Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В других случаях, например при расчетах нз ЭВМ сложных устройств микроэлектроники, содержащих сотни и тысячи элементов и не имеющих оргннов регулировки, вопрос а точности зппроксимзцни характеристик элементов прнобретзет первостепенное знзчение Величина допустимой неточности зппроксимзции может оценнвзться различными критериями приближения. Нзибольюее рзспрострзненне имеют; 1) среднгнвидригичгское приближение,прн котором требуют, чтобы среднее зизчение квадрата отклонения аппроксимирующей зввнсимости г=Ф(и) от действительной г=Ф(и) не превышало некоторой допустимой величины б из 1 йу (Ф (и) — Ф (иЦ з ди( б и1 в интервале аУ=иг — и, знзченнй и, в пределах которого произвопится зппроксимвция; г) ривнолерпов приближение, при котором требуют, чтобы при любом зизчении и иитервзлз бУ величина отклонения Ф(и) от Ф(и) не превышала б, т.
е. )Ф(и) — Ф(и) (~б. 40 Полиномиальная аппроксимация. Полиномиальная аппроксима. цня заключается в представлении вольт-амперной характеристики 1=Ф(и) полиномом а-й степени: л (= ~~1 аьи"=ао+а,и+ати'+ ... а ил. (2.3) а=О Такой способ аппроксимации является наиболее удобным для объяснения принципа действия многих нелинейных устройств (модуляторов, детекторов, генераторов и пр.), находяшмхся под воздействием одного или нескольких гармонических колебаний. Определим коэффициенты полннома (2.3) с помощью метода выбракиьса точек.
Метод состоит в определении коэффициентов аь из условия равенства значений ординат аппроксимированной и действительной характеристик в выбранных точках кривой. Для аппроксимации полиномом и-й степени в пределах интервала аппроксимации ЛК задаваемого диапазоном изменения и, выбираем а+! напряженна и=ил (от и1 до и„+1) и определяем соответствующие токи 1=(ь (от й до 2 +1). Простейший способ выбора значений иь — деление интервала Л)' на и равных частей Л, как показано на рнс.
2.3. При а=4 Л= (ис — и1)/4. Рис. 2.4 Ряс. 2.3 Для определения коэффициентов аь потребуем, чтобы при напряжениях и=ил правые части полинома (2.3) давали 1=и,; (1=а,+а,и, +ахи',+ ., +а„и"ь 1 1т ас+а|и2+ати 2+ ". +или 2 (2.4) 1л+1 = ас+а,и„+1+а,и' +, + ... +а„и" +ь В этих уравнениях значения (ь и ил известны. Решая систему алгебраических уравнений (2.4), находим коэффициенты аь. Если и=О лежит внутри интервала аппроксимации ЛК, коэффициент 41 аз определяется как ток при и=О.
Очевидно, чем выше степень полинома и, тем ближе точки, в которых аппроксимированная характеристика совпадает с действительной, и тем точнее аппроксимация. Для упрощения расчетов нередко характеристику аппраксимируют относительно рабочей точки А, вводя координаты у=( †(з и х=и — (/е. В этом случае в аппроксимирующем полиноме у=бу,(х) =Ь1х+Ь,х'+Ьзх'+...
(2.5) отсутствует свободный член (Ьс=О), ибо у=О при х=-О. При этом уменьшается число коэффициентов полинома и-й степени, подлежащих определению, и упрощаются последующие расчеты компонент тока, поскольку при воздействии (2.1) в (2,5) нужно подставлять только переменную составляющую воздействия: х= =(/созшй За пределами использованного при аппроксимации интервала ЛР аппроксимированная характеристика (пунктир на рнс. 2.3) может резко отклоняться от действительной (сплошной), и пользоваться ею без специальной проверки не следует. Определение и+1 коэффициентов ав сводится к наложению нэ полинам (2.3) и+1 граничных условий.
В ряде случаев некоторые из этих условий целесообразно заменить иными. Например, можно потребовать, чтобы в определенных точках равными у аппроксимированной и действительной характеристик были бы не только ординаты, пои производные первого„а иногда и более высокого поридка. Так, характеристику туннельного диода (рис.
2А) нередко аппраксимируют относительно середины падающего участка Мл/ неполным полиномом третьей степени у=а1х+азхз, определяя коэффициенты а| и аз из условий совпадения в экстремальных точках М и Ж, где х=~б(//2 и у=та//2: а) ординат характеристик и б) касательных к ним. Второе условие означает — ~ =О. ау) ззл ~з= зщз Из него (2.6) а, = — Заз (Л(//2) '. Из первого условия для точки /т' имеем — — =аз +аз~ ) . л) ьу /ля хз (2.7) 2 2 (, 2 ) Совместное решение (2.5) и (2.7) дает а, = — ЗМ/2М/, аз= 2М/(М/) з. Четные и нечетные части характеристик.
Нелинейную вольт-змперную хзряктеристику 1=Э(и), зппроксимируемую полиномом (2.3), можно представить в виде суммы четной и нечетной частей 1=Ф(и) =Фч(и)+Ф (и), (2.8) где Ф,(и) =ао+азиз+ази'+ ..., Фьч(и) =ази+аза'+ази'+ ... (2.9) Четная и иечетнзи части хзрзктеристики удовлетворяют соотношениям: Ф~( — и) =Ф,(и), Ф~,( — и) = Фе~(и), (2.10) Заменяя в (2.8) и на — и и учитывая (2.10), получим Ф( — и) Фв(и) — Фвв(и). $2Л Ц Сложение и вычитание правых и левых частей (2.8) н (2,11) приводит к тики: следующим выражениям для определения четных н нечетных частей характе рис- Ф(и)+Ф( — и) Ф(и) — Ф( — и) Ф,(и) =, Фвв(и) = 2 ;(2.12) Четные н нечетные части характеристик строятсн обычно относительно смещений, соответствующих рабочим точкам. Нз рис.
2.5а,б показаны такие построения для двух рабочих точек; А~ и Аз. Для каждого случая по ха актеристике г=ф(и) построены: Ф( — и) как зеркальное изображение Ф(и) отно- Р сительно оси ординат, проведенной через рабочую точку, — Ф( — и) как зеркальное изображение Ф( — и) относительно оси абсцисс, Ф (и1 и Ф (и) как полусуммы характеристик, соответствующих выражениям (2.12). гг/ / -фЩ~ иэ, Рггс.
2.5 11елесообразность раздельного построения четной н нечетной частей харак'теристик вызвана рядом причин. Во-первых, работа многих схем определяется либо только четной (модуляция, детектирование), либо только нечетной (генерирование колебаний при постоянном смещении) частью характеристики, Аппроксимация же отдельно четной н отдельно нечетной частей вольт-амперной характеристики значительно проще аппроксимации полного полннома той же степени. Во-вторых, наличие таких характеристик во многих случаях облегчает понимание процессов в анализируемом устройстве.
По виду этих характеристик можно судить о минимальной степени полинома, правильно отображающем их основные особенности. Так, если напряжение и изменяется относительно рабочей точки на рис. 2.5а в пределах отмеченного интервала ЬГ„ коэффициенты четной части характеристики должны иметь значения: ао)0, равное току в точке Аь аз(0, поскольку он определяет умеиьше. ияе Фч(и) прн небольших напряжениях )и(, и а4)0 для ограничения умеиьшепнн фв(и) пРи дальнейшем возРастании )и), НечетнаЯ часть хаРактеРистнкн до~жив выражаться полнномом третьей степени с а1)0 н аз<0; последнее — для 43 ограничения возрастания Ф,(и) при увеличении )и).
Для рнс. 2.56 четная часть характеристики может аппрокснмироватьсн по-прежнему полиномом четвертой степени, но с коэффициентами ае>0, аэ>0 и а,(0, а нечетная — полиномом пятой степени с а~>0, аз>0 и аз<0. Иэ выражений (2.10) следует практичесний способ создании устройств, характеристики которых имеют вид либо четной, либо нечетной части характеристики Ф(и). Для этого нужно взять двв идентичных нелинейных элемента (НЭ, и НЭэ), работающих в одинаконых режимах; переменные напряжения на их входы должны подаватьсн в противофазе, что, в большинстве случаев, достигается благодаря использованию входного трансформатора с выведенной средней точкой вторичной обмотки, как показано на рис.
2.5в и г. В обеих схемах токи Й=Ф(и), гэ=-Ф( — и). Для формирования четной части характеристики требуетсн выходное напряжение снимать с того места схемы, где протекает сумма токов й+гз (рис. 2.5в), так как тогда выходное напряжение иэм* ='Я1Ф(в)+Ф( — и))=2)гФ,(и) пропорционально Ф,(и). В схеме фюрмнроввнии нечетной части характеристики нагрузка должна быть включена так, чтобы выходное напрнжение изменялось пропорционально разности токов й — й (рнс.
2.5г). В этом случае и,из=)г[Ф(и) — Ф( — иЦ =УФ ч(и) пропорционально Фвч (и). Аппроксимация трансцендентными функциями. В качестве аппроксимирующих трансцендентных функций применяются экспоненты и суммы экспонент, гиперболические, тригонометрические, обратные тригонометрические н другие функции. Характеристику полупроводникового диода (рис. 2.ба) часто аппроксимируют экспонентой г=А (еаи — 1) (2.13) с постоянными А и а. Характеристика (2.13) проходит через начало координат, так как при и=6 ток г'=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
