Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 15
Текст из файла (страница 15)
«з(Г„«,) = 1!(у, — Г,) .= 1!(т) = ф(т) — т', (2.2.6) Совместные моменты более высокого порядка для двух или более случайных величин, полученных из случайного процесса„определятся очевидным образом. За исключением гауссовского случайного процесса, для которого моменты более высокого порядка можно выразить через моменты первого и второго порядка, моменты высокого порядка встречаются на практике очень редко.
Средние для гауссовских процессов. Предположим, что Х(«) является гауссовским случайным процессом. Следовательно, в момент времени г —.ть «=1,2, ..., и, случайные :.: величины Х„«=1, 2, ..., и, являются совместно гауссовскими со средними значениями 'л«(«,), «=1. 2, ..., н, и с автоковариациями ~ф„~,«=А(~Х,— ф,,— (~,)ф, ч=|,2..., .
<22.7! Если мы обозначим н хи матрицу ковариаций с элементами !!(«„««) через М и вектор средних значений через нз„, тогда СФПВ случайных величин Х,, « = 1, 2, ..., н .' -'определяется формулой (2.1.150). Если гауссовский процесс стационарен, то т(«,)=т для всех «; и ц(г„г,)= !!(«;««), Гауссовский случайный процесс полностью определяется средними ',—:,':значениями и функцией автокорреляции. Так как совместное гауссовское ФПВ зависит ',::,:только от этих двух моментов, то следует„что если гауссовский процесс стационарен в ';:,:, широком смысле, он также стационарен в строгом смысле. Конечно, обратное утверждение верно для любого случайного процесса Среднпе длн совместных случанных процессов. Пусть Х(«) и У(«) — два случайных ароцесса и пусть Х, н Х(«,), « = 1,2,...,««, и У, =- у(«,.), « = 1,2,...,н, представляют Случайные величины в моменты г, >«, >«, »...«„и «,'>Г,' >«,'»...!' соответственно.
Эти два процесса характеризуются статистически их СФПВ р(х,,х,,...,х,,у,,уг,...,у„) дяя ряда моментов «„«2,...,«„, «,',г,',...,«' н для положительных целых значений н и т Фув«о«ля взаимной (кросс-) корреля!«ип Х(«) и У(У), обозначаемая ф 1«,,«,), находится как :-':':авместный момент ф («„«,)=Е~Х,,У„)=) ~,,уьр( ...у,„)п1г, «,ч, (2.2.8) .; афункция взаимных ковариаций 1!„~ (Äà ) = ф («,,«.,) — лг,(«, ) и« («.,) . (2.2.9) Когда процессы совместно и индивидуально сгационарны, имеем ;;: ф («„«,)=ф 1«, — «,) и «з„„(г,,«,)=«з, 1г,-г,).
В этом случае ф„( — т) = Е(Х,У,,)= Е(Х.. 4=ф (т). (2.2.10) ;.",:, " Случайные процессы Х(«) и»(«) называются статжтаческв лезпеаснлаы.ил, если, и ';: трлько если р(х~,хь,...,х,,ут у,„...,у„) = р(х„х,,...,х,)р(»,,ук„...,у,.) 61 существует. Для спектрального анализа периодический сигнал представляют рядом Фурье. Посредством такого представления коэффициенты Фурье определяют распределение мощности на различных дискретных частотных компонентах, Стационарный случайный процесс имеет неограниченную знергию н, следовательно, его преобразование Фурье не существует.
Спектральные характержтнки случайного .сигнала можно получить путем вычисления преобразования Фурье автокорреляционной , . Функции, т.е. распределение мощности по частотам определяется формулой Ф(У)=) Ф(т)еьо ж. (2.2,16) Обратное преобразование Фурье дает Ф() =~ Ф(У)е""~У ф1о) = 1 еи $с = е(/х /') ~ о (2,2.17) Можно видеть, что (2.2. 18) Поскольку Ф(0) определяет среднюю мощность случайного сигнала, которая равна :, площади под кривой Ф(ф то ФЯ определяет распределение мощности как функция ': частоты. Позтому Фф называют спектральной плотностью мощности случайного процесса, Если случайный процесс вещественный, ф(т) — вещественная и четная функция и, -' следовательно, Фф-также вещественная и четная функция. С другой стороны, если процесс комплексный, ф(т) = ф (- т) и, следовательно„ Ф (~') =) ф (т) е'"~ат = (2.2 19) =~ Ф(- )е-""ж=~ Ф(т)е-' -ж=ФЯ.
Значит, Фф — вещественная функция. Спектральную плотность мощности можно определить и для совместно стационарных процессов Х(1) и г(г), которые имеют взаимную функцию корреляции ф,, (т) Преобразование Фурье от ф, „(т), т.е Ф ~)=~ ф, (т)е' ~Ж, (2.2.20) называют взаимной снектрал ьной плотностью мощности. Если мы возьмем сопряженные значения двух частей (2.2.20), получим Ф (У)=) Ф„„()е" ж=) Ф (- )е" 1т=) Ф (т) "" 1 =Ф„И. (2.221) Это соотношение справедливо в любом случае.
Однако если Х(~) н К(Ф) — вещественные '- случайные процессы, то Ф (~)=~ ф (т)е' '~ат=Ф ( — ~). (2.2.22) Объединяя результаты (2.2.21) и (2.2.22), находим, что взаимная спектральная ::,.г. плотность мощности двух вещественных процессов удовлетворяет условию .(~)= .(-~) (2.2.23) 2.2.3. Отклик линейной стационарной системы на случайный входной сигнал Рассмотрим линейную стационарную систему (фильтр), которая характеризуется своей ';- аипульсной характеристикой Ь(г) или, что эквивалентно, своей частотной характеристикой Я(1), где 6(с) и НЯ связаны парой преобразования Фурье. Пусть х(/) означает входной, а (2.2.29) у(Г) — выходной сигналы системы.
Выход системы можно выразить интегралом свертки у(г) =~ Ь(т)х(г — т)сй. (2.2.24) :.1 . Теперь предположим, что х(г) является реализациеи стационарного случайного процесса. 'ф). Тогда выходу(1) является реализацией случайного процесса К((). Мы хотим определить математическое ожидание.и функцию корреляции выхеда. Поскольку свертка — это линейная операция над входным сигналом, математическое ожидание интеграла равно интегралу от математического ожидания подынтегральной функции. Таким образом, математическое ожидание г'(г) = Е(3'(г)И Ь( ) Е1Х( — ))Ь = (2.2.25) =ш,~ Ь(т)сй=т,Н(О), где Н(О) — коэффициент передачи (передаточиая функция) линейной системы при ~~ Следовательно, среднее значение выходного процесса постоянно.
Функция корреляции выхода ф (г~*г~) = т ф г; ) =-) ) Ь(33)Ь (сс)Е~Х(г, — Д)Х'(г, — сх)1гйхсф =:'3. = Ц Ь(33)Ь*( )ф (,-г,+ -(3) Ь р, Последнее выражение показывает, что двойной интеграл является функцией разности отсчетов времени б — г,. Другими словами, если входной процесс стационарный, выходной процесс также стационарен. Следовательно, ф (т) =) 3 Ь (п)ЬЦ3)ф,. (т+сг-~3)с/и43. (2.2.263 Взяв преобразование Фурье от обеих частей (2.2.2б), получим спектральную плотносгь мощности выходного процесса в виде Ф ~У)=~ ф ()е' ж= (2.2.27) — Ь (сс) Уф3) ф . (т+ сс — р) е ""ЛМи гф = Ф, ЯН(ф. Таким образом, мы имеем важный результат, заключающийся в том, что спектральная плотность мощности выходного сигнала равна произведению спектральной плотности мощности входного сигнала и квадрата модуля частотной характеристики системы.
При расчете автокорреляциониой функции ф (т) обычно легче определить спектральную плотность мощности Ф (7') и затем вычислить обратное преобразование Фурье. Таким образом, имеем ф (т) = ~ Ф (г")е" лф = ) Ф (~))Н~фе' лф'. (2.2.28) Видим, что средняя мощность выходного сигнала ф (О)=~ Ф„,(У)~Н~У)! ЫУ. т «Ф ~о)=к~$У)), ~ Ф„(У)~НЯ аУ>О.
Допустим, что ~НЯ =1 для некоторого малого интервала~~< 7</1 и Н(~)= О вне этого интервала. Тогда Ф (~)тр" >О. Но это возможно тогда и только тогда, когда Ф„(У') ~ О для всехУ: Пример 2.2.!. Предположим, что фильтр нижних частот (ФНЧ), показанный на :, - рис. 2.2 1„находится под воздействием случайного процесса Х(т) со спектральной 1:, плотностью мощности Ф (!)"-т М, длявсех~г Случайный процесс с одинаковой спектральной плотностью на всех частотах :::-.. называется белым итумом. Определим спектральную плотность мощности выходного ::,—: нроцесса. Передаточная функция ФНЧ н(у) = Я 1 Л+ 12фУ.
1+ у2фУ.1т! ' и, следовательно, ~нЯ' = 1+(2лХ,/Л) у т (2.2.30) Рис. 2.2.1. Пример ииэитчистотиоге фильтра Спектральная плотность мощности процесса на выходе ) (2.2,31) 1+(2хУ.,"Я)'У' Эту спектральную плотность иллюстрирует рис. 2.2.2. Обратное преобразование Фурье определяет функцию автокорреляцни ф (т) =) —,, е"'асср = — "е ' !'. (2.2,32) - 2 1+(Ы'.а)'ут Автокорреляционная функция ф, (т) показана на рис.2.2.3. Заметим, что второй ,."'-' йриенг процесса )1т) равен ф (0) = ЯЛЦФА. В качестве заключительного упражнения определим взаимную корреляционную :; функцию между 2(т) и Х(!), где Х(т) - сигнал иа входе, а !'(1) — сигнал на выходе линейной :::сйстемы.
Имеем ф (1„(т)= тЕ(УьХ,,)=-,) Цсх)ф(т'., — а)Х (т',)~йк= =) й(сс)ф (г, -гт — сх)а%х=ф (т, — тт). Следовательно, случайные процессы А!т) и т(т) совместно стациаиарны. Обозначив :;:1!т;4=т. имеем ф (т)~ л(а)ф (т-и)йх. (2.2.33) 65 Рнс. 2.2.2. Спектральная плотность мощности на выходе ФНЧ, мпла ня вход поступает белый щум Рнс, 2.2.3. Функция автояоррслянин сигналя на вьюне ФНЧ, вида на вход поступает белый шум Заметим, что интеграл (2.2.33) — зто интеграл свертки. Следовательно, в частотной области из (2.2.33) следует соотношение Ф (/')/= ФЯЯНЯ.
(2.2.34) Видно, что если на входе системы действует белый шум, то функция взаимной корреляции входа и выхода системы с точностью до масштабирующего коэффициента равна импульсному отклику Ь(/). 2.2.4. Теорема отсчетов для частотно-ограниченных случайных процессов Напомним, что детерминированный сигнал х(/) с преобразованием Фурье Л(/) называется частотно-ограниченным, если Ь(/)=0 для ф>И/ где Ж вЂ” наивысшая частота, содержащаяся в л(/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
