Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 13
Текст из файла (страница 13)
гв - параметр замираний. (Муайай и др.,!978) Зто вазвнов свойство гауссовских случаннмх величин, которое, вообще говоря;::не ' выполняется для других распределений. Оно распространяется на в-ме)изме гауссовские случайные величины непосредственно. Зто означает,, что если р;=0 при /в/, то случайные величины Х, г— = /=1, 2, ... и явлжотся некоррелнрованными.
н, следовательно, статистически независимыми. Теперь рассмотрим линейные преобразования л гауссовых случаиных величин Х, /= /=1, 2,... я, с вектором средних т„ и ковариациониой матрицсй М. Пусть У АХ, (2.1Л57) где А — невырожденная матрица. Как показана раньше, якобнан этого преобразования ./ = 1/'де! А . Подсп!вляя Х А'У в (2.1.150), получим СФПВ для У в виде (2.1. !58) Пример 2.1.5. Рассмотрим двухмерную гауссовскую ФПВ с коварнационной матрицей 'Д.
Определим преобразование А, которое приводит к некоррелнрованным случайным величинам. Сначала решим задачу о собственных значениях М. Характеристическое уравнение, которое их определяет, бе! (М-Х1) О, (1-2.)~-1/4=0, 1=3/2, 1/2, Далее мы определим два собственных вектора. Если а означает собственный вектор, имеем уравнение (М-Ы)а=0. 50 р(у)= д н ехр( — -(А у-щ„) М (А у — ~п„))= т (2я)" ~(с$егМ)н~ де!А 2 т ,, ехр[ — (у-тля) () (у-щ„)1, (2 )" з(бе!<ф ' 2 где вектор т н матриил 9 определяюпж так и\ = Авз (2. 1. 159) АМАТ Таким образом, мы пою!залп, что линейное преобразование ряда совместно гауссовских случайных величин приведет к другому ряду также совместно гауссовских величин.
Предположим, что мы хотим с помощью линейнвьт преобразований перейти к и статистически независимым случайным ве;тнчинлм. Как выбрать в этом случае матрицу А? Из предыдущего обсуждения мы знаем, что гауссовские случайные величины статистически независимы, если они попарно не коррелированы, т.е. если коварнационная матрица () является днагоншьной. Следовательно, мы должны потребовать АМАт=В (2.1. 160) где Р— диагональная матрица. Матрица М - это ковариационная матрица, следовательно, она положительно определенная.
Одно решение (2.1.1б0) сводится к выбору ортогональной матрицы А (Аз=А'), состоящей нз столбцов, которые являются собственными векторами коварнационной матрицы М. Тогда В является диагональной матрицей с диагональными элементами, равными собственным векторам коварнацноннон матрицы М. Прв Л, =3/2 н Л;=1/2 мы получаем собственные векторы Бг' ' -Л7г ' Следовательно. А= 1/2 Легко показать, что А '=А и АМАТ Гг, где днагональные элементы 0 равны Згг н 1/2, 2.1.5. Верхняя граница для вероятностей «хвостов» При определении характеристик систем цифровой связи часто необходимо определить площадь, ограниченную хвостами ФПВ. Мы назовем эту площадь вероятностью хвостов. В этом разделе мы представим две верхние границы для вероятности хвостов Первая, полученная из неравенства Чебышева, до некоторой степени грубая. Вторая, называемая границей Чернова, более плотная. Неравенство Чебышева. Допустим, что Х вЂ” произвольная случайная величина с ограниченным средним значением лг, и ограниченной дисперсией о, .
Для произвольного положительного числа б Р~~Х вЂ” пг„11 < Ь) < —.', (2, 1.161) Это соотношение называется неравенслгволг Чебышева. Доказательство этой границы относительно простое. Имеем ;=~'( —,)'Р()ж ~( — „)'Р(к)у бт [Р() г ебгР(~Х- „~вб). и-м,вь г — е„»Ь Таким образом, справедливость неравенства установлена. Очевидно, что неравенство Чебышева непосредственно дает верхнюю границу площади, ограниченной хвостами ФПВ р(у), где У=Х вЂ” ггг„т.е. для площади под Р(у) в интервале (-оэ,— б) и (б.оо). Следовательно„неравенство Чебышева можно выразить в виде 1-[Р,(б)-Г„(-б)~< ~ (2.
1. 162) б' кли эквивалентным образом: 1-Р'т(лг. +б)-~х(лг„-б))» —,*. а, (2.1.163) $2 На границу Чебышева можно посмотреть с другой точки зрения. Используя' случайную величину с нулевым средним У=Х-лг» для удобства определим функцию д(У) в виде '")=1 ~~ ) г'! (Р'~ > б), О (1У! < б). (2.1.163) Поскольку функция д(У) равна О или 1 с вероятностью соответственно Ррг<о) и Р(Щ>Я, ее среднее значение ЕМ(У))=Р(Р1' б) (2.1. 165) Теперь предположим, что мы используем для уЯ верхнюю квадратичную границу, т.е, ,г; т к(у) <~-~ б (2.1.
166) График для АЩ и верхняя граница показаны на рис. 2.!.11. Из графиков следует, что 1'уэ') Е(гг) а' сгг е[Ду)~ < ь| —,~ = ~б'1 бт бг бг ' Так. какК~ДУ)) является вероятностью хвоста, как зто следует из (2.1.165), мы получили границу Чебышева. Ряс. 2.1. 11. Квадратичная верхняя ~ранила для я(у), используемая для получения вероятности хвостов (гравице Чебышева) Двя многих практических приложений эта чебышевская граница чрезмерно груба. Это -: . можно объяснить неточностью квадратичной функции как верхней границы фУ~. Имеется многодругих функций, которые можно использовать в качестве верхней границы дЯ. В ' частности, граница Чернова часто оказывается более плотной.
Граница Чернова. Чебышевская граница, данная выше, включает площадь, ограниченную обоими хвостами ФПВ. В некоторых приложениях мы интересуемся лишь площадью, ограниченной одним хвостом: либо в интервале (б,со), либо в интервале ( ю;б). В таком случае мы можем получить весьма плотную верхнюю границу путем огибания функции фУу посредством зкспоненты с параметром, который может оптимизировать верхнюю границу так плотно, насколько зто возможно.
Конкретно мы рассмотрим вероятность хвоста в интервале (Ь,со). Введем огибающую для уУ) из соотнош 8(У) <е" ' ', где уЯ теперь определена как ения (2.1. 167) (2.1.168) $ а и > Π— параметр, который следует оптимизировать. Графики для уЯ и зкспоненциальной верхней границы даны Математическое ожидание уЯ равно Е~~(У)~ = Р(У > б) < ф"'"Я1~. Эта граница справедлива для любых т~>0. Наиболее плотную верхнюю границу можно получить которые минимизируют Е(е иг а)1 Необходимое условие минимизации — Е(е "~""" ~ = 0.
еЬ на рис. 2.1.12, т (2. 1.169) путем выбора значений, $,: (2.1. 170) Рис. 2.1. ! 3. График ФПВ Лла случайной пслнчнны, распрсяслснной по Лапласу Чтобы найти ч из решения (2.1.171), мы должны определить моментыЕ(1"е'") и Е(е"") . Для ФПВ (2.1.174) находим Е(1'е" ) = (2.1.
17б) ь '=! -и=.! Подставив эти моменты в (2.1.171), получим квадратное уравнение ЧЬ+2ч-Ь = О, которое имеет решение -НЛ+-Ь' (2.1.177) Ь Так как ч должно быть положительной величиной, один из двух корней исключается Таким образом, ,1 ( (2.1 178) границу в (2.1.172), ограничиваясь Е(е' ), подставляя для !! решение (2.1.178). Результат (2.1.
179) -1+111+Ь' ч= Ь В заключение вычислим верхнюю используя второе решение в (2,1.176) и равен Р(У к Ь) !-4!+а* 2 — 1+ ~д+Ь' 1 р(у л) <.—,. Следовательно, эта граница очень неточная. Если случайная величина имеет ненулевое среднее, граница Чернова может быть обобщена, как мы сейчас покажем, 54 Для Ь»1 из (2.1.179) следует Р(У~Ь) ~-ае-а (2.1. 180) Заметим, что граница Чернова уменьшается зкспоненциально с ростом Ь.
Следовательно, она тесно аппроксимирует действительную вероятность хвоста, определяемую (2.1.175). Напротив, чебышевская верхняя граница для вероятности верхнего хвоста, полученная как половина вероятности двух хвостов (вследствне симметрии ФПВ), равна Если К= Х вЂ” в~„, имеем Р(У > Ь) = Р(Х вЂ” лг, > Ь) —. Р(Х > и, + Ь) = Р(Х > Ь ) где Ь,„=- т„+Ь, Так как Ь > О, то Ь > иг„..
Пусть функция 8(Х) определяется как (х>ь„,), ~О (х<ь.), (2.1 181) а верхняя граница — как 2Л.6. Суммы случайных величин и центральная пред Выше мы рассмотрели вопрос о нахождении ФПВ яе!ависимых случайных величин. В этом разделе мы статистически независимых случайных величин, но наш ',- '-:, зависит от частных ФПВ случайных величин в сумме. В ч слагаемые суммы — статистически независимые и одинаков '.: величины, каждая из которых имеет ограниченные средин :,;;: ':-:-:дисперсию . Пусть К определяется как нормированная сумма, называем Ф у=-',! х,. п,, Сначала определим верхние границы вероятности хвое " аюкную теорему, определяющую ФПВ У в пределе, когда л Случайная величина У, определенная (2.1.187), часто .'.;::среднего случайной величины Х по ряду наблюдений Х„1=1, :.::-"могут рассматриваться как независимые выборочные реализ ,: а К является оценкой среднего лгт.
Математическое ожидание У равно к(у) =, = — ~"„е(х,) = и,; ельная теорема для суммы статистически снова рассмотрим сумму подход будет иным и не астносги, предположим. что о распределенные случайные е значения и ограниченную ая выборочным средним (2.1. ! 87) тов К, а затем докажем очень стремится к бесконечности. встречается при оценивании 2, ..., и. Другими словами, Х, ации из распределения Рт(х), Дисперсия Уравна 8'(Х) <е ' (2.1.
182) Далее исследование идентично шагам. отраженным в (2.1.169) — (2.1.172) Окончательный результат таков' Р(Х > Ь ) < е и Е(ега 1, (2. 1. 183) где Ь > т„и ~ является решением уравнения Мхе"1-ЬАе" 1- О. (2. 1. 184) Аналогичным путем можно найти границы Чебышева для вероятности нижнего хвоста. Для Ь < О имеем ) Р ( Х < Ь ) < Е ( е ~ ! х а ! ) Из нашего предыдущего исследования очевидно, что (2 1. 185) приводит к границе Р(Х~Ь )<е '" К(!е"'1, (2 1 186) гле Ь < ~и„и 11 является решением (2.1.184) (2.1. 188) (2.1. я89) истинного (2. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
