Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 10
Текст из файла (страница 10)
совместная ! вероятность результатов определяется произведением вероятностей, соответствующих ':,':.. каждому результату. Следовательно, случайные величины, соответствующие результатам в ..'.:. экспериментах, независимы в том смысле, что их СФПВ (или СИФР) определяется произведением соответствующих ФПВ (или ИФР). Следовательно, многомерные случайные величины статистически независимы, если, и только если «( ° '-,.)= ( к( )" (.), (2.1.37) 2.1,2. Функции от случайных величин Проблему, которая часто возникает в практических приложениях теории вероятности, можно сформулировать так. Дана случайная величина Х, которая характеризуется своей ФПВ р(х), и надо найти ФПВ случайной величины У=у(Х), где д(Х)-некоторая заданная функция от Х Если преобразование д от Х к 1' взаимно однозначное, определить р(у) относительно просто.
Однако, если преобразование не является взаимно 3 однозначным, как в случае, например, когда 1' = Х, мы должны быть более внимательны в определении р(у) Пример 2,1.1. Рассмотрим случайную величину У, определенную как У =аХ+Ь, (2.1.39) где а и Ь вЂ” константы. Мы предположим, что а>0. Если а<0, подход тот же (см, задачу 2.3). Заметим, что это преобразование, иллюстрируемое рис. 2.1.4, (а), является линейным и монотонным. тр 1х) а>0 ь х ) (е) Рис. 2.1.4 Линейное преобразование случайной переменной и пример соответствующих ФПВдля Х и У Пусть!-,(х) и г (у) определяют ИФР для Хи 1 соответственно~. Тогда хО1=)Об,Л=Р( т+ь~у)=.р~х~у ).=1 р,ОИ.=г~у ).
<г~4о~ ц / Дифференцируя (2.1.40) по у, получаем зависимость между соответствующими ФПВ ' =-.'"( —".) (2.1.41) Таким образом, (2.1.40) и (2.1.41) определяют ИФР и ФПВ случайной величины К через ИФР и ФПВ случайной величины Х для линейного преобразования (2.1.39). Чтобы :.: ';: ' проиллюстрировать зто преобразование для определенной ФПВ р(х), рассмотрим пример ;.:::;- Распределения на рис.
2.1.4,(Ь). Полученная ФПВ для преобразования (2.1.39) показана на рис. 2.1.4,(с) Пример 2.1.2. Рассмотрим случайную величину У, определенную как У== Х'+Ь, а>0. (2.1 42) ' Как в примере (2.1.1), преобразование Х в У взаимно однозначное, следовательно, ' Чтобы избехать ошибки при замене переменных, использованы индексы для соответствующих ФПВ и ИФР. 35 Р( ~з+Ь< ) Р Х ~У Р У (2.1.43) Дифференцирование (2, 1,43) по у даЕт соотношение между двумя ФПВ 1 3 11У-Ь)/ 1" (;~] (2.1.44) Пример 2.1.3.
Случайная величина У определена как У =аХ~+Ь, а) О. (2.1.45) В отличие от примеров (2.1,1) и (2.1,2), связь между Х и 1; иллюстрируемая рис. 2.1.5, теперь не взаимно однозначная. Чтобы найти ИФР для 1; заметим, что Е„(у) = Р(У < У) = Р(аХ' + Ь < у) = Р )Х! <, — . а Следовательно, Р(У)=Е, — -Р.— (2.1.46) Рис.
2.1.5. Кнанратичиое преобразование случайной исреисннойХ Дифференцируя (2.1,46) по У, мы получим ФВП 1' через ФВП Х в виде г~~ь:~ЯЯ „,~~ь-~)~ ~ 2аДо-н7 1 2 Дд-нЩ Для примера (2.1.3) мы замечаем, что уравнение й(х) = ах+Ь ~У имеет два вещественных решения: х,= —, х,= —— и что Рг(У) содеРжит два слагаемых, соответствУЮШих этим двУм РешениЯм: л. ' ', (2.1.48) л ьйГ Рг(У) = где я'(х) означает первую производную от фх) по х. г В общем случае предположим, что хь хь ..., х, являются вещественными корнями .':;::: .ч уравнения л (х) = У . Тогда ФПВ для случайной величины 1'= 11(Х) можно выразить так Р~(У) = ~~„ (2.1.49) ьн [з (х;)~ где корни х„г-"1, 2, ..., и являются функциями оту, 36 Теперь рассмотрим функции от многомерных случайных величин.
Предположим, что Хь г=-1, 2, „., и, являются случайными величинами с СФПВ рз(хьхь ..., т,) и что Уь 1=1, 2,, и — другой ряд случайных величин, связанных с Х функциями У =у,(Х,,Х„...,Х„), г'=1,2,...,и. (2.1. 50) Считаем, что я(Хь Х2, ..., Х„), 1'=1, 2, ..„и, являются однозначными обратимыми функциями с непрерывными частными производными. Под «обратимыми» мы понимаем то, что Х, 1=1„2, ..., и, можно выразить как функции от Уь т'=1, 2, ..., и, в форме Х,.
=а,'(У,У,,...,У„), у'=1,2,...,п, (2.1.51) причем обратные функции также считаются однозначными с непрерывными частнымн производными. Задача сводится к определению СФПВ уь 1=1, 2, ..., и, т.е. Р~(у1 ч,,у,), через заданную СФПВ Р1(хь хь ..., х„). Чтобы найти нужное соотношение, положим, что % означает область в и — мерном пространстве случайных переменных Х; 1=1„2, ..., п„и что Л~ является областью взаимно- 'однозначного отображения в Лх, определенной функциями У= я(Х1„Хь, Х„).
Очевидно, что Ц "~Р,(У„Уз ..У„)~уУ1ФУ,"~уУ, ='Я....~Рх(х„х„....,х,)тт,'ух." сЬ„. (2.1.52) Иу И1. Пугем замены переменных в многомерном интеграле в правой части (2.152) по формулам х,. — -- у,.'(у,„у„...,у,) ид,', 1= 1,2,...,п. получаем Ц "~Р. (У,Уз,—,У.) У ~У' 'У. = яр Ц...~Рх(х, = У,-',х.
= У,-',...,х„= д,,') Ц,гУ,.~~,,УУ,„ (2.1.5З) «1. где,7 — якобиан преобразования, равный определителю ду, ' ду,' ду„' ду1 дУ1 Ъ'1 Фп Фн дд, ' ду,' (2 5) Следовательно, искомое соотношение для СФПВ всех Уь 1=1, 2, ..., и, Р,,(у,„у„...„у„) — Р.(х, =у, ',х„. =у,'„...,х, =д',"')~1~. (2.1 55) Пример 2.1,4. Важное функциональное соотношение между двумя рядами и-мерных :.:-. случайных величин, которое часто встречается на практике, — линейное преобразование П у, ="у аяХ,, 1=1,2,...,и, (2.1.56) ум ':,':.:.. где (ая) — постоянные. Можно воспользоваться матричной формой преобразования У=АХ, (2.1.57) :;"' где Х и т' являются и-мерными векторами, а А — матрица размером и х л . Предположим, ::, ' что матрица А — невырожценная.
Тогда матрица А обратима, и Х= А 'х'. (2.1.58) Эквивалентная скалярная запись Х, = ,'г Ь„У,,г = 1,2,... „и, (2.1.59) г.» г где (Ьа) — элементы обратной матрицы А '. Якобиан этого преобразования .1.=. 1/г!е1 А Следовательно, »» П »» рг(Уг»Уг» ''»У»»)= рх хг =,~~ггггУ» хг =х~~ ггг У» ° ° ° » х =~~ г5„1г, (2.1.60) Е(У) = ЕИХ)1 — — 1 а(х)р(х)Ь В частности, если К = (Х вЂ” т„), где тх — математическое ожидание Х, то ЕЯ= Е(Х вЂ” пг„)") — — ) (х — т„)" р(х)сЬ. (2.1.64) г о Это математическое ожидание названо и-м ггеггпгральпьмг момегггггом случайной величины Х так как это момент, взятый относительно среднего. Если и = 2, центральный;! момент называется дисперсией случайной величины и обозначается гз „.
Таким образом, ' =) ( — и )'р()~' (2.1 65) Этот параметр является мерой рассеяния случайной величины Х, Раскрывая выражение (х-тг) в интеграле (2.1,65) и учитывая, что математическое ожидание от константы равно константе, получим выражение, которое определяет дисперсию через первый и '::!::,:, ' с' второй моменты: . О', = Е(Х')-[Е(Х))' = Е(Х')-т,'. (2.1.66) )фгя случая двух случайных величин Хг и Хз с СФПВ р(Хг, Хз) мы определяем совместный момент как Е(Х, Хг") =) ! хг'х„"р(х,, хг)сйгЖг . (2.1.67) т и совмеспгггьй г1енпгралыгыг! момент как 38 лг 2,!.3. Статистическое усреднение случайных величин Усреднение играет важную роль для характеристики результатов эксперимента и случайных величин, определенных на выборочном пространстве эксперимента.
В частности„представляют интерес первый и второй моменты одной случайной величины и совместные моменты, такие как корреляция и ковариация между парой случайных величин в многомерном ряде случайных величин. Также большой интерес представляет характеристическая функция случайной величины и совместные характеристические функции для многомерного ряда случайных величин. Этот раздел посвящается определению этих важных статистических средних Сначала мы рассмотрим случайную величину Х характеризуемую ФПВ р(х). Л'1атемапигческое озгсггдагнге от Х определяется как Е(Х) — = т,. = ~ хр(х)ггх, (2.1.61) где Е() означает математическое ожидание (статистическое усреднение). Это первый момент случайной величины Х В общем, гг-й момент определяется как Е(Х" )= ) х"р(х)с/х. (2.! .62) ( Теперь предположим, что мы определяем случайную величину г' — я(Х), где е(Х)— г некоторая произвольная функция от случайной величины Х.
Математическое ожидание У определяется как (2.1.63) (2.1.68) ( (х, — иг,)" (х, — иг, )" р(х,, х„)»7х» сух„, где иг,=Е(Х), С точки зрения приложений важное значение имеет совместный момент и совместный центральный момент, когда и =гг =1. Эти совместные моменты называгот корреляг)ггей и ковприпнией случайных величин Хг и Х,. При рассмотрении многомерных случайных величин мы можем определять совместные моменты произвольного порядка. Однако наиболее полезные для практических приложений моменты — это корреляция и ковариации между парами случайных величин. Для детализации предположим, что Х, »--1, 2,, и, являются '-: '- случайными величинами с СФПВ р(хг, хз, ..., т„).
Пусть р(х„х,) — СФПВ случайных величин Х и Хг. Тогда корреляция между Х» н Хс определяется совместным моментом Е(Х,.Х,)=~ ) х,х, р(х„х ~йх,с)х,, (2.1.69) : - аковариация между Х, иХ равна )зв = Е((Х, — иг,)(Х, -иг,)1= ~ ~ (х, — ифх, — иг,)р(х„х,)Ь»Ь,-- (2.1.70) х,х, р(х»ыхг)йс,с7х, — ги тг = Е(Х,Х, ) — ги,иг, МатРица РазмеРа и х гг с элементами )г»г называетсЯ коепРисгЦггоггггой лгпигРггггег) '. случайных величин Х, г=1, 2, ..., и.
Мы встретимся с ковариационной матрицей прн ':', -;' .обсугкдении совместных гауссовских случайных величин в разделе 2.1.4 !'.' Две случайные величины называют ггекорре»гировпггггвтгг, если Е(Х,Х,) = -Е(Х,)Е(Х,)=иг,т,. В этом случае их ковариация 1з„=О. Заметим, что если Х и Х статистически независимы, они также не коррелированы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
