Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. спектр тока 7. Классический метод решения этой задачи заключается ~в подстановке выражений (3.4) — (3.6) в правую часть (3.3) с последующим определением спектральных компонент путем использования аппарата рядов Фурье в случае гармонического воздействия (3.4) нлн кратных рядов Фурье в случае бигармонического (3.5) и полнгармонического (3.6) воздействий. Однако такой метод определения спектра отклика оказывается весьма трудоемким. Поэтому на практике получили распространение специальные методы спектрального анализа, каждый из которых связан, как правило, с определенными способами аппроксимации нелинейной зависимости (3.3 н характером воздействующего сигнала, адача любого метода спектрального анализа заключается в таком преобразовании правой части (З.З), при котором отклик (ток) прсдглавляется в виде суммы гармонических слагаемых: амплитуды и частоты этих компонент определяют спектр отклика.
Наибольшее распространение имеют методы, основанные на использовании: 1) григонометрических формул кратного аргумента, 2) формул трех и пяти ординат, 3) функций Бесселя от мнимого аргумента, а также 4) угла отсечки. Этот метод является основным при использовании полиномиальной аппроксимации и особенно удобен для выявления принципа действия и основных особенностей таких устройств, как модуляторы, детекторы, преобразователи частоты, делители частоты и т.
и. Сначала рассмотрим воздействие на нелинейный резистивный элемент, характеристика которого аппроксимирована полиномом п-й степени (=аз+а,и+а,и'+ „. +а„и (3.7)' гармонического колебания (3.4). Подставляя (3.4) в (3.7), получаем ~=а,+а,Уооз(аэ(+~р)+аэУ'соз'(ооГ+~) + ... +а У" соз (еоГ+4~). (3.8)' Для представления правой части (3.8) в виде суммы синусоидальных компонент воспользуемся известными тригонометриче- 59 МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ КРАТНОГО АРГУМЕНТА скими формулами', позволяющими заменить степени косинусов (или синусов) через тригонометрические функции кратных аргу- ментов (отсгода название метода) соз тр = — + — соФр, 1 1 3 1 2 2 соза ф = — + — соз 2 ф + — сои 4 тр, 6 2 соззф= — созтр+ — соз Зф, созззр= — созф+ — сов зтр+ 3 Б 4 .
4 6 1б + — соз5тр, 1 16 (3 о) полагая 'Ф = гоо1+4р. (3 16) Осуществление такой подстановки и последующее суммирование коэффициентов при косинусах одинаковых аргументов позволяет записать (3.8) как т'= 1о+1г соз (отаг+ гр) + 1а соз 2 (ыо1+ ар) + +1з сов з(гоо1+~р)+ ... +1' сов л(ыо(;(-ар), (3.11) где 3 1 1 1 = + — й+ — й+...;1 = — й+ — и+....; и+ — из+ — й+ ... '„1 = — й+ — й+ ... з Ь ь 1 6 6 4 16 1 1а "'а 2"'а "а'а а) лбуа У ( 1 У а)-2ыт а' ылат унт й', щт уи,'-а) 2ы, 2ы,+ых лат 41 атти 462ы Рис. 3.6 ' В приложении 1 приведены для справки н другие тригонометрические ,,' формулы, используемые прн спектральном анализе.
60 (3.12) ~ На рис. 3.6а построен спектр выходного сигнала (3.11) и'от- ~ мечены амплитуды спектральных компонент'. Из сравнения выражений (3.11) и (3.12) с (3.4) следует: 1, Спектр отклика нелинейного элемента при воздействии на него гармонического сигнала оказывается лииейчатым, содержащим ряд составляющих с частотами, кратнымн частоте входного сигнала. Наивысший номер сост а в ля ющ ей сп ектра равен степени используемого пол и нома Поэтому, если для какого-то применения нелинейного элемента необходимо знать амплитуду лпй гармоники отклика, вольт-амперная характеристика элемента должна быть аппрокснмирована поли- номом порядка' не ниже л«-го.' 2.
Постоя ни ая составляющая отклика и амплитуды четных гармоник определяются только четными степенями напряжения в полиноме (37), а нечетных гармоник — только нечетными'. 3. Текущая фаза «ви й-й гармоники отклика с частотой «ее=я«ос н д раз больше значения текущей фазы (3.1[)) воздействующего сигнала: (3.13) фв = ые[+<р.= й(М+ ф) . Начальные фазы связаны соотношением При воздействии бигармонического напряжения (3.5) на нелинейным элемент, аппрокснмируемый полиномом (3.7), «=~~~ аи(ЕУ соз(«е«[+«р«)+ЕУ«соз(«аз[+«рт)12.
(3.!5) «а Раскрываем скоби«в правой части (3.15), используя в случае высоких степеней л бином Ньютона, после чего с помощью три-. гонометрических формул представляем правую часть (3.15) а виде суммы гармонических составляюших различных частот. Для п=З й=ае+ а 0«соз(о««г+«р)+ а, У соз(о«з[+«р )+ а,02, созе(о««г+«р)+ [О! [еД [е*! [с. 2 е,! -1-а (Рз созе(о«2[+«р )+2 а20«02соз(«о [+«р ) соз(«е [+«рз) [)(- [е.т,! Ме ез! + ав (72 созе(«о, [+ «Р«)+ 3 а, Уз, У созе (оз, [+ «Р«) сои(«от 1+ я«,)+ [,.2 Д! рзз ° то1*~Ъ! + 3 а Ц 022 сои(«от!+ ч««) созе («Яв 1+ «Рв)+ ав (Рв созе («Яв [+ «Рз). [ю„о,езе,! [ез.
зед (3 15) Под каждым слагаемым записаны частоты, получаюшиеся при замене степеней и произведений косинусов суммой гармонических ' Это сярвведливо, когда воздействие (ЗА) ие содержит иостояииой состввля«ов«ей. 6[ составляюпьих на основании соотношеняй (3.9) н известного тригонометрического выражения соз Р соз р= — (соя(и+6) +сов(Π— ()) 1. (3.171 1 2 Из выражения (3.15) и частного случая (3.16) следует, что прп воздействии йигармонического сигнала ток содержит трн группы гармонических составляющих: гармоники с частотами й,вг и начальными фазами йпрь где )и =-1, 2,..., и; гармоники с частотами йявх и начальными фазами йзгрг, где йх=-1, 2,..., л; комбинационные составляющие с частотами йгш~~йхвх н начальнымн фазами й1гр~-+.йхгрх, где )йг)+)йх~=2, 3,..., а й1 и Ах— отличпыс от нуля целые числа любого знака.
)сожбинационные чистоты возникают в нелинейных цепях только в случае одновременного воздействия на иих двух или большего числа гармонических колебаний. Комбинационные частоты принято характеризовать их порядком й, определяемым суммой коэффициентов: й=й1+йх. Простейшими являются комбинационные частоты второго порядка (в~.+-вх). В случае я=3 в отклике содержатся комбинационные частоты второго и третьего порядков'. На рис. 3.6б построен спектр отклика (3.!6) на воздействие бигармоннческого сигнала (3.5), причем комбинационные частоты выделены пунктирными линиями, Если отношение частот в~/вя не может быть представлено в виде отношения небольших целых чисел (случай асинхронных еоздействий), то все гармоники и колебания комбинационных частот образуют различные частотные компоненты. В частности, первая гармоника тока частоты в~ может быть записана как (кч = =71соз(вгу+гр~), т.
е. она совпадает по фазе с воздействующим напряжением этой частоты. 1!оложеиие меняется, если отиошевие частот может быть выражено отиошеиием небольшим целых чисел т/и (случай синхронных аоздегГсгвпй) вг/вз= т/и, (3.18) где т=1, 2, 3,...; п=1, 2, 3,...; и-Вп. В атом случае ток может содержать несколько компонент одяой и той же частоты с различными фазами. В качестве примера рассмотрим воздействие бигармоиичаского колебания с юга=1/2 а=(гг соз мгам+(1зсоз $2вд-)чрз) (3.19) иа нелинейный злемевт, описываемый яолииомом второй степеии 1=аз+а,а+ази'. (3.20) Подставляя (3.19) в (3.20), легко установить, что теперь первая гармоника тока и», частоты в, состоит яз двух компонент: 1 =аЛг сов вг1~-азУгУзсоз(вг(+~з), (3.2Я ' Порядок комбииациоииой частоты еще ие определяет ае вила.
Так, следующие шесть различных частот являются комбинационными четвертого порядкаг в,~Звз, 2в,явь Зв1~вь 62 из которых вторая явпяется следствием возникновения комбинационной частоты второго порядка. Если, например„тз= — 90', выражение (3.21) можно запасать гг соз(ыгг ф), (3.22) Юз где /,=(/,)/азг+азя(/зь 1яф=аз(//а,. (3.23) Из выражений (3.22) и (3.23) следует, что в расс"зтривземом случае: имеет место сдвиг фаз ф между первой гармоникой тока частоты ап и аоз. действующим напряженнеы той же частоты; зто означает, что резистквный нелинейный элемент (3.20) по отношению к воздействию частоты ю, обладает комплексной средней крутизной 5сз=5'ьз+1 5чьз илн 5,р-— -Ыпг=.5,з е г чз (3.24) величина сдвига фаз фз н амплитуды /ь а значит, и величины активной н реактивной компонент средней крутизны зависят от амплитуды и фазы второго колебания (аторой гармоники ы,).
Обогащение спектра отклика по сравнению со спектром воздействия происходит и в нелинейных реактивных цепях. Так, если на нелинейную дифференциальную емкость, аппроксимируемую относительно рабочей точки полиномом С=Се(1+а;и+агаз), действует бигармоническое напряжение (З.б), в спектре тока ди 1= С вЂ” = — Сз(1+аг((/г сон (юг 1+фг) +//, соя(ы,6+ аз) ) +аз((/~ соя(ы,1+ ф~) + гЫ +(/,соз(ызс+~р ))з) (юг(/ге(п(ыг1+фг)+юз(/зз1п(ыз1+<рз)) ~(325) окажутся частоты„кратные ы, и ы„и комбинационные частоты до третьего порядка включительно. МЕТОД УГЛА ОТСЕЧКИ Метод угла отсечки применяется при кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперных характеристик.
Он широко используется при расчетах транзисторных и ламповых усилителей, генераторов, умножителей частоты. Рассмотрим воздействие напряжения и=Е+(/сов ю1 (3.26) на нелинейный элемент, вольт-амперная характернспика которого аппроксимироваиа двумя прямыми (рис. 3.7) или выражениями (2.16), Применяя для построения тока 1 метод проекций, удобно сначала (пунктирная линия) определить ток, который получился, если бы характеристика прибора была линейной с крутизной Я при любых значениях и. Части полученной синусоиды, находящиеся над осью абсцисс (сплошные линии), определяют характер действительных импульсов тока 1. Нелинейный элемент работает с отсечкой, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
