Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2, 3, 4, 5, 6). Момсно положить Х(х)-ла, тогда возможные результаты отображаются целыми числами (1, 4, 9, 16, 25, 36). Это примеры пвсвревипях пчучийн ььх всйвчвл. Хотя мы испольэовали в качестве примеров эксперименты, которые имеют конечное множество возможных исходов, имеется много физических систем, эксперименты в которых дают непрерывные выходные результаты. Например, шумовое напряжение, создаваемое электронным усилителем, имеет непрерывную амплитуду. Как следствие, выборочное пространство о амплитуд напряжения 1а Е .а' непрерывно и таким же является отображение Х(о) — 'о.
В таком случае случайную величину Х называют лсччкрывнпй ':!" счучслМой вешчвлои. Для случайной величины Х рассмотрим событие (Х <х), где х— любое вещественное число в интервале ( — па;+вп). Определим вероятность этого события как 1а(Х < х) н обозначим ее как Г(х), т.е. 1г(х)=Р(Х<х) ( ва<х<ю) (2.1. 19) :,'"; р Функция 1г(х) названа ~/зулщвейраслрсйелевлл всроялиюсгии случайной величины Х Ее:;,;:. м также называют двтвегуспыкт (вулдилтттспил1) фуви1вей рпсщн'дс'гения (ИФР). Так как '':' с~ !г(х) это вероятность, то ее значения ограничены интервалом 0 < У'(х) <1. Фактически ', в< Г( — па) = О и тг(вп) = 1. Например, дискретная случайная величина, полученная при бросании монеты и определенная (2.1.18), имеет ИФР, показанную на рис.
2.1.1(а). Здесь,-. имеются два скачка тг(х): один при х =- — 1 и другой при х =-) . Точно так же случайная величина Х(з)=-,с, полученная при бросании игральной кости, имеет ИФР, показанную на,;'":: рис. 2!.1 (Ь) В этом случае Уг(х) имеет шесть скачков, в каждом из х =1,..., 6 ил ды не~ где $' Р( ' Случайную величину й(х) обычно обозначают просто Х.
30 5 3 2 ! О ! 2 3 4 5 6 Рис. 2.1.1 Примеры интегральных функций распределенил двух дискретных случайных величин Рнс. 2.1.2 Пример интегральной функции распределении непрерывной случайной переменной ИФР непрерывной случайной величины обычно изменяется так, как показано на рис.2.!.2. Это гладкая, неубывающая функция.
В некоторых практических задачах мы можем также сталкиваться со случайной величиной смешанного типа. ИФР такой случайной величины является гладкой неубывающей функцией в отдельных частях вещественной! оси и содержащей скачки в ряде дискретных значений х. Пример такой ИФР иллюстрируется рис. 2.1.3 Производная от ИФР г(х), обозначаемая как р(х), называется фуюа~ией плотности 'ироялгнослгн (ФПВ) случайной величины Х. Таким образом, имеем а сгг'(х) ~( )- сй (- со < х < со), (2.1.20) !ц!и, что эквивалентно, Е(х)=~ Р(гг)Ж| ( — со сх (со) (2 1 21) Так как 1 (х) — неубывающая функция, то р(х) > О. Когда случайная величина ° дискретная или смешанного типа, ФПВ содержит Ь-импульсы в точках нарушения непрерывности Ях).
В таких случаях дискретная часть р(х) может быть выражена как р(х)= ~~!" Р(Х = х,)Ь(х-х,), (2.1.22) ~-..! где т„г=1, 2,..., и являются возможными дискретными значениями случайной величины, Р(Х= л;), г — -, 1,2, и, являются вероятностями, а 6(х) обозначает 5-функцию 3! Рис. 2.1.3 Пример иитсгральиой функции рлспрсдслсиия случайной переменной смешливого типа Часто мы сталкиваемся с проблемой определения вероятности того„что случайная величина Х находится в интервале (хгхг), где х, >х, Чтобы определить вероятность этого событиЯ, начнем с событиЯ 1Х<хг) Это событие всегда можно выРазить как объединение двух несовместных событий 1Х < х, ) и 1«, < Х < х„).
Следовательно, вероятность события 1Х<х,'1 можно выразить как сумму вероятностей несовместных событигк Таким образом, мы имеем Р(Х < хг ) = Р(Х < х, )+ Р(х, < Х < х, ), гг(хг)=Г(х,)+Р(х, <Х < ха) илн эквивалентное соотношение Р(х, <Х < «) =Р'(«,) -Р(«,) =Г1г(х)Ух (2 !.23) Другимн словами, вероятность события 1х, < Х <х,) — это площадь под ФПВ в пределах х, < Х < х,.
Многомерные случайные величины, совместные распределения вероятностей и ',~ р совместные плотности вероятностей. Когда имеем дело с комбинированными экспериментами или повторениями одного эксперимента, мы сталкиваемся с многомерными случайными величинами и их ИФР и ФПВ Многомерные случайные величины — в основном многомерные функции — определены на выборочном пространстве при комбинированном эксперименте. Начнем с двух случайных величин Х, и Х„кагкдая из которых может быть непрерывной, дискретной или смешанной.
Совместная интегральная функция распределения (СИФР) для двух случайных величин определяется так: 1 (х, х.)=Р(Х, <л, Х, <х,)=)г )г р(и„ч,)гУи,йг„ (2.1.24) где р(х„х,) — совместная функция плотности вероятности (СФПВ). Последнюю можно -':;,'!': и также выразить в виде п а бх~Аг (2.1.25) Когда СФПВ Р(х„х,) интегрируется по одной из переменных, мы получаем ФПВ по другой переменной, т е. ~.4;.'.М =Р(хг), ~.А.,..)~, =Р(:) (2.1.2б) ФПВ р(х,) и Р(х.), полученные путем интегрирования СФПВ по одной вз: ~ 32 р р переменных, называют собсглвеггггыми (маргинальными) ФПВ. Далее„если р(х„х,) интегрировать по двум переменным, получим ( ~ р(х„хг )гг(т, г~хг = г ((, ) = 1.
(2.1.27) Заметим также, что 1+ со,— со) = Е( — хгхг ) = Р(х„- со) = О . Обобщение вышеуказанных соотношений на многомерные случайные величины 'очевидно. Предположим, что Х, г=1, 2,, гг, являются случайными величинами с СИФР х х х =РХ<х Х<х .. Хьх (!» 2»''» р) ( г г» г г»» р р) (2.1.28) р(ггоггг,,гг„) гРи„гй ...гй„, где р(х„т„,„., х„) — совместная ФПВ. Беря частные производные от Р(х„х„..., х„) „ заданной (2.1.28), получаем д" р(т„х„, х„) = Р(х„х„,..., х„).
(2.1.29) дх,дх, ...дх„ Любое число переменных в р(х„х„...,х„) можно исключить путем интегрирования по этим переменным. Например, интегрируя по хг и хь получаем р(х,, х„х„,х )ггхг ггх, — р(х, х,х ). (2.1.30) Следует также, что Р(х„о:г, хг,х4,..., х„) = т' гх„х„х„, х„), а Е(х„— го, — хг, х„, х„) = О. (2.1.32) р(х,) г~1"рь,)ю,~ггпу, ЗЗ Условные функции распределения вероятности. Рассмотрим две случайные величины Хг и Хг с СФПВ р(х„х,) .
Предположим, что мы желаем определить вероятность того, что случайная величина Хг < х, при условии, что '2 г 2 2» где Ахг- некоторое положительное приращение. Таким образом, мы желаем определить вероятность события (Х, < х,~хг — Ат, < Х, < х„). Используя соотношения, приведенные ранее для условной вероятности события, вероятность события (Х, ь х,~хг — Ах, < Х. <х,) можно определить как вероятность совместного события (Х, <х„хг-Ахг <Х, <х,), :: деленную на вероятность события (Х, — АХг < Х, < Х,) . Таким образом, р(и„и, )гй, гй, Р(хг < х»гхг Дхг < Хг < хг) )„".
Р(.) й- (2 1.3Ц Р(х,, х, ) — Е(х„хг — Ах,) Р(х,)-Г((г — Ат,) Предполагая, что ФПВ р(х„х,) и р(х,) являются непрерывными функциями на интервале (х„— Ах„хг) „мы можем делить числитель и знаменатель (2.1.31) на Ьх2 и взять предел при Ах2 -+ О. Таким образом, мы получим р(х»*,(х, = х)=р(,(,,) +»р» — '-= др(х,)/дх, в» что является условной ИФР случайной величины Х~ при заданной величине Хв Заметим, что 7г(ео1хт) =О и Г(оо~хз) =1.
Путем дифференцирования правой части (2.1.32) по х» мы получаем условную ФПВ р(х,~хт) в форме (2.1. 33) В качестве альтернативы мы можем выразить совместную ФПВ р(х„х,) через условную ФПВ р(х,~хз) или р(Х,1Х,) как р(хп х,)= р(х !Хз)р(х )= р(х„~х,)р(х,). (2.1.34) Обобщение соотношений, данных выше, на многомерные случайные величины не вызывает затруднений. Начиная с совместной ФПВ случайных величин Хь 1=1, 2,..., н, можно написать р(х„х,«...,х„)=р(х,«хз«...«х,~хяы«...,х„)р(хьи«...„х„), (2.1.35) где и — любое целое число в пределах 1 < А < н. Совместная условная ИФР, соответствующая СФПВ р(х„х „...,х ~х„„,...,х„), равна п»~» р(ковз,...,ня х„„,...х,)аЬ, «эиз ...а~п р(х„„,...х„) Условные ИФР удовлетворяют соотношениям, ранее установленным для таких функций, таким как Р(»''Э Х»»»Ха~Ха 1» «Х ) Р(хт«хэ», «ХЬ«~ХЬ $»Х )» Р(-оэ,х„...,х ~х„„...,х„)= О, или в качестве альтернативы р(,', .)= (;)р(з)" (.) (2.138) 5 " Правильнее было бы говорить о зависимых и независимых событиях безотносительно к способу проведения эксперимеига (прп) 4 Статистически независимые случайные величиныс Мы уже определили статистическую независимость двух или больше событий из выборочного пространства Л.
Понятие статистической независимости может быть распространено на случайные величины, определенные на выборочном пространстве и полученные при комбинированном эксперименте или при повторении единственного эксперимента. Если эксперименты приводят к несовместным исходам, вероятность результата в одном эксперименте не зависит от результата в любом другом эксперименте . Т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
