Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 78
Текст из файла (страница 78)
(-7(')" = Л а (( — т)у Ч Полагая в предыдущем примере а = у, р(Ц = яп 1, находим: 1 т Г)' 5!Пч г д!) = — ( т а сео(! — т)ат = ~( — соо! ( — ат+япг/ дт = )( (С(1)созга-у(!)51п!), т )( т ~ 5Г2тт /от / 1 т а о а где С(!) н 3(!) — интегралы Френеля (см, пример 707). м .Н г яп2чг!т 764. Г(!) =! -Ьл / Г(т)пт, (Л1н1, а> -1.
й ч Пусть | Ф Р. Согласно решению примера 682, !' ф;тт . При решении примера 727 1 гт ! нашли, что яп25Г! =; — Г --е 5, По теореме подобия имеем — — — =' — е,-е г. Изображение яп2»Г!г . 1 = р)гр балт =. ЯР интеграла г — ~=- — г(т) 5(т найдем с помощью теоремы эфроса (см. п. 2.3), в которой следует яп 2ЪГ!т а взять Ф(р) = „, д(р) = — „. Следовательно, 1 Операторное уравнение, соответствующее данному интегразьному, имеет внп Заменим в (1) р на —. Получим 1 Р Р(р) = Г(а+!)р ы + Лр,/рр(р).
(2) Из (1) и (2) имеем Г(р) = + — Г(а+1)+Л Р(р), Г(а+ 1) Лр'+' р,р откуда 1 (г Г(а+ 1) ЛГ(а+ 1) 1-ла) р~+~ + 5» рт ' Перейдем ст изображений к оригинюгам. Получаем: 1 1 1 ( ЛГ(а+1) рт Ю»55Г(2 — а) ). Г(2 — а)!» 2/ 366 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа 8 7б5. р(!) = ~!п(1 — т)~(г) й . о ° Ядро К(1) = )п( имеет особенность в точке ! = О, поскольку )нп К(1) = -оо.
Следо- ~ +е вательно, интегральное уравнение особое. Найдем изобрюхение функции ! 1пг. Для зтою воспользуемся решением примера 682, где показано, что ! ф —,+! —, а > — 1. Дифференцируя а . Г(а+ 11 зто соотношение по параметру а, получим 1 1' (п ! =' —, (Г(а + 1) — Г(а -Ь 1) )ц р). Полагая здесь а = 0 и принимая во внимание равенство Г(1) = 1, имеем Г (1) — 1пр 'н1! ф (1) р Из курса математическою анализа известно, по Г'(1) = -С, где С = )пп (! + .у + ...
+ — „— 1 1 — (пп) = 0,577216... — постоянная Эйлера. Обозначим 7 = ес = 1,781072.... Тогда 1и! Ф = — — 2с- = К(р). Воспользуемся полученным ранее равенством 6(р) = — Ф(р), являю!я( ) 1 р Лрд(у) щимся следствием из формулы (2), и. 5.3. В рассматриваемом случае 1 С(р) = — — 6(р), !п(ТР) Найдем оригинал функции р ~ Г„-~ — ). Интегрируя по параметру а функцию а ~ Г( — -П в пределах от О до +со, получим: чв .~.Х е 2/ / й йа 1 ~ 1 Г(а+1) ' г' р "' р+'!пр! р1пр По теореме подобия находим !'у- йа ф Г(а+ П ' р)п(ур) г гч -а "Гг гч ч Таким образом, р(1) = — / Г(~2~ — ба ч(г(1), т е, д(!) = - / ( / ТТ~~~ П йа) !г(!-т) бг, Решение о и е уравнения имеет вид /ч'' ч чх у(!) = д (!) = — / ~ / ба ~(з (! — т)йт — (г(0) / Г ! 7 ба ./ ~,/ Г(а+ 1) ,/ Г(а+ 1) а (см.
формулу (2), и. 2,4), м 9 6. Применение операционного исчисления к решению уравнений с частными производными Рассмотрим дифференциальное уравнение до дп д~о дн 6о = а — + Ь вЂ” + со + а, — + Ь| — = О, дхз дх др д( (!) где а, Ь, с, а„Ь1 — непрерывные функции, зависящие только от х, заданные на сегменте [О, Ц. Считаем, что а > 0 и будем рассматривать два случая: 1) а, < 0 (гиперболический сгучай); 2) а1 = О, Ь, ( 0 (параболический сгучай). 367 Фб. Операциоииое исчисление и уравнения с частиымв производными Требуется найти решение и(х,с) дифференциального уравнения (1) для 0 < х < 1 и С > О, удовлетворяющее начальным условиям и(х, 0) = )з(х) (лля параболического случая), ди(х, 0) и(х.
0) = р(х), = 4(х) (для гиперболического случая), дс и краевым условиял~ ди(С, С) ди(1, Ц и(О С) У(С), а .~)3 =ти(с,с), ах дС тле а, а, .1 — настоянные. Такие задачи называются нестационаряымя. Предполагая что и, д —, и — г, рассма-риваемые как функции переменной С, являются ди д~и д» орпгипаламп. обозначим через (Г(Р, х) = / и(х, С)е " гсс г изображение функции и. Тогда, вследствие сделанных предположений, имеем дх'/ах " ах' ахз'/ах' дх' о О По правилу дифференцирования оригиналов получаем: ди да ди(х, 0) — =; р(à — и(х, О), — =; Р'(à — и(х, 0)р— дс ас дС или.
принимая во внимание начальные условия, ди ди — Ф р(1 — р(х), —, =' р (С вЂ” р)г(х) — Р(х). ас асз Предполагаем также, что )"(С) является оригиналом и Г(р) =; С(С). Тогда из граничных усяо- вий имеем у Кг (г = Р(р), ~а — + С)(р(г — р)~( = 7(г~ ь ~чы Операционный метод приводит решение нестационарной задачи для уравнения (1) с частны- ми производными к решению обыкновенного дифференциального уравнения аз (7 а +Ь вЂ” +А(гч-В=О, дхз дх где А = сча|р +Ь1р, В = — о,р)з — а1р — Ь!р, р — комплексный параметр, при следующих граничных условиях: Ы(С (г! =Р(р), ~, — +Одр-7)(г-С)хт) =о. (3) и~ =О, и~ =Ю. (2) Решить следующие задачи.
766. Температура и(х, С) в тонком стержне удовлетворяет уравнению ди з ази — = о —, а = соим. (1) ас дхз ' Найти распределение температур в полупространстве х > О, если известен закон изменения температуры его левого конца, а начальная температура стержня равна нулю: 368 Гл. 7.
Метад ивтегральвык Шмобразовавий Лаиласа (3) (5) (3) м Перейдем к изображениям. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение з Д'(7 р(7 = а —, з которое решаем при выполнении условия (г ~ = Р(р). Общее решение уравнения (3) находим без трупа: хе, (г = С1е ' +Сзе Согласно условию задачи функции и и б' должны быть ограниченными при х - +со, по- этому С, = 0 и общее решение уравнения (3) записывается в внае ~Ю (7(х, р) = С~е Из условия (4) следует„что С, = (7(0, р) = Р(р). Следовательно, зд, (Г(х, р) = К(р)е а *. Для нахождения оригинала рассмотрим сначала частный случай 7(1) = 1. Тогда Р(р) = —, Р' (Г,(х, р) = — е .
Воспользуемся решением примера 724. Получим: зд, р мгт ( х 2 г и,(х,1)=Ег(( — ) =1 — — / е ' Ыт. г, 2ачг(,! чгя з' о В случае произвольных граничных данных (2) воспользуемся интегралом Дюамеля (см. форт мулу (2), п.2.4), полагая там (з(1) = Ег( ! — ~,.1, зз(0) = О, (е'(1) = — е —,-е мтс Поскольку ,2ам1,г ' 2ачх13 (7(р) — рЯ'(р)(Г,(р) (см. п.
3.3), то +а 2" ъгк (1 — т) з таст (после замены переменной б = х ). м 2а~И вЂ” г ' 767. Стержень длины 1 находится в состоянии покоя и его конец х = О закреплен, а к сво- бодному концу х = 1 приложена сила Аз(п юг, направленная по оси стержня. Найти продольные колебания стерхсня. ° Ф Уравнение колебаний стержня имеет вид д'и, д'гг (1) дг' дх" где и = и(х, 1) — продольное смешение, а — постоянный коэффициент, зависящий от матери- 2 ала стержня. Начальные и граничные условия следующие; и! = — ! =О, и! =О, — ! = — япм(, (2) п=е дг!~ е ' ц=е ' дх! ~ К где К вЂ” модуль упругости.
Дифференциальной задаче соответствует операторная задача зи (Г 2 р (г = а —, дхз > о(Г! А ы (4) г(х ~,ы К рз+~~ Общее решение уравнения (3) записывается в виде (г(х, р) = С| сй — х+ Сз зй — х. р р а а 369 бб. Оиеравваивае исчисление и ураввевво с чаегиымв ираизводвмми Из условий (4) находим Ь С, =О, Сг= р(рг + огг) сй к( тле Ь = -х —. Получаем решение операторного уравнения в виде Аох ой -.*р (Г(х~ р) = (5) р(р +ы ) с(г ар 1 (хг и) Для нахождения оригинала и(х, 1) воспользуемся второй теоремой разложения. Функция (Г имеет один действительный полюс р = О и бесконечное множество попарно сопряженных чисто мнимых полюсов. Полюсы, лежащие в верхней пслуплоскости р = гог, ро = о-1- (Ь вЂ” 2 г = (ого .ха l 11 (Ь Е Щ все первого порядка и различны, если огг ~ ог ЧЬ Е )Ч (условие отсутствия резонанса). По второй теореме разложения нахолим: г к(х, гм) г х(х яд г 1 ! ог 2ао г о1я -ах яв мог и(х, г) = 2 не, ', о~" +~, ' е' ' = 1 ив — хо!ох!+ — ~ (-1) ~ Ур(х, иио) г г Ур(х, РИ / о,гасо хг а 1 оы хог — хг хо соа при условиях Ои) О ~ и~ = О, — ~ = -оо, и! = О, — ! = О.
,=, —,! (2) Дифференциальной задаче (1), (2) соответствует операторная задача Аг(г г — — (г = —, о(хг аг аг ' (3) (г~ =О, — ~ =О, (4) решение которой имеет вид л-* ео оо е оо + е о о (г(х р)= — — +— г г ггг 1+е (5) Поскольку ~е ~ < 1, то функция р ~1+ е о ) может быль представлена сходящимся рядом (!+е ) =~ (-1) е о поэтому получаем: ео ео о / ргого* ог(ыгзь а'г (Г(х,р) = — — + — ~(-1) (е о о +е о р о=е С помощью теоремы запаздывания находим оригинал о,о= (- Ь-о((- — 1~(-г-) (- .
1~('-~))). о(( 2Ы+Х) 2Ы х Г (2" +1)1-Х! Г2а+1гг — Х о=о Решение пРигодно, пока стеРжни сопРикасаютса, т.е. пока их ~ < О. М да 1 7б8. Два одинаковых стержня длины 1 с одинаковой скоростью оо движутся навстречу друг другу вдоль своих осей. Определить смещение точек стержней после улара. и Пусть удар происходит при 1 = О в начале координат (отсчет времени начинаем с момента удара). В силу симметрии достаточно рассмотреть смещение и(х, 1) точек одного стержня, например, правого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
