Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 93
Текст из файла (страница 93)
8.3.3 для сигнальных созвездий М-АМ, /И-ФМ и М-КАМ даны в статьях Унгербоека (1982...1987). Кодеры могут быть реализованы с обратной связью или без нее. Например, рис. 8.3.11 иллюстрирует три сверточных кодера без обратной связи, соответствующие решетчатым кодам с 4, 8, 16 состояниями для сигнальных созвездий 8 ФМ и 16 КАМ. Эквивалентная реализация этих решетчатых кодов, основанная на систематических сверточных кодерах с обратной связью даны на рис.8.3.12.
Обычно систематические свйрточные кодеры предпочтительны в практических разработках. Важнейшая проблема для линейных сверточных кодов заключается в там, что ансамбль модулированных сигналов обычно не инвариантен к изменению фазы. Это ставит проблему в практических разработках, где обычно применяется дифференциальное кодирование, так чтобы преодолеть фазовые флуктуации в случаях, когда приемник должен восстановить фазу несущей после временных ослаблений сигналов. Проблема постоянства фазы и дифференциального кодирования/декодирования была решена Вайем (!984 а,Ь), который изобрел линейные и нелинейные решетчатые коды, которые инварианты к вращению фазы соответственно на 180 или 90".
Для примера, рис,8.3.13 иллюстрирует нелинейный сверточный кодер с восемью состояниями для прямоугольного сигнального созвездия 32-КАМ, который инвариантен к вращению фазы на 90'. Эти решетчатые коды были приняты как международный стандарт для линейных модемов телефонной связи со скоростями 9600 и 14000 бит/с (высокоскоростные). а, 1а) Кодер с 4 состояниями с4 ' ь' й> одер с 8 состояниями й( Рис, 8дс11. Минимальный кодер без обратной связи для сигналов 8-ФМ и 1б-КАМ [И>ЕеЮоеР.
(1982), © 1982 >ЕЕЕ1 Схемы решетчато-кодированной модуляции были также разработаны для многомерных сигналов. В практических системах многомерные сигналы передаются как последовательность или одномерных (АМ) или двухмерных (КАМ) сигналов. Решетчатые коды, основанные на 4, 8, и 1б сигнальных созвездий были сконструированы и некоторые из этих кодов были внедрены в имеющиеся в распоря>кении коммерческих модемов.
Потенциальное преимущество решетчато — кодированных многомерных сигналов заключается в том, что мы можем использовать узко избирательные двухмерные сигнальные созвездия, что позволяет осуществлять выбор между выигрышем кодирования и сложностью реализации. Статьи Вая (1987), Унгербоека (1987), Гершо и Лоуренса (1984) и с1>ории и др. (1984) трактуют многомерные сигнальные созвездия для решетчато- кодовой модуляции. 1е) Кодер с 4 состояния ил се 1 )ь1 а, 16) Кодер с 8 состояиияьа и, 1с) Кодер с 16 сосзоаоими Рис. 8.3.12.
Эквивадеити а реализация систеиатичсских сварточимх кодов с обратной связью ддя 8ФМ и 16КАМ [ Ул еелое2 (1982). © 1982 )ЕЕЕ1 Наконец мы хотим напомнить, что новая техника синтеза решетчато-кодированнон модуляции, основанная на решетках и объединении решеток были описаны Кальдербанком и Слоэном (1987) и Форин (1988). Это метод конструирования решетчатых кодов обеспечивает альтернативу методу расчленения ансамблей, описанному выше Однако, эти два метода тесно связаны. Этот новый метод привел к открытшо новых мощных сверточных кодов, включающих большие сигнальные созвездия.
Многие из них приведены в статье Кальдербанка и Слоэна (1987). 8.4. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ Пионерские работы по кодированию и кодированным сигналам для цифровой связи были сделаны Шенноном (1948а, Ь), Хеммингом (1950) и Голеем (1949). За зтнми работами скоро последовали статьи по качеству кодирования Гильберта (1952), по новым кодам Миллера (1954) и Рида (1954) и по технике кодирования для каналов с шумамп Элиаса (1954... 1955) и Слепяна (1956). 451 444 44 Ст а! Дифференциальный кодер Нелннейный сверточный ковер (а) Кодер 4 11111 00011 00010 10100 01010 | 2 ° 11001 00101 01000 01001 10101 ООООО П 11О 10110 11000 Двоичная последовательность, отобркжнемня синильной ТОЧКОЙ: С,С4С,С,С, 10011 2 01111 11100 10010 01100 11010 00100 -2 ~ ° 1000! 01!01 ! 10000 00110 00001 11101 01110 ° -4 ° ОО!11 !1011 1Ь) 32-точечный КАМ сиптнл (крест) Рис.
8.3.13. Нелинейный сверточный кодер с 8 состояниями для сигнального ансамбля 32-КАМ, который проявляет инвариантносгь к повороту фазы на 90' В течение периода 1960...1970 появился целый ряд существенных вкладов в развитие теории кодирования и алгоритмов декодирования. В частности, мы цитировали статьи Рида и Соломона (1960) и коды Рида-Соломона, статьи Хоквингема (1959) и Боуза и РояЧоудхурн (1960 а, Ь) по БЧХ-кодам и диссертация на степень доктора философии Форни (1966 а) по каскадным кодам.
За этими работами последовали статьи Гоппа (1970, 1971) по конструированию нового класса линейных циклических кодов, теперь называемые кодами Гоппа (смотри также Берлекэмп, 1973) и статьи Джастисена (1972) по конструктивной технике асимптотически хороших кодов. В течение этого периода работы по асимптотике декодирования были первоначально сфокусированы на БЧХ коды. Первый алгоритм декодирования для двоичных БЧХ кодов был разработан Питерсоном (1960). Большое число утонченных разработок и обобщений Чайна (1964)„Форин (1965), Мэсси (1965) и Берлекемма (1968) вели к разработке эффективных в вычислительном отношении алгоритмов декодирования БЧХ кодов, которые детально описаны Линам и Костелло (1983).
Параллельно с этими разработками по блоковым кодам шли разработки сверточных кодов, которые были открыты Эллиасом (1955). Важнейшая проблема сверточных кодов— их декодирование. Вазенкрафт и Райфен (1961) описали алгоритм последовательного декодирования для сверточных кодов. Этот алгоритм был позже модифицирован и уточнен Фана (1963) и теперь он называется алгорииягом Фстгю, Впоследствии были изобретены стек-алгоритмы Зигангировым (1966) и Елинекам (1969), а алгоритм Витербы был открьгг Витерби (1967). Оптимальность и умеренная сложность при малых кодовых ограничениях способствовали тому, что алгоритм Витерби стал наиболее популярен для декодирования сверточных кодов с кодовым ограничением К < 1О.
Одним из наиболее важных вкладов в кодирование в течение 70-х годов были работы Унгербоека и Чайка (1976) по кодированию в ограниченных по полосе каналах. В этих статьях было показано, что можно достичь достаточный выигрыш кодирования путем введения избьггочности в сигнале при ограниченном по полосе канале и были предложены решетчатые коды, достигающие выигрыш кодирования порядка 3-4 дБ. Эта работа вызвала большой интерес среди исследователей и привела к большому числу публикаций за последние 10 лет.
Много ссылок можно найти в статьях Унгербоека (1982, 1987) и Форин и других (1984). Дополнительные статьи по кодированной модуляции для ограниченных по полосе каналов можно найти в «прес!а! 1заце оп У01сеЬапс1 Те!ерЬопе 1)а!а Тгапзш(за!00, 1ЕЕЕ )оигпа1 оп Яе!ес(ег( Агеаз 1п Сопппап1са11ап» (БерсетЬег 1984). Всесторонняя трактовка решетчато-кодированной модуляции дана в книге Биглиери и др. (1991).
Дополнительно к ссылкам, данным выше по кодированию, декодированию и синтезу кодированных сигналов, мы хотим вспомнить коллекцию статей, опубликованных в 1ЕЕЕ Ргезз и озаглавленных «Кеу Рарегз 10 !Ье 1)еуе!ор!пеп! ОГ Сойпй ТЬеогу», изданных Берлекэмпом (1974). Эта книга содержит важные статьи, которые были опубликованы в первь(е 25 лет развития теории кодирования. Мы хотим также процитировать прес)а) 1запе оп Еггог — Сопес1108 С011ез, 1ЕЕЕ Тгапзас!1опз оп Сопппппгсабоп (октябрь 1971). ЗАДАЧИ 8.1. Дана порождающая матрица линейного блокового двоичного кода.
с-[ О 0 1 1 1 0 1 0 1 0 О 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 в) выразите С в систематической форме [11Р1. Ь) определите проверочную матрицу Н дяя кода. с) сконструируйте таблицу синдромов дяя кода. Й) определите минимальное рисстояние кода. е) покажите, что кодовое слово, соответствующее информационной последовательности 101. ортогонвяьно к Н . 8.2.
Напишите кодовые слова, генерируемые матрицами, данными в (8.1,35) и (8.1.37) и затем поюжите что этн матрицы генерирует одинаковый ансамбль кодовых слов. 8.3. Распределение весов кодов Хемминга известно. Выраженное в виде пояинома степеней т распределение весов двоичного кодо Хеммингв с длиной блока п имеет вид с А(х)=~А,.х' = — 1(1+х)" +и(1+х)(" ') (1 — х)(""Ф~1, и+1 где А, — число кодовых слов с весом Ь Используете эту формулу дяя определения распределения весов кода Хечмингя (7.4) и сравните вкщ результат со спискол~ кодовых слов, данном в табл. 8.1.2.
8А. Покинем а(Р)= Р'+Р+! является порождающим для двоичного кода Хемминга (15, 11). я) определите порождлиощею матрицу С для этого кода в систематической форме, Ь) определите порождающею матрицу для дуального кода. 8.5. Для циюзического кода Хеммннга (7, 4) с порождающим полиномом 8(р)5Р +Р +1 скоиструируйте расширенный код Хемминга (8, 4) и приведите список кодовых слов. Каково г?„„„для расширенного кода('>). 8.б. Линейный блоковый код (8, 4) сконструирован укорочением кода Хемминга (15, 11), гснерированного порождающим полиномом 8(р)= Р +Р+1. а) Сконструируйте кодовые слова для кода (8. 4) и дайте их список.
Ь) Каково миниллальное расстояние кода (8, 4)'? 8.7. Факторизация полинома р +1 дает и Р +1=(р +Р -л1)(р 'лр лр +Р л1?(Р +Р+1?(р +р л1)р~7 "1.1). а) сконструируйте систематический код (15, 5), использующий порождающий полипом Я(р)=(р жр + Р +Р"';1?(р лр+1)(р "'; О+1). Ь) Каково минимальное расстояние кода'? с) Сколько случайных ошибок в кодовом слове можно исправить? й) Сколько ошибок можно обнаружить кодом'? е) Напишите кодовые слова кода (15, 2), сконструированного порождающим полиномом ,(р)=~" +1).ф+р 1), н определите его минимальное расстояние. 8.8.
Сконсгруируйте проверочные матрицы Н, и Н, соответствующие порождающим матрицам С, л С„. данные, соответственно, (8.1.34) и (8.1.35). 8.9. Сконсгруируйте расширенный код (8,4) кз кода Хеммннга (7.4) путем видоизменения порождающей н проверочной матриц. 8.10.
Систематический код (б, 3) имеет проверочную матрицу с=[ 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 О 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 О 1 1 1 и определите корректируемые образцы ошибок и соответствующие им синдромы. 8.12. Определите корректируемые образцы ошибок (с наилленьшим весом) и их синдромы для циклического кода Хемминга (7, 4). 8.13.
Докажите, что если сумма двух образцов ошибки е, и ез является действительным кодовым словом С,, то каждый образец ошибки имеет одинаковый синдром. 8.14. Пусть др)= Р +Р +Р +Р л! является полиномом относительно двоичного поля. а) найдите циклический код с наименьшей скоростью, для которого поро>клающим полинол1олл лвляется 8~р). Какова скорость этого кода? Ь) найдите минимальное расстояние кода, найденного в (а). с) каков выигрыш кодирования для кода найденного в (а). 8.15. Рассматривается полипом д(р) = р -л 1 относительно двоичного поля. 456 Скоиструируйте стандартное расположение и определите корректируемые образцы ошибок и соответствующие им сицдромы.
8.11. Сконсгруируйте стандартное расположение для кода (7, 3) с порождающей матрицей а) покажите, чта этот полинам может генерировзп, циклический код при любом выборе и, Найдите соответствующее значение Й . Ъ) найдите систематическую форму С и Н для кода, генерируемого посредством 8[р) . с) можете чи сказать, какого типа код создается этим порождающим палиномом? 8Л6. Синтезируйте циклический код (6, 2) выбором возможна короткого порождающего полинома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
