Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Точно так же А и А — несовместны, п Объединение (сумма) двух событий — это событие, которое состоит из всех характерных точек двух событий. Например, если В определено, как в (2.1.4), а событие С.— С=11, 2, З~, (2.1.5) тогда объединение собьпий В и С, обозначаемое ВД С, является событием О = ВО С = (1, 2, 3, 6~ (2.1,6) Точно так же А () А = Я, где  — все выборочное пространство, определяющее достоверное событие.
Пересечение двух событий — событие, которое состоит из характерных точек„общих для обоих событий. Таким образом, если Е = ВДС представляет пересечение событий В и С, определяемых (2.1.4) и (2.1.5) соответственно, то Е= (1, З~. Если события нссовместны, их пересечение — собыгие с нулевой вероятностью„ обозначаемое как Я.
Например, АДВ=-- Я и АДА.=Я Определения для объединения и пересечения событий можно непосредственно 'расширить на полее чем два события. Каждому событию А из пространства Я приписывается его вероятность Р(А). При назначении вероятностной меры для событий мы принимаем аксиоматическую точку зрения. Э го означает, что мы полагаем, что вероятность событий А удовлетворяет условию Р(А) > О. Ыы также полагаем. что вероятность всего выборочного пространства Я (достоверпого события) Р(К)=1. Третья аксиома касается вероятности взаимоисключающих (несовмесгных) событий, Предположим, что Аь /=1,2,..., являюгся рядом (возможно, бесконечным) несовместных событий в выборочном пространстве К так по А, Й А, = И, 1 ,-с /' = 1, 2, ...
.'' Тогда вероятность объединения (суммы) этих несовместных событий удовлетворяет условию Р(ОА,~ =.~Р(Л,1 (2.1.7) Например, в случае бросания игралыюй кости каждый возможный исход (событие) имеет вероятность 1/6. Событие, определйнное (2.1.2), состоит из двух несовместных подсобытий или исходов, следовательно, Р(А)=2/6=1/3. Аналогично вероятность события АДВ, где А и  — несовместные события, определенные соответственно (2.1.2) и (2.1.4), равна Р(А)+Р(В)=1/3+1/2=5/6 27 Совместные события н совместные вероятности, Предположим.
что мы имеем дело не с одним, а с двумя экспериментами и рассматриваем их исходы. В качестве примера двух экспериментов можно рассматривать два отдельных бросания одной игральной кости влн одно бросание двух игральных костей. В любом случае выборочное пространство Я состоит из 36 дублетов (/, /), где 1, /' = 1,2,...,6. Если бросание производится чисто, то каждой точке выборочного пространства назначаем вероятность 1/36.
Ыы теперь можем рассматривать, например, объединенные события вида (1 — четное, /'=3) и определять г ' ... " соответствующие вероятности таких событий, зная вероятности всех возможных г '=,;,;. характерных точек. Вообще, если один эксперимент имеет возможные исходы А„, /--1, 2,..., п, а второй эксперимент — Вл / — -1, 2,..., лг, тогда объединенный эксперимент имеет возможные совместные исходы (А~ В), 1=1, 2,,, и, /=1, 2,..., и. Каждому объединенному исходу (А, В) присваивается вероятность Р(А, В,), которая удовлетворяет условиям 0<Р(А„В,)<1. В предположении, что исходы Вл !'=1, 2,, т, являются несовместными, получаем Х Р(А„В,) =- Р(А,.) (2.1.8) !-! Точно так же, если исходы Аь г=1, 2,..., л, являются несовместными, то ;-Р(А,,В,) = Р(В,).
Далее, если все результаты из двух экспериментов несовместны, то ;~- ~-'Р(А„В,)-:1, (2.1.10) ~-! Обобщение вышеупомянутого положения на более чем два эксперимента очевидно (2.1.9) (2.1.1 1) Условные вероятности. Рассмотрим комбинированный эксперимент, в котором исход встречается с вероятностью Р(А, В). Предположим, что событие В произошло, и мы желаем определить вероятность того, что при этом произошло событие А. Эта вероятность называется услоги!о!1 еерояп!!!оси!ью события А при условии, что событие В имеет место, и определясгся как в предположении, что Р(в)>0.
Подобным же образом вероятность события В при условии, что собьп.ие А имело место, определяется как' Р(В~А). — ' Р(А,В) Р(4 (2.1.12) в предположении, что Р(А)>0. Формулы (2 1. 11) и (2. 1. 12) могуг быть переписаны в виде Р(А,В) = Р(А~В)Р(В) =- Р(В~А)Р(А) (2.1.13) Соотношения в (2 1.11)-(2.1.13) применимы также к единственному эксперименту, в котором А и В являются двумя событиями, определенными на выборочном пространстве Я, а Р(А,В) интерпретируется как вероятность АПВ. Т.е. Р(А,В) определяет вероятность одновременного наступления (пересечения) событий А и В.
Например, рассмотрим события В и С', определенные (2,1.4) и (2.1.5) соответственно, для единственного бросания кости. Совместное событие состоит из выборочных точек (1,3). Условная вероятность события С при условии, что В произошло, равна Е Р(С1В)= — =. —. 3/б 3 В единственном эксперименте мы наблюдаем, что„когда два события А и В несовместны, А!')В = Я и, следовательно, Р(А~В)=0.
Так же, если А входит в В„тогда А!"!В=А и, следовательно, Р(А~В)= (~), = Р(В)' С другой стороны, если В входит в А, мы имеем А ('1 В = В и, следовательно, Р(А~В)= — =1 Р(в) Р(В) Чрезвычайно полезные соотношения для условных вероятностей выражаются „!„', георемой Байеса„которая гласит, что если А,, ! 1„2,„.,и, являются несовместными ~ о событиями, так что 28 'Ф:.; 4',;" (2.1.1 5) ДА,=Я, ю ! и  — произвольное событие с отличной от нуля вероятностью, тогда Р(А,В) Р(В~А,)Р(А,) 'г Р(В~А,)Р(А,) г=г Мы используем эту формулу в гл.
5 для нахождения структуры оптимального приемника для системы цифровой связи, в которой события А„г=!, 2,, и, представляют в нашем случае возможные передаваемые сообщения на данном временном интервале, а Р(А,) представляют их априорные вггрогггггггосггггг,  — принятый сигнал, подверженный 'действию шума„который содержит передаваемое сообщение (одно. из А,), а Р(А,~В) является ггггосглеггггорногз верояпгггостью А, при условии, что наблюдается принятый сигнал В Статистическая независимость. Статистическая независимость двух или большего числа событий — другое важное понятие теории вероятности.
Она обычно возникает, когда мы рассматриваем два или больше экспериментов или результатов повторений одного эксперимента Чтобы пояснить это понятие, мы рассматриваем события А и В и их условную вероятность Р(А~В), которая является вероятностью события А при условии, что событие В произошло. Предположим, что появление события А не зависит от появления события В. Это значит, что Р(А~В)= Р(А). Подставив (2.1.15) в (2.1 13), получаем результат Р(А, В) = Р(А)Р(В). (2.1.16) Это означает, что совместная вероятность событий А и В определяется произведением элементарных или собственных вероятностей событий Р(А) и Р(В).
Когда события А и В удовлетворяют соотношению (2.1.16), их называют сглггтислгггческгг ггезггвггсггггылги. Например, рассмотрим два последовательных эксперимента бросания кости. Пусть А представляет выборочные точки с четными номерами (2,4,6) в первом бросании, а В представляет четно нумерованную выборку (2,4,6) во втором бросании. В случае правильной кости мы считаем что вероятность Р(А)'='- 316=1/2 и Р(В)=3/6=1/2.
Теперь г вероятность совместного исхода — четно нумерованный результат при первом бросании и четно нумерованный результат при втором бросании — является вероятностью результата для девяти возможных пар (г,г), г = 2,4,6, г =- 2,4,6, которая равна 9!36 = 1(4. Но мы имеем такгке Р(А, В) = Р(А)Р(В) = 1/4. Таким образом, результаты А и В статистически независимы.
Точно так же мы можем говорить, что исходы двух экспериментов статистически независимы. Понятие статистической независимости может быть расширено на три и большее число событий. Три статистически независимых события А ь Аг и Аг должны удовлетворять следующим условиям Р(Аг Аг) = Р(Аг)Р(Аг) Р(Аг Аз) = Р(4г)1'(4з) Р(А„А,) =Р(А)Р(А,).
Р(А,,А,, А,) = Р(А,)Р(А,)Р(Аг) В общем случае события Аь г=1„2,..., и, являются статистически независимыми при условии, что вероятности совместного наступления 2, 3,... и собьггий в любой комбинации определяются произведением вероятностей индивидуальных событий. 29 ч 5 , Ж-- ,.".;::-'"!;;-.,:;:::;;::1";!:~"~®,":Щы'-'',.ои(звде~~явм'функ У ' ' . яв)йгеттясивабор чисел на вещественной оси. Функцию х(х) называют счучсгэво11 вели вялой Например, если мы бросаем монету, возможными результатами являются орел (Н) и решка (Т), так что пространство Я содержит 2 точки, маркированные 'как Н и Т. Предположим, что мы определяем функцию Х(я) так, что Х(х) = (.=О), -.1 (я = Т).
(2.1.18) Таким образом, мы отображаем два возможных результата бросания монеты в виде двух точек (+1) на вещественной оси. Другой эксперимент — бросание игральной кости с возможными исходами Ь'=(1, 2, 3, 4, 5, 6). Случайная переменная, определенная на этом выборочном пространгггве, может быть Х(х)=х. В этом случае результаты эксперимента отображаются целыми числами,'1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
