Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Однако, если Х и Х ":.::;.—:декоррелированы, они не обязательно статистически независимы Говорят, что две случайные величины оригогоггальггы, если Е(Х, Х,) = О. Заметим, что ззтг условие имеет место, когда Х и Х, не коррелированы и либо одна, либо обе случайные " величины имеют нулевое среднее Характерггсти'геские функции. Хпрпкгиернсии»ческпл функция случайной величины Х .' „' определяется как статистическое среднее Е(е' ' з = 11»(р») = ) е»"'р(х)сй, (2.1.71) »й "'-'тле.переменная 1 вещественная, у=~/ — 1.
Заметим, что гулаг») можно определить как -" п)геобразование Фурье ' от ФПВ р(х). Тогда обратное преобразование Фурье дает р(х) = — ) гр(р»)е»"'сЬ. (2.1. 72) ае 2гс ™ ,':::",-';,::., Очень полезное свойство характеристической функции — ее связь с моментами ! '~вучагйгной величины. Заметим, что первая производная от (2.1.71) по г» (' ) = 7) хе'"'*р(х)сй. :!::-:;:,;;: Вычисляя производную при ь О, получаем для первого момента (среднего) ем' ' Обычно преобразование Фурье от»1»ункцни е1а) определяется вас О(»)=( е(и)с с/»», которос ~::;:1)гягяыстся от 12 1.71) отрицательным знаком в экспоненте.
Но это тривиальное отличие, и ыы называси ,' )вг)Егрвл в (2.1.71) преобразованием Фурье Зв У(уч) = ~~>„ ч=О (2.1.75) Используя соотношение (2.1.74) в (2.1.75), мы получаем выражение для характеристической функции через моменты в виде 1.7 )=~: ( ")~'~ й=О и! Характеристическая функция дает простой метод для определения ФПВ суммы независимых случайных величин. Чтобы это проиллюстрировать, предположим, что Х, 1=1, 2, ... и, — ряд статистически независимых случайных величин, и пусть л У=~Х,. (2.1.77) ~м Задача сводится к нахождению ФПВ от К Мы определим ФПВ от У, найдя сначала ее характеристическую функцию, а затем вычислив обратное преобразование Фурье, Итак, у (у~)=Е(е'"")= =е[ Р[~' ~х~~=е[П1е' ')1= (2.1.78) =1 ..ф~е~)рь„*„...*.)ь,ь,...ь.
1 Так как случайные величины статистически независимы, р (х„х„... х„) = = р(х,)р(х,)„,р(х„) и и-мерный интеграл в (2.1.78) сводится к произведению н простых интегралов, каждый из которых определяет характеристическую функцию одного Х,. Следовательно, ч.Ы=Д~,Ь). (2.1.79) юм Если помимо статистической независимости все Х имеют одинаковое распределение, тогда все 'Рх(р~) идентичны.
Соответственно чк (Р') = К 0~)~ (2.1.80) Окончательно ФПВ У' определяется обратным преобразованием Фурье, как дано в (2.1.72). Поскольку характеристическая функция суммы в статистически независимых случайных величин равна произведению характеристических функций индивидуальных 'ф- Ф; (2.1.76) 40 ~(Х) ЫЧ'(.7~) (2.1.73) сЬ~ ~ -о Дифференцирование. можно продолжить, и и-я производная от у(р ) при ~0 я' определяет и-й момент: 1:.
я(х.)=( Д' ~~'~ (2.1.74) сЬ'" . о Таким образом, моменты случайных величин можно определять через характеристические функции. С другой стороны, предположим, что характеристическую функцию можно представить рядом Тейлора относительно точки ~ О, т.е. ::::;:: случайных переменных Хь?=1, 2, ... п„отсюда следует, что в области преобразования ФПВ У является н-кратной сверткой ФПВ от Х. Обычно н-кратную свертку выполнить непосредственно более сложно, чем воспользоваться методом 'характеристической функции для нахождения распределения ФПВ для г', как описано выше.
Если мы имеем дело с п-мерными случайными величинами, необходимо определить и- мерные преобразования Фурье от СФПВ. В частности, если Х, г=1, 2... ?г, — случайные величины с ФПВ р(х„хз,... х„), и-лгернггл хпраклгеристическая фуикт?ия определяется как п гр„(?г!„?н„...уг„)= Е ехр ?,'г гг,Х, (2.1.8 1) р Г~,г,)ргг„.»,, л,)г, ь,...
ь, г=! Специальный интерес представляет двухмерная характеристическая функция Чг(рнг„Р ) = ~ ) е'Св» гз~Р(х„хз)г1х,аз. (2.1.82) Заметим, что частные производные от грЦк!„у,) по тч и ггл можно использовать для получения совместных моментов. Например, легко видеть, что д'!р(р, „?г!,) ! э йл сн„'!=;=о ! Моменты более высоких порядков можно получить аналогичным образом. (2.1.83) 2.1.4. Некоторые часто используемые распределения В послеяуюпгих главах мы встретим несколько 1мзличных типов случайных величин, В этом разделе мы ,перечислим эти новые часто встречающиеся случайные иеличины, их ФПВ, ПФР и моменты.
Мы начнем с биномиального распределения, !сото)як является распределением дискретной случайной вели сины, я затем проставим распределение некоторых непрерывных случайных величин. Бииоыиалыгое распределение. Пусть Х вЂ” дискрепьзя сл) гяйная величина. которая принимает двя возможных значения, наприыер Х = 1 илн Х =О.
с лероя гностью р и 1 — р соответственна. Соотяетстиующ гя ФПВ для х показана на рис. 2.1,6 1-?г Р Рис. 2.1.6. Функция распределения вероятностей Х Теперь предположим, что У=- ХХ,, ~:! ..,?,'- ' где Х„г=1;2...п, — статистически независимые и идентична распределенные сщ"ыйные величины с ФПВ, аилзянной на рис, 2.1.6. Какова функция распределения У? Чтобы отисппь на этот вопрос, заметим, что изначально 1' — это ряд целых чисел от О до и. Вероятность тога что У=О. просто равна вероятности того, что все Х,=О. Так как 1'! статистически независимы, то с ?!(У = О) = 0-?г) . Вералгность того, что Уы1, равна вераатносги того, что одно слагаемое Х;-1, а остальнь»е равны нул»о Т»»к га»к это собьггнс маа»ет возникнуть и различными путями, Р(1' = Ц = ир(1 - р) "~ . Далее, вероятность того, что уы1; равна вероятности того, что й значений Л;=1, а и — Ь равна нулин Тш как теперь имеется и 1 и» С„= Ц х»(и-Ь)» (2.1.84 (2.1.85) р(у)= 2.Р(У =к)Б(у-А) = 2, ( 1р (1 — р) ~Ку-1).
» о х с'лкх (2.1.8 ИФР дла Г и-ь Е(у) =' Р(У ~ у) = Х ~ )~ (1 — р)' »ыоЛЛ,» (2.1.87) (2.1.88) а карактернсти оскал функция »»»О ) м (1 - р + рви )" . (2.1.89) и ИФР равномерно распределенной случаннои величины Х показань» Равномерное рас»»редслс»»»»с. ФПВ на рис. 2.1.7. р(х) х и О и а (а) е'"' — е' 90у) = »' (Ь-а) различнык комбинаций, которые приводят к результату (У=к), получаем Р(У =8) =С„'р"(1-р)"-", где С~ — биномнальный коэффициент. Следовательно, ФПВ У моашо выразить как где (»»1 означает наибольшее целое число и», такое, что»и ~ у. ИФР (2.1.87) карактеризует биномиальнос распределение случайнои величины. Первые два момента У равны Е(У) = ир, Е(Уз) (1 )+ 2 х »т = ир(1 р), Рис.
2Л.7. Графики ФПВ и ИФР для равномерно распределенной случайной величины Первые два момента Х равны Е(Х) = з~ (а+Ь), Е(Х ) ='з»'(и +Ь +аЬ), 3 Ь( Ь)з а ларактеристическав функция равна (2.1.90) (2.1.91) Гауссовское распределение. ФПВ гауссовской или нормально распределенной случаиной величины определяется формулой р(х)= — е»" »/2лпо где лкх — математическое ожидание, а о~ — дисперсия случайной величины. ИФР равна 1, »В,„» 1 2 в-.лг»»» Гх-лг„1 ь(х) (» Р(я)»Ь» )» е-»»-'» ) Гвя оа ) е»»Гг-з.+ХегГ гле сгГ(х) — функция ошибок, которая определяется выраженисм ~гГ( )=' — ("е ' »й.
,Я ' ФПВ и ПФР иллкктрируются на рис. 2.1.8. (2.1.92) (2.1.93) (2.1.94) х 0 л»„ Рис. 2.1.8. Графики ФПВ (а) и ИФР (Ь) гауссовской случайной величины ИФР г'1х) можно также выразить через дополнительную функцюо ошибок, г.е. гг(х) = 1 — — 'егГ где Д(х)= — ~)е ' »»Гг, хеО. .6 Сртвиивая (2.1.95) и (2.1. 97), находим 0(х) = хегГс( — ~, ~6г Характеристическая функция гауссовской случайной величины со средним лгх »Ь„) )-.~~ ~,-|*-~А*"]»х,, -»~~ Центральные моменты гауссовской случайной величины равны ~( ь1 (1 3".(А -1)а" (четные й) Е(Х-иг„)"р (нечетные й ! (2.
1,97) (2.1.98) идисперсиейа равна (2.1.99) (2.1.100) 43 егГс(х) = — ) „"е ' »Гг =! — егГ(х). / (2П.98) Заметим, что егГ( — х)= -егГ(х). сгГс(-х) = 2-егГс(х), егГ(0) = егГс(»»») = 0 и егГ(»с) = ег)с(О) = 1. Для х > гя„дополнительная функция ошибок пропорциошьчьна плошади под частью гауссовской ФПВ.
Для больших значений У дополнительная функция ошибок егГ(х) может быть аппроксимирована рядом Гс(х) ( ! ' 4 з ь + 1 е " / 1 ! 3 1 3.5 (2.1.96) .,Я~ 2. причем ошибка аппроксимации меньше, чем последнее удерживаемое слагаемое. Функция, которая обычно используется для плопащи под частью гауссовской ФПВ, обозначается через , 01г) и определяется как (2.1. 101) Сумма п статистически независимй!х гауссовских случайных величин «явке является гауссовской случайной величиыой. Чтобы зто продемонстрировать, предположим У=Х;Х;. (2. 1.
102) ! ! где Х„ю=1,2...п — независимые случайные величины со средними т, и дисперсиями о„. Используя результат (2 1.79), мы находим, что характеристическая функция у равна л И (2.1.103) где тг = ~п1; аг = ~! о, . (2.1.104) Следовательно, У является гауссовской случайной величиной со средним т„и дисперсией огт. Хн-квадрат-распределение. Случайная величина с хи-квадрат-распределением порождается гауссовской случайной величиной, в том смысле, что ее формирование можно рассматривать как преобразование последней.
Для конкретности, пусть У = Л'-, где Х вЂ” гауссовская случайная величина. Тогда «' имеет хи-квадрат-распределение. Мы различаем два вида хи-квадрат распределения. Первое называе!ся центральным хи-квадрап!-распредвлвнием, и получается, когда Х имеет нулевое среднее зн. нагывается нецентральным хи-квадрат-распределением, и получается„когда Х имеет не зт!чение. Сначала рассмотрим центральное хн-квадрат-распределенне. Пусть Х вЂ” гауссовская случа" нулевым средним н дисперсией о~. Поскольку У=-Л=, результат дается функциеи (2.1.47) с пара а=о. Таким образом, получаем ФПВ У в виде р Ы= е'""', у~О.
,(2пуа "«(У) =!оР«("ди = ( — /ло — е ' т' ди, (2.1.106) л(2яо. л/и которое не может быть выражено в замкнутом видо. Характеристичес!ьзя функция, однако, может быть выражена в замкнутой форме: 1 т~/2 ' (2.1.107) Теперь предположим, что случайная величина Уопределяется как У =ХХ~, (2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
