Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1ой) ~=! где Л;, !=1,2, ...,и, — статистически независимые н одит!яово распределенные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией от. Вследствие статистической независиыости Л; характеристическая функция у (2.1. 109) (2.1.110) (2.1. 111) а обычные моменты можно выразить через центральные моменты 1 ЧУг( У) т 11 - 72«а~) Обратное преобразование этой характеристической функции дает ФПВ о 2 тГ(зп) где Г(р) — гамма-функция, определанная как Г(р)=)„"! !е-'дг,р- О, Г(р) = (р - 1)!, р — палое число, р > О, ачение.
Второе н«левое среднее ниах величине! с '!: метрами а=1 н (2. 1. 105) Г(,')--Л, Г(-„')=-„' / . Этв ФПВ является обобщением (2.1,105) и нязвлнл хи-квадрат- (лли гамма-) ФОВ с л шлевепяхш ~лободы. Она иллюстрируется рис. 2.1,9. Случай, когда и=2, определяет зкспоненцивльное распределение. Первые двя моментя У равны Е(у) = ла, Е(У~) = 2по~+ и~о, (2. 1. 112) о =2ло . ИФР У равна (2.1, 113) гУ-о 0.5 0.3 О.! ь У 0 2 4 6 8 1О 12 !4 Рис. 2.1.9 Графики ФПВ для сзу шйной величины с хи*квалрвт-раси!мделением для нескольи!х значений степеней свободы Этот интеграл преобразуется к неполной гвмма-функции, которая была табулирована Пнрсоном (1965) Если л четно, интеграл (2.
11.113) можно выразить в замкнутом виде. В частности, пусть и =. 1-п, где ьч — целое. Тогд;!, используя повторно интегрирование по частям. лол)чвем (2.1.114) ь ей!'х2одl Теперь рассмотрим нецентральное хи-квадрат-распределение, которое является результатом возведения в к!илрат гауссовской слу яйлой величины с ненулевым средним.
Если Х вЂ” гауссовская случвйная величина со средним ех и дисперсией о', случайная величина 1'=х' имеет ФПВ (2.1.115) , Этот результат полу естся при использовании (2.1.47) дзя гвуссовской ФПВ с распределением (2.!.92) Характеристическая функциядляФПВ ( ) ли~~~ е — узмт~) (2.1.116) (1-72 ') Для обобщения результлтов предположим, что У является суммой квелратов гвуссовских случайных !; величин, определенных (2.1.108). Все Х„1=1,2,...,и, предполагаются стятистически незявисимыми со ::";, средними л~„! = 1,2,...,п, и одиняковыми дисперсиями о'. Тогда хв!хяктеристическая функция, получлсмяя вз (2.!.116), при использовании соотношения (2.1.79) равна гУ,Ев1, 1УгЦУ) =, ех (1 у2, 2)" 1 — 12142 (2.1.1 17) Обратное преобразование Фурье от атой характеристической функции дает ФПВ (ит) 4 4о1= — '( — ') ° ""'с„,ф — *, ),,м.
(2.1.1 И) где введено обозначение в = 2.2и„, (2.1. 119) ~ 1 а 1„(х) -модифицированная функция Бессели первого рода паряд2с2 гь, которую можно представить бесконечным рядом (х/2)"' ~ 1„(х)- Х ( ) . О. ь",в lсБР(а+ А + 1) (2.1.120) ФпВ, определяемая (2.1.1 13), назьгваегся нвцвивзральиьги хи-хвадрао2-)2осоредслвииелг с о степсия22и свободы. параметр ва назван лараивогролю ививиогрольносоги расорвдсвения, иФР для нецснтрального хнквадрат-распределения с о степенями свободы Гь-2. 4 (2.1. 121) г о2, 21,2у о22 Этот интеграл не выражается в замкнутой 1)юрие. Однако, если т =з;и — целое число, ИФР можно выразить через обобп2ениую 0-функцию Маркуь2а, которая определяется как *,р„- Ьт Ьтв = Я(а,Ь)+е1' " Рт Х ( — ~ 1,(оЬ), 4=1 1.а «2.1! 22) (2.1.123) оь41. 4" Ь 2 ~-'~! 1ь! ь»а Если заменить переменную интегрирования и в (1.2.121) на х, прнчбм х = и/а2, и положить, что ат=в~дт; тогда можно легко найти (2.1.124) Е(г') =тт +в, К(1~) = 2по4+ 4а~в~ +(оо2 + в~) от = Ъкг~+4а~в~.
(2.1, 125) Релеевское распределение. Релеевское распределение часто используется как молсль для статистики сигналов, переданных через радиоканалы, таких как, например, в сотовой радиосвязи. Это распределение тесно связано с центральным ют-квадрат-распределением. Чтобы зто проиллню2рировать, положим. по ° 2 1'=Х1 + Р, где 1'1 и Л' — статистически нсзавнсимыс гауссовские случайные величины с пулевыми средними и одинаковой диспереисй Оя. Из изложенного выше следует, что 1' имеет хи-квадрат-распределение с двзЫЯ степенями свободы. Следовательно, ФПВ дяя У 12а~ рг(у)= 1 е, ус 0. (2.1.12б) 2от Теперь предположим, что мы определяем новую случайную величину я =,Я'л7=Л. (2.1.
127) 4б В заключение заметим, что первые два момента для центрального хн-квадрат-распределения случайных величин равны Выполнив простые преобразования в (2.1.126), получим для ФПВ Л «ра„г рл(«) = —,с, «= О, а Это ФПВ для рслсевской случайной величины. Соответствующая ИФР равна р).,о~ Рл(«) = (о' — е "А~ Ли =1-е ' )го, «лО.
о г (23. Г28) (2. 1. 129) Моменты от Л равны Е(Ль) =. (2аг) Г(1+4А), (2.1.130) (2.1.13 !) а дисперсия аг =(2--,'и).'т . Характеристическая функция для распределенной по Релею случайной величины 'Рл(/ч) = )3 — е') Г'д« . о а" (2.1.132) (2. 1. 134) (2.1.13о) .г Р„(«)=! — и "~';),— —,, «>О. „.„о А") 2а' (2.1 138) а я:к:.
В заключение приведем ((юрмулу для А-го молгснта Н Е(Я" ) = (2 -) Г(9 ( 1)) А 0 Г(А н) (2.1.!39) 2 'фар)иеллнвую для шобого л Распределение Райса. В то время как распределение Релея связано с центральным хн-квадрат"о)))свределенисм, распределение Райса связано с нецентральиым хи-квадрат-распределением. Чтобы :гароиалккзрировать зту свк)ь, положим У=Х1"+Лг, где Х1 и Хг — статистически независнмью гауссовские .,кяучайные величины со средним ж„) 1, 2 и одинаковой дисперсией ог.
Из предыдущего рассмотрения мы ;-.)з)ваеж 'что У имеет исцентрачьное хи квадрат распределение с параметром отклонения лг=ш; +вь'. ФПВ для )' , качки из (2.1.118), а при л=2 находим Этот интеграл можно вьигазить так: Ул(уа)=! — е созг«г) +Л вЂ” е '' ' знгк«й = оа оа (2. 1. 1 33) ( ! 1 г г') .~~,,"~ь =Д 1,—,— — к а )+У ( — кка с ' 2 2 ) 12 глс ~К(1,1/2,-а) — зто вырожденная гнпергеомстрическая функция„определяемая как !(и+А)1(!))х , р;(а,));х) ю 2' „)) ж0.-1 — 2 о=о Г(а)Г())+А)А)" Боули (1990) показал, что,К,(1,1/2,-а) можно выразить как 1 1 „" л~ , Р;(1,—;-а~ -- -е " 2, (2. 1. 135) ~ '2' ),..(2А.-))А-) Как обобщение полученных выше выражений рассмотрим слу ейную величину ты где Л;„~.=1, 2, ..., л, статистически независимые одинаково распределенные гауссовские слу ейные величины с иулевым средним. Ясно, что )"=Яг имеет хи-квадрат«распределение с и степенями свободы.
Его ФПВ задаегся формулой (2. 1. 100), Простые преобразования переменной в (21.110) приводят к ФПВ для )1 в виде 3/г 1 (2.1.! 37) Как следствие фундаментальной зависимости между центральным хи-квадрат-распределением н рслееаским распределением, соответствуюннш ИФР достаточно проспит Так, для любого л ИФР для Л можно арслсшвить в форме неполной гиммафункцни. В специальном случае, когда л чино, т.е. когда л=2яь иФР ' ' " 'для )) может быть представлено в замкнутой форме Многомерное гауссовское рвсн)мделенне.
Из многих многопараметрических или многомсрныь расоределеиин, которьге могут быть определены, многопараметрическое распределение Гаусс! юшболсс важное и наиболее часто используется на практике. Введем это распределение и рассмотрим его основныс сюйства. Предположим, что Х„! 1, 2, ... и являются гауссовскими случайными величинами со средними шь 1--1, з 2.л, дисперсиями о;, ! 1, 2, ... и и ковариациями рт, 1= 1=1„2,, л. Ясно, что р„=о,~, г=1, 2, ... л, Пусть М— зто матрица ковариаций размерности лил с элементами ()ьг)„Пусть Х определяет лх1 вектор-столбец случайных величин и пустые озиа я!ет лх1 вектор-столбец средних значений т,„) 1, 2, ...
л. Совместная ФПВ гауссовских случайных велнчииХ, 1=1, 2 ... и, определяется так 1 Р(Х„Х„...,Х„) =,, „ехр( — (х-гп„)тМ ~(х-ю„)! (2н)"" (бе! М)" 2 (2.1.150) гле М' — матрица, обратная М, и хт означает траиспонирование х. Харзктеристичсская функция, соответствуюшая этой л-мерной совместной ФПВ ч (Ст) = Е(е'" *), где Ч вЂ” и-мерный вектор с элементами ть 1=1, 2, ... и. Вычисление этого л-мерного преобразования Фурье лает результат Ч~(ут)=ехр0~,т-2~ч М ). (2.1.15!) Замлевший частный случай (2.1.150) — это бипарамегричесюя или двухмернал гауссовская ФГВ. Вектор средних щ, и ковариационная матрюр М для этого служи ш,= (2.1.
152) глс совместный центральный момент рю определяется так; !ьп Е(( ! % )(Х 3 лй)) ° Удобно ввести нормированный коэКишиент ковармьции рт Рт = а,.а„ (2.1.!53) тле р, удовлепюряет условию 0ь!рт!ь1, В двухмернога случае обычно опускают индексы в !ит и !ь., тогда юаариационная матрица выраломтся в виде м= (2.1. !54) Обратная матрица 1 ~ о, -ргг!ггз~ о,а" (1-р~)~-ра,оа гг~~ (2.1. 155) а ФгМ = а,"а„"(! — р') Подпаивая выражение М' в (2.1.150), получаем для двухмерной ФПВ гауссовских случайных величин 2 2 2 1 <тт(х, -лх,) -2ро,пз(х„-лб)(хз -и!т)+а, (х- -и,) р(х.
тз) = схр~ — ', ' ' ' " 1, (2 1 156) 2яа,азз)1-р" 2о,,от~(! — р ) ы'- э Заметим, что если Р=0, СФПВ Р(х~„тт) в (2.1.156) пРевРащастса в пРонзведение Р!х~)Р!хт), где Р!г„), ~=1. : З»собственные ФПВ. Поскольку р являетсл мерой корреляции между Х, и Хв то видим, что сслв !-:. айтсовслие случайные величины не коррслированы, онп также статистически нсявисимы. 1,0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 /! Рис. 2.1.10. Графики ФПВ для явраспределення при (2=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
