Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Сред- г) няя мощность такого колебания за период Т Рис. кт 01 1 0о 7 ° К 2 к о Такой же она будет и в другие периоды„а поэтому и за период низкой частоты. Следовательно, средняя мощность при ЧМ н ФМ остается такой же, как и в отсутствие модуляции; происходит лишь ее перераспределениегмежду составляющими спектра. 1.4. СПЕКТРЫ КОЛЕБАНИЙ ПРИ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ Исходным для определения спектров колебаний при гармонической угловой модуляции является выражение (1.27).
Примем для упрощения выражений ~ра=0 и перепишем (1.27) в виде и=Босов(Мз(пИ)созсос/ — (/оз(п(Мз!пйГ)1зпоо/ (128) Выражение (1.28) представляет сумму двух квадратурных колебаний частоты ом из которых каждое модулировйно по амплитуде частотой ь1. Угловую модуляцию принято подразделять на узкополосную (М(05 рад) и широкополосную (М)0,5рад). Наибольшее распространение в технике связи имеет широкополосная ЧМ с М»1. Начнем с определения спектра узкополосной угловой модуляции. Полагая М«1, имеем з1п(М з(п Ы) =л( з)п(11, соз(М з(п ()Г) =1, (1.29) а потому М М и=- (4 сов ыс(+ — (4 сов(ма+а) 1 — (/асов (аа — 0) й (1.30).
2 2 25. Таким образом, спектр узкополосных сигналов у~лозой модуляции аналогичен спектру простейшего АМ колебания, показанному на рис. 1.2. Он содержит компоненты несущей частоты озо и двух боковых частот тоо+ь) и озо — й. Параметром, определяющим амплитуды боковых частот, здесь является жндекс модуляции А(. Ширина спектра узкополосной угловой модуляции такая же, каки при АМ: она равна удвоенной частоте модуляции.
Несмотря на идентичность спектров, рассматриваемое колебание отличается от АМ колебания, что является следствием раз.личия в знаках (т. е. в сдвиге фаз на 180') компонент нижней боковой частоты в выражениях (1.30) и (1.16)'. Это означает возможность преобразования АМ колебания в узкополосное ФМ колебание поворотом фазы одной из боковых частот на 180'.
Для иллюстрации сказанного на рис. 1.8а построена векторная диаграмма АМ колебания. Изменяя фазу нижней боковой частоты на 180; получаем векторную диаграмму .рис. 1.8б, на которой конец вектора результирующего колебания Урез перемещается с низкой частотой ьз по горизонтальной линии, что соответствует изменению фазы Лгр(1).
При этом несколько изменяется и амплитуда У. Однако при Лгр „«1 изменение амплитуды пренебрежимо мало. Согласно рис. 1.8б 18Лгр=2(У,/(1о)з(пЫ=18Мз(пь)г. Заменяя при малых М и Лгр тангенсы их аргументами, получаем изменение фа.зы Лгр(1) =М зш Ы, соответствующее ФМ колебанию. ~й Цб пз Рис. 1.9 Рис.
1.8 При широкополосной угловой модуляции М>)1 и выражения '(1.20) и (1.30) несправедливы. Приходится спектр колебаний определять непосредственно из (1.28), Выражения соз(Мз)пЫ) и зш(Мз(пйг) являются периодическими функциями частоты Р, а потому они могут быть разложены в ряды Фурье.
Первая из этих функций является четной, вторая — нечетной. В теории бесселевых ' Спектры колебаний содержат саеденяя только об амплитудах спектральных компонент, тогда как характер сигнала зависит и от фазовых соотиотпеиий мезкду ними. Следовательно, спектр колебания не определяет однозначно его характер. 26 функций 1231 доказывается, что ряды Фурье для этих функций имеют вид соз(М з(п Ш) =ХИ(М) +2Хз(М)соз 2ЙУ+2Ха(М)соз 4Р4+ ...
з(а (М з1п ПХ) = 2Х~ (М) з1п Ы+ 2Хз (М) з(п 3()Х+ ..., где Х (М) — функция Бесселя первого рода и-го порядка от аргумента М. На рис. 1.9 приведены графики функций Бесселя Х (М].. Подставляя (1.31) в (1.23), полу ьнм и=УУо(Хо(М)созьо1+Х,(М)ооз(юа+й)1 — Х,(М) соз(ар — 11)Х+ + Ха (М) соз (во+ 2Р) Х+ Ха(М)поз (ыо — 2Й) 1+ +Хз(М)соз(во+За)1 — Хз(М)соз(соо — Зй)4+--). (1 32р Таким образом, спектр ЧМ и ФМ колебаний„модулированных гармоническим сигналом, оказывается дискретным, симметричным: относительно оз и содержащим бесконечное число боковых частот вида ез.+-п(1 с амплитудами Ап=ХУоХп(М). Для М=4 он р' построен на рис.
1.10. Соот- Ы— ношения между функциями д~Ъ . Бесселя различных порядков, а следовательно, и ме- йгк у й а жду амплитудами различ- ИГ „ ных боковых компонент определяются индексом моду- ли йче г-ж й 4'и ур+м 4'д ляции М. При некоторых ги,, ~ значениях М отдельные ком- Нчм фм поненты могут исчезнуть (если Х„(М) =0). Это же относится к амплитуде несущей частоты Ас=УУаХо(М), которая обращается в нуль при М=2,4; 5,0... Наличие бесконечно большого числа боковых компонент спектра означает, что теоретически спектр ФМ и ЧМ колебания является бесконечно широким. Однако функция Бесселя Х (М), начиная с некоторых п(М, быстро убывают с ростом и, что видно нв . рис.
1.9 и 1.10. Это позволяет ограничить полезный (практический) спектр таких сигналов определенным количеством боковых частот. Прн ограничении спектра необходимо учитывать влияние двух противоречивых факторов: в более узкой полосе частот ослабляется влияние помех, но одновременно увеличиваются искажения сигнала из-за отсутствия опускаемых составляющих. На практике выбирают компромиссное решение. Если ограничиться в спектре боковыми составляющими, амплитуды которых не превосходят д 7, от максимальной амплитуды спектральной компоненты УУ „(см.
рис. 1 10), то для каждого М можно рассчитать соответствующую ширину спектра. Она окажется несколько большей, чем 2МЕ= АУ: Из рис. 1.1О следует, что при д=20Ъ для М=4 ширина спектра ЛУчм, ьм —— 2(М+3)Р= =2(ЬУд+ЗР). Пря болыпих индексах модуляции (порядка десят- 2T э,(м) Г= глгц ау4 м=г аг ,41„= ВлГц г= акга м-г ,4т4=1гнц а) ал(л) 4РМ~ Щ Е=ЫЦ м:г ю,г Н,=4агц й4 г=г гц м=а зг,=млгц 1)г гс уа Б) Рис. 1.11 При ЧМ с уменьшением Р индекс модуляции увеличивается, что пРиводит к увеличению числа спектральных компонент (рис.
1.11а, г). В итоге ширина спектра ЧМ колебания от частоты почти не зависит, а прн ФМ изменяется пропорционально Г. ' На рис. 1.11 амплитуды спектральных, компонент нормированы относительно амплитуды Уь 28 ков и сотен) практическая ширина спектра, подсчитанная подобным образом, близка к удвоенной девиации частоты Фчм, эм 2бгд — — 2МЕ.
(1.33)' Заканчивая рассмотрение вопроса о ширине спектра сигналов гармонической угловой модуляции, подчеркнем ее отличие от интервала частот 2Лгд, в пределах которого происходит изменение мгновенной частоты сигнала: 1) теоРетическаЯ шиРина спектРа Ь1 чм,фм=оо; 2) пРактическое ее значение пРи Мск 1 оказываетсЯ Л1 чмлпм=- =2Р»2Лгд, а пРи М»1 Лгчм,фм несколько пРевышает 2Л1д и лишь приближенно считается равной ей (1.33). Рассмотрим влияние параметров модулирующего сигнала х(г)=ХсозЫ на спектры ФМ и ЧМ колебаний, используя для определения ширины спектра приближенное выражение (1.33). Прн изменении амплитуды Х модулирующего сигнала спектры ФМ и ЧМ колебаний изменяются одинаково. При возрастании Х происходит пропорциональное увеличение индекса модуляции, спектры расширяются за счет увеличения числа спектральных компонент.
Изменение частоты Е модулирующего колебания по-разному влияет на изменение спектров ФМ и ЧМ колебаний. При ФМ измснение Г не влияет на величину индекса модуляции, а следовательно, и на число спектральных составляющих (рис. 1.11п, б) ', 255 з т ЖЬ г зл р ~р-55 фж 'рг 5 фг Фж йг5Е Рис. 1.12 Разложим огибающие этих колебаний в ряды Фурье: Так как соэфм =сов( — юр„), созбгр(Е)=сопз1. Если 5р =и/2, то соэА5р(1)=0, и первое из АМп колебаний в (1.34) обращается в нуль. Огибающая второй компоненты 4((а (5з з(п Ь~р(1) = — ып (ьр(э(п Ж+ — з)п ЗЖ+ ...), где О=ум(Т вЂ” частота мал 3 нипуляции. Иэ (1.34) получаем для Ь~р=п12 2 1 и Я = — — (5о(соз(аа+4)) 1 — поз(юо — й) а+ — сов(о5о+3()) (в и 3 1 — — соз(юз — 6()) З(- ...).
. (1.33) 3 Амплитудный спектр сигнала (1.33) построен на рис. 1.12а: ан содержит только боновые частоты вида )з~'=ля (с нечетныыи и). 1.5. БИЕНИЯ. ДВУХПОЛОСНЫЕ И ОДНОПОЛОСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ НЕСУЩЕЙ Биения. Они образуются в результате сложения двух гармонических колебаний близких частот. Рассмотрим сумму двух высокочастотных колебаний м5=,(/, соню,( и ия=15тсоз юз1, частоты которых мало отличаются друг от друга: озз — о55=11, 11 ь.юь (1.36) колебание, получающееся при угловой модуляции негармоиическим сигналом л(1) = ~~~~ ~Хасозйа1. можно записать в виде разности двух АМ.колебаний: а=ч ,=и.:1..1+Лф(1)1 =и, аф(1) ° .
юг — и. Мп д р(1) з(п ем(. (1.34) Для определения спектра каждого нз этих АМ колебаний нужно знать спектры их огибающих, т. е созл~р(1) и з!пЬФ(1). Спектры,йр(1) при ФМ н ЧМ содержат те же частотные составляющие, что и первичный сигнал х(1). Поскольку созЬгр(1) и з!плгр(1) являются нелинейными функциями аргумента Аф(1), спектры этих функций будут заметно отличаться от спектра Ар(1): ови будут содержать составляющие кратных и комбинационных частот, возникающих при нелинейных преобразованиях (см.
$3.2). Соответственно эти компоненты будут перенесены в спектры боковых частот обоих АМ колебаний (1.34). В технике связи широхо используется фазовая ь~анипуляция (ФМл) переносчика с изменением фазы на 180'. Графики изменения фазы Ьф(() и ФМп напряжения показаны соответственно на рис. 1.12а,б. Аналитическое выражение последнего соответствует (134), т.
е. сумме двух квадратурных колебаний частаты гэм каждое из этих колебаний обладает амплитудной манипуляцией (АМп) . Предположим, что амплитуда 0«~Юг. На рис. 1 13а построена векторная диаграмма суммарного колебания и=и, +иг= 0«соз ы«4+(7г сов «зг1 (1.37) на плоскости, вращающейся с частотой «г«по часовой стрелке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
