,(!)У'(! — г) 4 .
(5) о Решить слелующие дифференциальные задачи. 733. у" +а'у =Ьз!пас; у(0) = уо, уо(0) =)4. ° Операторное уравнение, соответствующее дифференциальной задаче, имеет вид (р +а)У= +уор+уо. аЬ рк+ ак Аук(О) д,(0) = ак = 0». А! Если ук(!) и 7,(!) — оригиналы, а Ук(р) и Г,(р) — их изображения, то система (1) с начальными условиями (2) заменится операторной системой (аккР Ч-Ь„ку+с„к) Ук(Р) = г,(Р) + ~ ((а,кР-> Ь„к)ах 4-а,к!ук!. (3) к.—. ~ к.—.! Решая се как алгебраическую линейную систему уравнений, найдем Ък(р), а потом и их оригиналы д (!) Изображение Оригинал 1 р ГО,есппг < 0 ч1!) = ~ 1,', 1 > о У!д Ь 1) рьы 1» !д > -1) С, Д = СОП5! и! 1р — д) 1"с", и Е И, гг = сопь! 5!пи!, и Е К, и = сопь! р2 ! яг (р — д) 2 -1- а! 1ю(р -1- ьд)" и! ! 2 ь 2) ьч р — гг !р — а)2 -1- аг КС!Р 1-ИО)ьы и! —— ! 2 + „2)ь.» 10 ьпьгг, а Е И, а =- сппь! р р2 2,22 с)!ыг, я Е И, а = сопя 12 *)п аг —, Я ЕЖ, ы=сопы 1 гг р — — ьгсга— 2 ы дг гг)г сю— рг Ьи! 252 1Япьгь(, и Е И а = ссп5! ег 2бгт( ) 222 с, ОЕЙ, а=сопя 15 с —, аЕРО а=соль! ч'и! ' 1 ьра+ а 16 с -д р 1 — е Тг, ОЕИ, а=соль! ьгюь 17 1 1 — ь!ив Я гь — е " ы)п игр 1 р чр 1 — соь— сгпг 21 — е ср усов 5/р 1 ч'р — длр р /а т бгт~ — ), ОЕИ, а=сапы )ьг г,)' 20 Таблица оригиналов и их изображений 5' япыг, ы Е И, д = спп52, м = сппь! 1" япы), и Е И, я Е И, дг = сопи ссьыг, и Е Рь Я = сОп5! е сщаг, Я ЕЖ, а=-соль!, а=сопя ! сп5а!, и Е И, а Е И, Я =.
сдп5! Приводим таблицу изобрюкеиий для некоторых функций и соответствующие указания для пользования ею. Если требуется по заданному оригиналу найти соответствующее ему изображение, щ таблицу читают слева направо; если известно изображение и требуется найти соответствующий ему оригинал — справа царево. Таблицы более подробные, чем предложенная здесь, приводятся в специальной литературе по операционному исчислению.
349 и 4. Линейные диффереицвазииые ураииеиив и системы Решив его, находим аЬ Р Уо У(р) = +Ус + — (Рз.„аз)з Рз щ,з Из таблицы изобрщкений функций находим: Уо Р . Уо . Уо ф уосоза(, ф — з!п ай орз4аз . о ' РзЧ аз а Поскольку — т — т-г — — 2 — г — р-гт —, то по формуле 7 таблицы и теореме об интегрировании аЬ Ь 2а ! (р +а ) (р +а ) Р' оригинала имеем аЬ Ь г Ь Ф / т з!и агат = — (з|п а( — а( соа а!). (уз+аз)з ' 2 l 2аз о Окончательно получасов Ь Ь о|па| 7 Ы'г у(Г) =- ( у'„+ - - ) — + ! Уо — — ) севан и. 2а) а г, 2а) 734. У" 4 4У'+ 4у = е а(соз | + 2 з|п |); у(0) = — 1, у (О) = 1. а Перейдем к изображениям: УФУ, у ФРУ+1, у =, 'РУ-|-р — 1, Р -|- 2 сщ( 4 2з|п| Ф 2,„| ' у(Г) = е (| — сщ! — 2з|п().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
