Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Такой сигнал однозначно определяется отсчетами л(/)„взятымн со л скоростью /; > 2И' отсч./с. Минимальная скорость /н =2гг' отеч./с называется скоростлыо Найквисп~а. Представление сигнала через отсчеты, взятые со скоростью ниже скорости Найквиста, ведет к ошибкам. Частотно-ограниченный сигнал, представленный отсчетами, взятыми со скоростью Найквиста, может быть восстановлен по своим отсчетам интерполяционной формулой (2.2.35) где (л(п/2И')) — отсчеты ь(/), взятые в моменты времени /=и/2Ю п=О, +1, +2, Эквивалентным образом х(/) можно реконструировать путем пропускания отсчетов; .' дискретизированного сигнала через идеальный ФНЧ с импульсной характеристикой А(/)=а1п(2хИ)/2яИ.
Рисунок 2.2.4 иллюстрирует процесс восстановления сигнала,:: основанный на идеальной интерполяции. (в-2)Т 1гь г)Т угТ О Рис. 22.4. Восстаноавение сигнала. основанное на идеальной интерполяции Стационарный случайный процесс Х(/) называется частотно-ограниченным, если его спектральная плотность мощности Ф(/)=О для ф>И/. Поскольку Ф(/) является преобразованием Фурье автокорреляционной функции ф(т), то следует представление для ф(т): ~ „1 гь[2~В(г — в)1 ф(т)=,'> ф —" 1.26'/ 2 у аг ) 2И/ ! (2 2.361 ~ гпп 2пЬ'/ —— Х(/) = Х Х~ — "~ 2пУ~/ — — ~ 2Иг / и) ~ '2И~ (2.2.
37) ::,: где (Х(гг/26/) — отсчеты Х(/), взятые при г=гг/2Иг; и=О, +1, Ы, .... Это — представление стационарного случайного процессачерез его отсчйты. Отсчеты являются случайными величинами, которые описываются статистически соответствующей СФПВ. Представление (2.2.37) легко устанавливается доказательством того (задача 2.17), что "'1 2Ф) ~ ~1 (2.2.38) Следовательно, равенство между представлением случайного процесса Х(/) через его 'отсчеты и самого процесса понимается в том смысле, что средний квадрат ошибки равен Йулю.
2.2.5. Случайные сигналы и спсте Описание случайных сигналов с н .';:: распространить на случайные сигнал ':. лолучаются путем равномерной ди ;,::непрерывным временем. Случайный процесс с дискретны - авследовательностей (х(и)). Стати - определены для Х(г)„с тем ограниче время). Следовательно, лг-й момент дл мы с дискретным време епрерывным временем„да ы с дискретным временем скретизации во времени нное выше, можно легко .
Такие сигналы обычно случайного процесса с м временем Х(н) состоит стические свойства Х(г7)=Х. нием, что н теперь целая я Х(гг) определяется как из множества реализаций сходны с теми, которые переменная (дискретное 67 :::,: где (ф(и/2 Иг)) — отсчеты ф(т), взятые при т -гг/2Ит, н=О, г-1, Ы,.... Теперь, если Х(/) — частотно-ограниченный стационарный случайный процесс. то Х(/) можно представить в виде Е~Х„~ = ) х„"'р(х„)Ых„ (2.2.39) и автокорреляционная последовательность ф(пМ) — 2 Е(Х„Х~) = ~ ~ х„х~р(х„, х,) Них~ . (2.2.40) Подобным образом определяется и автоковариационная последовательность Р(и,Ь)= ф(п,Ь)-АХ„)Е(Х,').
(2 2 41) Для стационарного процесса имеем ф(п,Й) ~ф(п-к), р(я,к)= р(п — я) и 1г(п-й) =ф(п-Ь)-~и,.~, (2.2.42) (2.2.44) у(п) = 7,ЬМ ( -Ь). Среднее значение выхода системы (2 2.47) п1 = Е$у(п)1 =,Г Ь(Ь) Е~х(п — ЬЯ М-з (2.2.48) ш, = и„У ЬИ) = т,Н(О). 'й. где Н(О) — передаточная функция системы на нулевой частоте. Автокорреляционная последовательность для выходного процесса ьв где и, = Е(Х„) — среднее значение.
Как и в случае случайного процесса с непрерывным временем стационарный процесс с дискретным временем имеет неограниченную энергию, но ограниченную среднюю мощность, которая определяется как к$А ~') =ко>. (2.2.43) Спектральная плотность мощности для случайного стационарного процесса с дискретным временем получается преобразованием Фурье от ф(п). Поскольку ф(п)— последовательность дискретного времени, преобразование Фурье определено и виде сф)= ~~> ф(п)е" '~", и= ю а обратное преобразование — в виде ф(п)=) Ф~)е"~" ф'.
(2.2.45) Обратим внимание на то, что спектральная плотность мощности Фф является периодической с периодом ф= 1. Другими словами, Ф(~-~к)=Ф(~) для Ь = 1, 2.... Это характерно для преобразования Фурье дискретной во времени последовательности, такой как ф(п). В заключение рассмотрим отклик линейной стационарной системы с дискретным временем на стационарные случайные входные воздействия. Система характеризуется во временной области своей импульсной характеристикой Ь(п) (откликом на единичный отсчет времени), а в частотной области — частотной характеристикой Нф, где Хф) = ~~~Ь(н) е ' ~". (2.2.46) Отклик системы на стационарный случайный входной сигнал Х(2) определяется дискретной сверткой ф (?)=-',ф"()у( +~)1= О 2 Х Хй ИУ7(у)Е~Х (н — е) Х(н+Й вЂ” ?)) = Ф=-Ю ~=- ° =,>„~~~ Ь'(г)Ь(?)ф„(А — ?+1).
(2.2.49) 22.6. Процессы с циклической стационарностью При обработке сигналов, которые несуг цифровую информацию, мы встречаемся со случайными процессами, которые имеют периодически повторяющиеся средние значения. Для конкретности рассмотрим случайный процесс вида Х(г)=~ ад(г— (2.2 51) где (а„» — последовательность (с дискретным временем) случайных величин со средним ю, = Е(а„) для всех п и автокорреляционной последовательностью ф„,(/с) = —,' Е(и„и„„).
Сигнал 11(1) детерминирован. Случайный процесс Х(г) представляет сигнал для аекоторых различных видов линейной модуляции, которые рассматриваются в гл.4. Последовательность (а„) представляет цифровую информацию источника (символы), которая передается по каналу связи, а 1!Т определяет скорость передачи информационных :еймволов. Определим среднее и автокорреляционную функцию Х((). Сначала находим среднее значение Е[Х(~)~= ~~) Е(а„)д(~-нТ)=пг„',> у(г — иТ). (2,2.52) Видим, что среднее меняется во времени, но меняется периодически с периодом ? ::- Автокорреляционная функция ф„( г)=ФФ( )ХЪ)1= =-г ~~> ~~> Е(а„',а„~'(? — нТ)у(г+т — тТ)= (2.2.53) л- эти о .= Х Хф ( — Ь'(г- ?'И+ — Т) Снова видим, что ф„(г+ т+ 1сГ, (+ ?г Т ,.::::дая.?г- Н„ *2, ...
Следовательно, автоко Ы'Мрнодической с периодом Т. '-:':.",: Такой случайный процесс назван .':;:,::!сякв1оаяарным. Поскольку автокорреляцион )=ф,.„(г+т,г), рреляционная функци (2 2.54) я Х(О также является яиклоплавооварним или пероог?очете ная функция процесса зависит от обеих оа ~-- . у=- ю Это общая форма для автокорреляционной последовательности выхода системы, выраженная через автокорреляционную функцию входа системы и импульсную . ';:. характеристику системы. Производя преобразования Фурье над ф (/с) и учитывая (2.2 49), ::.
получаем соответствующее соотношение в частотной области Ф (?)=Ф И»НИ», (2.2.50) ; 'й'."- которое идентично (2.2.27), за исключением того, что в (2.2.50) спектральные плотности л'-: мощности Ф,„(?) и Ф,,(?) и частотная характеристика Н(?) являются периодическими функциями частоты с периодом ~' = 1 переменных 1 и т, его частотное представление требует двухмерного преобразования Фурье.
Поскольку крайне желательно характеризовать такие сигналы их спектральной плотностью мощности, альтернативный подход заключается в вычислении срейггей пп ьузелгеии за один период автокорреляционной функции, определяемой как ф (,) =-'~" ф.(1+т,г),у. (2.2.55) Используя усредненную функцию автокорреляции, мы исключаем зависимость от времени.
Теперь преобразование Фурье от ф (т) дает усредненную спектральную плотность мощности для циклически стационарного случайного процесса. Такой подход позволяет нам упростить характеристику циклически стационарного процесса в частотной области. Таким образом„спектральная плотность мощности определяется как Ф .(Р)=) ф„„(т)е гт"'гй. (2.2.56) 2.3. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ В этой главе мы дали обзор базовых понятий и определений из теории вероятности и теории случайных процессов. Как отмечено в начале главы, зта теория является важным математическим инструментом при статистическом моделировании источников информации, каналов связи и при расчете цифровых систем связи. В частности, важной при оценке характеристик систем связи является граница Чернова.
Эта граница часто используется для оценки вероятности ошибки цифровых систем связи при использовании кодирования при передаче информации. Наш обзор также осветил ряд распределений вероятностей и их свойств, которые часто используются прн расчете систем цифровой связи. Давенпорт н Рут (1958), Давенпорт (1970), Папулис (1984), Пеблес (1987)„Хелстром (199! ) и Леон-Гарсия (1994) дали в своих книгах инженерно-ориентированное рассмотрение теории вероятности и теории случайных процессов. Более глубокое математическое рассмотрение теории вероятности можно найти в книгах Лозва (1955). Наконец, упомянем книгу Миллера (1962), которь1й рассмотрел многомерные гауссовские распределения. 1 ЗАДАЧИ 2.1. Один эксперимент имеет четыре взаимосвязанных результата А„~=1, 2, 3, 4, а второн эксперимент имеет три взаимосвязанных результата Влуы1, 2, 3.
Совместные вероятности Р(А„В ) Р(41 В~) =010 Р(А1 Вз)=008 Р(А~ Вз)=013 Р(АмВ~) = 0,05 Р(Ат,~) = 0,03 Р(АмВз) = 0,09 Р(А,,В,) =ОД5 Р(А,,В,) =0,12 Р(А,„В,) =0,14 Р(.4„,В,) = 0,11 Р(Аа, В,) = 0,04 Р(А.,1$) и О,об. Опрелелите вероятность Р(А,), ! =. 1, 2, 3, 4, н Р(В,), У = 1, 2, 3 . 2.2. Случайные величины Х„1 1,2,...,л, имеют СФПВ Р(хохм...х„) . Докажите, что ' Первые монографии по теории вероятностей и теории случайных пропессов, ориентированные ва решение задач радиотехники, связи и управления, появились в России в 1957 г и принадлежат Б Р.
Левину !401, В.С. Пугачаву 14Ц, В 19бб г. появилась очередная книга Б.Р. Девина по атон тематике 1271, а также пользующаяся большой популярностью книга В.И. Тихонова 142, см. также 431 р (хохз„,х„) = р(к„(х„ьк„т х,)р(х„,(х„,,к„з„. х,) р(кз(к„х,)р(х,(х,)р(х,). 2.3. Дана р(х) — ФПВ случайной величины Х. Случайнал величию У определяетсл как 1' = оХ +Ь. где и<О.
Опрелелите ФПВ У через ФПВ Х. 2А. Предположим, чта Х является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и единичной дисперсией :1;,: Пусть У = аХ'+Ь, а > О. Определите и постройте график ФПВ для К 2.5, а) Пусть Х„и Х,. — статистически иелгвисимые гауссовские случайные величины с пулевыми средними и одинаковыми дисперсиями. Покажите, что преобразование (поворот) вндз 1'„+1У, =(Х, +)Х,)е порождает л(зугую пару (У„У,) гауссовских случайных величин, которые имеют ту /ь же СФПВ, что и цара (Х„!'; ) Ь) Заметим, что в и. а) '~ = А( '~, где А — матрица размерности 2х2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
