Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 82
Текст из файла (страница 82)
329, 690 — бу4, 728 — палая, 340 функция-изображ«ни« прсобразованииЛ«« а а, 324 — обобщснна«, 326 фу»«пи»-орнгинат преобразования Лшмсга, 323 — обобщсннан, 326 ОЬ»лы рял, 556 †5, 724 х шрактсргтсгичсскос уравнсиис, 136, 184 Ха««сайда функдия, 323, 679, 733 — обобщснная, 329, 690 — бу4, 728 Ц цснтр, 293 псиная лини», 110 цикт продольны», 306 — нсустойчивыи, 306 — полуусгой гиаый, 306 — устОй цгаый, 306 цикаоида, 111 У!»»т«овского формула, 29 ч часп ряда Лола»а — главная, 340 — правнтызаа, 340 Чебмюеаа уравнснис, 152 Чем»ела тсср«ма о »«устойчивости, 275, 6!2 — 6!4 Ш Штгрм ела матов *и«псиного решения д.у., 267, 575-577 Шюулма — Л«зяалл» замша, 170 —, ссбсгвснныс значсния, 170 —, ссбственныс фуниции, 170 э звсльвсша, 106 эвслюта, 106 ЭШ»ра — метод — — отыскания общага рсшсниа нсоднородной системы Л.У., 184, 420 — 429, 433, 497, 439 — — числсннаго решения д.у., 266, 569-57! — УРавнение, 152, 371, 372, 39! Эйюла — Рвк«»то урааиснис, 67, 152, !63, 2В2 — каноническое, 67, 172 Збрссо тсорсма умнсжсни» обобщенная, 336, 764 Я «дро зппсгрэльншо урввнсни», 357 Оглавление Йредиеловие Введение Основные понятия.
Составление дифференциальных уравнений Основные определенна (4) Задача Коши (4) Построение дифференциального уравнения по задштому семейству кривых (5) Примеры (5) Упражнения гцш самостоятельной работы Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порвдка... р К Уравнення с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение с раздслкюшнчвск псременнымн (П) Рззггелснис переменных линейной заменой аргумента (И) Промеры (П) $2. Геометрические и физнческне задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными................ Использование шомстрнчсского смысла производной (15) Использование физического смысла нронзеолной (15) Прммеры (15) й 3.
Однородные уравнения н уравнения, приволащнсея к пим Однородное уравнение (29) Уравнение, сводимое к однородному (30) Обобщенно-однородное уравнение (30) Лркмеры (30) 29 84. Линейные уравнения и уравнения, прнводящнсся к ним.................. Линейное уравнение первою порядка (39) Обмен рогимн между функцией н аргументом (39) Уравнения, црнводнмые к линейным (39) Уравнение Мнндинга — Дарбу (40) Примеры (40) й 5. Уравнения в новых дифференциалах.
Интегрирующий множитель Уравнение в полных дифференциалах (53) Интегрирующий множитель (53) Дифферснцначьнос уравнение для интегрирующего множителя (54) Примеры (54) 53 й 6. Уравнение Эйлера — Рмккати . Уравнение Эйлера — Риккати. Специальное уравнение Рнккати (б7) Каноническое уравнение Эйлера †Рнккати(б7) Примеры (б7) 67 й 8. Существоиаипе и единственность решения Теоремы Пикара, Пеано и Осгуда (82) Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения, не разрешенного относительно пронзеолной (82) Продолжение решения задачи Коши (82) Существование и единственность решена» векторной задачи Коши (83) гудкмеры (83) 82 й 7. Уравнения, ие разрешенные относительно производной..................
73 Уравнение, не разрешенное относительно производной (73) Общий интеграл уравнения Р(р') = = б (73) Представление решения в параметрической форме. Разрешение неполных уравнений (73) Примеры (74) Оглавление 381 00. Особые решения Особое решение. Днскриминантная кривая (99) Огибающая как особое решение (100) Примеры (100) $10.
Задачи иа траевтории Иэогональные и ортогональные траектории (106) Эволюта и эвальвента (106) Примеры (107) 106 Упрюкиения для самостоятельной работы . Глава 2. Дифференциальные уравнения высших нарядной... $1. Виды интегрируемык нелинейных уравнений Дифференцизльнос уравнение вида У(я, уГ"]) = О (1!4) Дифференциыьное уравнение вида т (уы г], уш~] = О (114) Диффереггцггшгьгггю уравнение вада Р (уш тГ, уов! = О (П4) Привары (П5) $2. Уравнения, допускаюшне понижение порядка Диг)к]мрснциальнос уравнение вила с (в, угь', угьшг,...,уг"]! = О (!22) Дибгференциатьное уравнение вала Г(у, у',...,у~м! = О (!22) Одноролное лифферснциальное уравнение вида Р(в, у, у', у",..., УГ"]3 = О (!22) Обоб~ггеггно одиоролнос лифференциатьное уравнение вида с (в, у, у', у", ...,уьо) = О (!22) Уравнение, приаолвмое к виду (р(я, у, у,...,Уп )) = О (!23) Примеры (!23) 122 б 3.
Линейные дифференциальные уравнения с постояниьгми коэффициентами Линейное дифференциатьное уравнение и-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение (135) Поиск частгюго решещш линейного уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов ( 136) Метод вариации произвольных постоянных (136) Метод Коши нахождения частного решение неодноропного линейного лифт]юренциктьного уравнения и-го поряпка с постояннымн коэффициентами (!37] Примеры (137) 135 б 4. Линейные дифференциальные уравнения с неремениьвни коэффициентами....... Линейное дггффсренцггатьнос уравнение и-го порядка с переменными коэффициентами.
Линейно зависимые функции. Опрелелитель Вронского (150) Критерий линейной независимости функций (!51) Фундаментальная система решений (15!] Формула Остроградского — Лиувилля (15!) Общее рещение неодноролиого линеиною дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (151) Уравнение Эйлера. Уравнение Чебышева (152) Дифференциальные уравнения второго порядка (!52) Связь иежду линейным лнфференциальным уравнением шорого поридка и уравнением Эйлера — Р иккати (152) Свелеггие линейного днфференцназьного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами (!53) Об асимптотическом поведении решений лифференциальньш уравнений второго поридка (153) Примеры (153) 150 05. Краевые задачи . Определение краевой задачи (М9) Функция Грина краевой задачи (170) Задача Штурма — Лиувилля (170) Условие эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению (170) Примеры (170) 169 Упралщенна длн самостоятельной работы .
180 Глава 3. Системы дифференнивльных уравнений 182 182 $1. Линейные системы Неоднородная система линейных лифференциальных уравнений с переменными коэффи»иентами. Фундаментальнаа матрица уравнения. Определитель Вронского (Г82) Метод вариации проиэвольнгнО вектора (183) Матрицант (!83) Неолнородные линейные системы с посюянными коэффициентами.
Метод Эйлера (184) Примеры (184) Оглавление 382 гйй й 2. Нелинейные сисюмы Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения (200) Подбор интегрируемых комбинаций (201) Примеры (201) 211 Уврвкневия для самостоятельной работы Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядка .. 212 212 б 1. Лнвеваые н квазиливейвые уравиевпя Основные понятия (212) Решение квазилинсйного уравнения в частных производных первого поряшга (272) Задача Коши (272) Уравнение Пфаффа (213) ПРимеры (213) б2.
Нелинейные уравнения первого порядка Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка (220) Решение зздачп о изхождении интегральной поверхности, проходяпми через заданную кривую (228) Мешд Коши (229) Обсбшенис метода Коши (229) Примеры (229) Упршкиения для самостоятельной работы . Глава 5.
Приближенные л(столы репуення дифференциальных уравнений й 1. Заввсимость решения от начальных условий п параметров Об оценке погрешности приближенного решения (240) Об отыскании производных от решений по параметру (240) Примеры (241) йг. Аналитические приближенные методы Метод степенных рядов (246) Метод малого параметра (247) Примеры (247) б3. Численные методы решения дифференциальных уравнений.......,....,... Метод Эйлера а-го порядка (266) Метол Рунге — Куттз 4-ю порядка (267) Могол Штермсра(267) Приверы (267) 273 Увршквеиия для самостовтелыюй работы . Глава 6. Устойчивость и фазовые траектории гуй й!. Устойчивость...,....... Устойчивость по Ляпунову. Асимптотичсскзя устойчивость (274) Исследование на устойчивость по первому приближению: первая теорема Ляпунова (274) Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова: вторая теорема Ляпунова (275) Условия отрицательности всех действительных частей корней уравнения асЛ" Е а,Л" г + ... + а„ гЛ + а„ = О, ас > О, с действительными коэффициентами (275) Примеры (276) й2.
Особые точки Определение особых точек и их классификация (292) Практические приемы исследования особых точек (293) Примеры (294) й 3. Фазовшг шюскость . Основные погштил (305) Построение фазового портрета (305) Предельные циклы (306) Признаки отсутствия предельных цикаов (306) Признаки наличия прелельных циклов (306) Примеры (307) 322 Оглавлепие Глава 7. Метод ннтегвальных преобразований Лапласа рерления линейных диффевенциальных уравнений $1.
Преобразовавце Лапласа. Осповцые попятпя п свойства Оригинал и июбражеиие (323] Свойства исеобразоюиия Лапласа (324) Примеры (325) б г. Свертка фуввцвй. Теоремы разложения Оцрелелеиие свертки (336) Теорема умиожеиия (ей Бореяя) (336) Обобаеииея теорема уииожения (А. М Эфроса) (336) Формулы Дюамеля (337) Примеры (337) бз. Обратное преобразоааппе Лапласа .
Формула обращеиия Римана — Мегшиия (339) Сведения из ~еоригг функций комплексного перечеииого (340) Теоремы разложения (34!) Причгры (342) б 4. Лииейпые лиффереициальпые урааиеппя и системы . Иигегрироваиис уравнений с постоянными козффициеигиип (346) Решение систем линейных аиффереицизльиых уравнений с оосгояииыми коэффициегоями (347) Решение уравнений с нулевыми иачаяьцыми ушювиями ори помощи интеграла Дюамеля (347) Примеры (347) б 5. Интегральные уравиевия тыва свертки. Особые уравцеиия 9!нтмряльиые уравнении гипа свергки (357) Иишгря.ъиые уравнения вгорого рова (358) Иитегральиые уравиеиия первого рола (359) Особыс игоегральиые ураеиеиия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
