Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Задача сводится к решению уравнения О'и, а'и — =а— (1) О(г Охг 370 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа Упражнения лля самостоятельной работы Найти изображения функций; 1. з)загс)з)ЗС. 2. созагсозбС. 3. сйагсп!ЗС.
4. япагз!п)ЗС, 5. зйагз1з/ЗС. 6. зЬаг — япаг. 7. сйаг — сова!. 8. зйаС+япаС. 9. сйаС+созаг. 10. созагсЬ,М. 11. з!па(зй))С. ( о, с < о, — — (4п+ 1), 2па < С < (2п+ 1)а, 15. З(С) = С(С+ 2а) = 2( +4п+3 (2п+ !)о <С < (2п+ 2)а, О, 1<0, е 21 16. г(С) = г(С+ а) = ~ е (2п 6 !)~ па < С ~ ((и+ !)а~ и с те '1 О, 1<0, 2 1 О, 2— ",' <С < ар+С-)д, С <О, 18. е "япЗСсоз2С.
19. елсозЗСсоз41. 20. зйгсоз21з!пЗС. 21. се!5!и 215!и ЗС. 22. сй ЗС 5!и С. 23 зй 41соз ЗС. Найти июбражения следующих дифференциальных выражений: 24. Ху = д'~(С) + 4де'(С)+ 4у"(С); у(0) = 1, у'(О) = 2, у"(О) = — 2, д"'(О) = 3. 25. Ьд = Зум(С) — 2у"(С) + 5; у(0) = - 1, у'(0) = 2, д"(0) = — 3. 26. бд = 4~' (С) + З~е(С)+ у(С); у(0) = О, д'(0) = 3, д"(0) = О, ум(0) = — !.
27. Ед = у (С) + 2у' (С) + 4у(С); у(0) = у'(0) = у" (0) = О, у"'(О) = у (О) = — 1. Применяя теорему дифференцирования изобрюкения, найти изображения функций: 28. С'сова!. 29. С~з!паг, 30. Сз!пагзпаг. 31. Своза(сваг. Применяя теорему об интегрировании изображения, найти изобрюкения функций: Се Г!ользуясь теоремой умножения Э. Бореля найти оригиналы функций Р(р): ° 1 ~е)=. Ф)— 42. Р(Р) = . 43.
ее) э ое+е ь+ и+е ь — ')э+) Нем- ' . 4пег)- е»» — ь+ )' м )е 1 46. Р(р) = —,й —,. 47. Р(р) = —,— ' —. (Р 61) ' ' Р(1-1)' Пользуясь теоремой умножения, найти оригиналы функций Г. К.)Е Н '-,гг)' '-гг)Ь вЂ” ) 54. Р(р) = — т' — тт .Р(Р +е ) Решить дифференциальные задачи: з, 55. 4Ук+ 12У + 9У = ! 44е 1; У(0) = 1, У (0) = 2. 56. У' — 2У' = е (С~ + С вЂ” 3); У(0) = 2, У (О) = 2. 57. у" 64у'+Зу = ай С яп С; у(0) = О, у'(0) = 1. 58.
у" +2у'+у = е е(сов!+С); у(0) = 1, у'(0) = — 1. 59. у"' — Зу'+ 2у = 81е е; у(0) = у'(0) = О, у"(0) = 1. 60. угг — у = 2 созе С(зес С вЂ” 1); у(0) = у'(0) = у"'(0) = О, У"(0) = 1. 61. у» — бум+ 9ув = 541+ 18; у(0) = у'(0) = 0 у"(0) = ум(0) = у' (0) = 1. 371 Ф 6. Операционное исчисление в урааиешш с частвымв производными Решить системы интегральных уравнений: х(й) = 2+ /у(т) Атс о у(й) = 91 — й' — йс + /х(т) сйт, с х(й) = ! 5 + /х(т) сйт. о х(й) =- 2й — /(й — т)х(т) сйт+ /у(т) Атс о о 78. у(й) =- — 2 — 4/х(т) Ат+ 3/(й — т)у(т) Ит. 77. х(й) = й+/ у(т) сйт, о у(й) = 1 — й*+ /х(т) Атс , о х(й) = 21~ + /х(т) Ат.
о *(й) = ! - а/у( ) 4, с у(й) = спой — 1+ / х(т) сйтс 80. о х(й) = ссий+ /х(т)сйт. о Найти решение особых интегральных уравнений -с со 81. / Я~-~ —,)а- = й". Я. / й-.— —- соей. 83. /(й) = й — .~=у / е ~ йт) сйт, 1Л! ~ 1. с а +с сс о 84. (е ау(т)йт — (пй = О. 85. 1е ей(т)йт = Яп 7. аас сей,/ хсхй с Решить следующие ьадачи.
86. лф-) = -гт — -(чс —; и(0, й) = и(1, й) = О, и(х, 0) = О, — 82 — ) = Вял — ! —, 0 ~ (х я й, дх о ай о >О. 87. — (тй-)- = а™'уйс — о; и(Ос й) = Ас ! пп и(х, й) = О, и(х, 0) = О, х ~ )О. ОХ * ' ' о-ах 62. уо + бу'+ 8у = яп й — с) <й — т2) сох й; у(0) = у'(0) = 1. 63. у" + 4у'+20у = с) <й — Зт) соа <й — ф): у(0) = 1, у (О) = О Решить системы дифференциальных уравнений: х 2х' — х + 9х — у' — ус — Зу = О, а с о х(О) = 1, *'(О) = у(О) = у'(О) = (О) = '(О) = О !' х'+ 2х+ у = оспй, 66. ~ у' — 4х — 2у= соей; 1 х(О) = О, у(О) = !. Решить интегральные уравнении: с 67. у(й) = о!ой+/у(т)сйт. 68.
у(й) = !+/(й — т)Ят)сйт. 69. З(й) = !+2-2соой-/(й т)1(т)сйт. о о о '10. й(й) =й'+ ~~(т)сйт. 71. Г(й) = соой+(Е(тсйт. 72. 1(й) = 1+ /е "У(т)йт. о а о 73. З(й) = ев+ 4/ ой 4(й — т)З(т)сйт. 74. у(й) = е '+ сооЗй+ / о(п(й — т)ят)сйт. а а 75. яп'й = / яп(й — т)~(т) сйт. 76. йо = /(21~ — Зйст+ т~Щт) сйт. Ответы Введение 1.
у — 10((~гт) = О. 2. у' = ехр®. 3. (ууб + д' )» — уу' = О. 4. уб + уУ вЂ” 7'у' = О. 2 о у'=: —.;-;У б Г=.„,;=сову.*="..7 '— ",,*-У-* '* у-, =о 8 7' 2* 2222 — х )+(2» — г )дб(д — х)+а»8(д~ — 2У)(д — х) = О, (з' +»»8) Яап — -„'»Я,— ~п (д +УУУУ) +1 = О. Глава 1 1. 2у + хз — 2» = С. 2. д = х 81(х) 4- свах. 3.
2 (2/х + /у) — 1п у = 4. 4. у = 2» + агсзя (! — 2) . 2-8 2 6. у = О. 6. у = х о .7. 1п)а(+»т — 2 / — ', 2(х = С. 6. оп а = Сеахз. 9. (у — 2») = С(у — х — 1)2. 2-,7з ос сЗ 2 !О. )д — х — 30+ 273(х+ 17)! = С)х — у+ 308+ 2773(х+ 17)! . 11. агспп )гт — — !п(С»~), *+об 16.
)пх = сгр(1!па) — 1. 16. д = х(с+ ппх). 17. у = 1 + Се~*. 18. д = е*(С+ )пх), х = О. 19. х = Су + уз, у = О. 20. д (с*+ Сея) = 1, у = О. 21, у = х !и Сх, у = О. 22. у = уОЕ рх и З 4 Е ГО 082+'Ф, и(Х) = 2 1П )1+ Х) + -' 1П )»2 — Х+ !) + + аГСГя р~-'. 23. у = .2 88 = усехр( — / и(1)4() + / екр~ — / и(()гй() сгя)Ш, и(1) = ф~~. 24. у = (;-~~; +х — хб) соьх. бо 88 2'2 78 36.
д = г~ (уб — Ззб ) + — ', . 26. д = ехр(1(п1пх)(2 — 51+ ) ехр(2!п)п() (1 — — „',) М). 37. у = Г+"' (22-2)уа 8 *2 I 2 Р(0+2) 2 -Гз -2 = х(1+(Сез* — 22) ). 31. у = х+2+4(сеоо — 1), с = г~т-'-. 32. у = »+1, уз = х+ +2(2-Зх) '. 33.
х-у' соа' х = С. 34. х'-у'+х'1п )у) = С. 36. 4»+ — ",." = С. 36. 2х у'-Зх' = = С. 37. (х + )ау) х ' = С, х = О. 38. х+ 2)п)х) + зу' — Я = С, х = О. 39. хф+ (Я) + (.+Ггу+(Г)*)=с,* 8.88. о — 8 у .82.7 о — у 42. у = 0 — особая кривая. 43. (О, 0) — особая точка. 44. (О, 0) — особая точка. 46. у = = 8 (езу — 1) + 2. 46. у = (охт — 2»'~ Глава 2 З2З »'ь Гь 1. х = / (-'е'о П -! — г) ' й. 2.
У = 1 — соьх. 3. х = ехР( / (!-1 +Яп()»11), ! ьх «=! !»!.,!«!.,««...»!.,«=«1' ~(1" ...«(-1' б- ' .~) «~)».,)«!.,!»., го,з г "» д Г»з -! «Р(од) = еху( / (1 — 1~+ып()»(()- — -~4-'-,--, д(из) = ехР( / (! — (г+Яп() М). 4. У = з = -* (1+ х ) . 9. д = (е * + е ~) 1и (1+ е ) + сзе *+ сге г*. 10. у = е * ( -"(х + 1) г + с, + сгх), — оде* — !з- з» вЂ” — пдд!« — — гг-»!» ! ! ! ! 1!. У=с!с! +сге»г +сзе 'г +сде 4~ +-'япх.
12. У=с,е! +!я+с!ее з*+ + (сз — гд) е '*+ — 'е '*. 13. д = сгх+сзх ~ е з х «(х+сзх . 14. у = сзх +сг (х — 1) +сзьг(х), )г(х) =х ~(!г — х) е з (х +2) дх+(х — 1) ( е з (х +2) Их, с, = ~-*-4а(х)»(х+сгь, (д»здг у-ь" » -зг« -б» з»' г )» -«г у — «ь«)+з«у-гь гь' з ) д« -г у-б «« -«г» з«' "= «+-~д'1-ь-' -!! +ся. 17.
у= с +огсз*+сзе зь+сде'+сзе '.!8. у= с +с,со«2х+сгяп2х+сдхяп2х+с хсо»2х. 19. у = с е* + с е * + с со» х + сд яп х. 20. у = с, д- сгх ~- с!х' + е *(с! + с!х). 2! . хе* + х + 2. 32. (О,!х — О,!2) ссех — (О,Зх+0,34)япх. 23. 2(х — 1)е*. 24. д япх — *— ,соьх. 25. сзяп(21пх)+ +с,соь(2)пх)+ 2«. 28. с, + с!со»(з/2)п(2х+3)) + сзпп(з/2(п(2«+ 3)) + г +е~д~йз(2х+ 3). 29. у = е — 2.
31. у = (с,х+ сг)е + де ', с! = -,,-» (5 — е ) — (б,г + ц д „,,-, с, = д, т. « 32. у = хг+е4г(сгсоьх+сгяпх)+е «г'(сзссех+сдяпх), с, = г='-ь„сг — — ьпге — д, «Л = = зпгтз — тзтд, т, = 10 — Зе +е г + 5е П, т, = 10з/2»П »З, гпз —— е " »+ 4«й ~) — 1, тд = 2 (1 — сй ~г), сз — — -сз, сд = ~ — дд — (Ьтг — отд) — пг-Ль-г — -'Я-. 33. у = е * — 1. 34. у = -е *(соьх — ьяпх). 35. у = 2хз. 36.
у = -',»2';-. 37. у = соьх+Р(х). 38 дз = -гааз з = с,е г""'" . 39. Уб —— обе "'*, Лб —— -' ()п з + (2й + 1)х) 41. Уб — — с„(е "'" — е ~"), Лб = » «-г-ы ю з = 2йхь. 42. Уб —— сь (е "'" + ' — „, ~ «е"«*), 11»йбгь — 2ь«бейб«б — 4»««б = О. 43. у = 2' ,с е"*, г=! = — ег+ г бг+з (-г — г Р), «геп (»! + Зе")-«зе*' («г+ Зе")-»зеп (»з+ Зе")+«зеп (»г+ Зе") д+»,е" (», +Зе") — »геп (», + Зеп) = О. 44.
Уб = с«Хб(хз/Хг) Хь(з/Хз) —.- О, сб ф О. 45. Уб = Р(х), Лб = й(й+1). 46. у = С (х' — х ') з/х, » = з/! — Л, !гье»! ( -'. 47. (хд)' — хд+Лу = О. 48. (е !+'д') + е г+*(Лх' — хг) у = О. 50. у = О. 51. у = О. 52. у = с,х + с«. 53. у = =с,хг+сгх+сз. 54. У=(хх+1)х.
55. У = «. 56. У= »(-'х+5). 57. У" = », 6»' — 5»»ь = О. 58. у'ь = », х»'+ « = е*. 59. у' = «, »ь»г — «з = О. 60. Уь = », х«' — »(1 — х) = О. 6(.у'+и=»,»'=0.62.УУ'=«,«'=! 63.У =Р Р=О Р РР=О 64 У =Р р = О, (р р+ р ) уг — рг = О. 65. (Ьь«г — з»г — *»г) + 48«»ге зяь»г + 2 = О. 66. З»г +» — 4 = О, -! Г » = (сзх + сгх+ сз — у) (/ йг!х!»(х) . 67. » яп»+«г — 2 = О, « = (у — сзх — сг) ® ф-) ; -! 68. (« — 1)(« — 5) = О, » = (у — сзх — сгх — сз) Яйз|х((»(х)~) .
69. х = йз/со»1, у = 324 3 +с». 70. х = с)2 1, у = сгс)2 1+с»с)г 1+сг+ / (/ (»491 — Зс)221) с)2~16)2142) к х с)2315)2141. 71. х = 1+ Сг, у = 6)21+ С!1+ Сг. 72. х = Сг — е ', у = е '(! — 1) + сг. 1 73. х= С, — )и!1 — 12!, у=-21+1иг ', +Сг. 74. у=1, х = х / (2е'+С) 41+Сг. 78. у=1, 1 )(!)(! !')'а с, с,.рр.р=с -с',р='-,.рр.*р'=р с,р= = 2+Ср '-!ир.
78. х = !ир+р ', у =р-1пр+С.79. *=у;/р~+ 1, у= -' (2р' — 1),/р'4- !4С. Глава 3 1. х = А!С~у+А!С-З~ У = Аг'3-~ен-Аг "Яе-/и.2. х = 5сген-2сге-р, У = гоге!1+Зсге-1- 2 1 2 ' 2 1 -сге ", х = сге + сге '+ сге 3'. 3. х = С; Аае"", у = 3 Л; Аа (1 — Л»2) е»", Ла = ъ'33х2»/212 »=1 »=1 4 2' 32 -г 4.
х = Я А»е"", у = — Е Аа+ — ' — е»", Л» — корни уреннсннн 4Л + 14Л + 17Л + !7Л— а 1 ' а 1 24+3»$4! О О 8 ! — С2 О С! 1 8 ( С!71 Сг !2 СЗ !3 С»141 ( Л!» »2» Лгр»!4) Сг С2 СЗ / — с ) Сг С2 Сг С4 / е / О О Аг А4 А5 Аб'1 уа = +6, Ла — — )/с * "". 7. у = В1 Вг Вг Вб В5 Вб (1 х е'* е '* е' '* е ' *) » +1 -2 Л +4» +7 — 46 ° 3 5 39 3 А» — — -+-С», В» — — — Л» -"-1-" — С», й = 1, 6. 9. у = — япх + -соби + -х — — — -с*в Л„-рг »+1 ' ' ' 35 5 4 16 4 — 2е ', д = —, яп и + —, со5 х + 2 х — щ — —,е — де .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
