Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 14
Текст из файла (страница 14)
часть входного напряжения, не заштрихованная на рнс. 3.7, не участвует в создании тока. Получающиеся импульсы тока синусоидальной формы характеризуются двумя величинами." высотой 1 „и шириной. Половина части периода, в течение котоРой протекает ток (или та часть периода, в течение которой ток изменяется от максимального значения до нулевого), называется Углом отсечки.
Угол отсечки обозначаем 6. ЯЗ Рпс. 3.7 Периодическая последовательность импульсов тока рис. 3.7 яв- ляется четной функцией. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид 1=1о+А ооз Ы+1асоз 2Ы+1есоз Зсв1+... (3 30) Постоянная составляющая и амплитуды гармоник в (330) е 1е~ — 15(1(сов се1 — соз 0)с(св1=5(17а(6), (3.31) 2л .1 †'е е 1с = — ~ 51/(соз м1 — сое О) сов слЫсв1 = 507~ (0), -"е в 1„= — )" 5(1(соз Ы вЂ” соз О) соз псе1Ж = 5(1т„(0), — в (3.32) уе (6) = — (яп 0 — О сов О), у~ (В) = — ( — з1п О соз О 1 1 и в1п л 0 сее 0 — л сне л 0 е1п 0 ул ( и л (ле — 1) (3.33) и= 2, 3,4... В интервале — 0(со1~0 ток 1 отличен от нуля и может быть рассчитан как 1=АМ вЂ” М)0=1созсе1 — 1со50=1(созЫ вЂ”.сов О).
(3.27) Поскольку 1=5К с=5(1(поз сег — соз О). (3.28) При ьз1=0„1=1,л, а потому из (3.28) 1,~„.,=5(1(1 — соз О). (3.29) Каждая компонента тока (3.30) согласно (3.31), (3.32) пропорциональна 5(/ и зависит от угла отсечки О. Коэффициенты ум у„ум... называются соответственно коэффициентами постоянной составляющей, первой, второй и прочих гармоник. Коэффициенты гармоник являются нормированными относительно И/ амплитудами спектральных составляющих тока, определяющими влияние угла отсечии на амплитуды компонент: у,(6)- — ",у,(6)= — ",у,(0)= — ',...
Ы Ч17 (3.34) Зависимости этих коэффициентов от 6 построены на рис. 3.6. Пунктирной линией нанесена зависимость отношения у~/то=/~//о 3а А~Ьо 10 -Г(2 Ряс. 3.8 от 6. Прн использования этих графиков амплитуды компонент тока определяются как / =З(/у (О). (3.35) Максимальные значения у„(0) для и 1 достигаю~ ся при О...= 160'/ . Если нелинейный элемент ~используется в условиях, когда максимальное значение тока 1 „поддерживается постоянным при изменении угла отсечки 6, что требует одновременного изменения амплитуды (/ входного напряжения, более удобным при расчетах оказывается использование коэффициентов гармоник, нормированных относительно / (3.36) ап — /и// Из (3.29) и (3.35) а =у (О?/(1 — созе)- (3.37) Зависимости а (6) для л=0, 1, 2, 3,... также часто приводятся в литературе 1! — 3, 51.
Наибольшие значения а„достигаются при 0'опт=120 /л. 3 — 92 еь Метод угла отсечки применим и для расчета воздействия бигармонических колебаний. Пусть на нелинейную цепь с кусочно-линейной характеристикой действует напряжение (рис. 36) и(1) =.Е+0гсовф-«0 сов пф (3.33) где ф=ый Получающаяся последовательность импульсов тока также является четной функпией; ряд Фурье для иее имеет вид: 1= 1«+1г сов ф+1« ооз 2ф+1« сов Зф+ ... (369) В соответствии с (2.16), (3.31) и (3.32) (для й~~!] в е е 1 Г Я( 1« — — — ) Я(п — 0з)бф= — (Š— 0з) ~бф+0в~совфбф— л,~ л ~ о с е —..~-....]. з е е 2 Г 2Я 1 ! д = — ~ Я (и — 0з) сов й ф б ф= — (Š— 0в) ~сов й ф б ф+ о о в в +; ) -« -.
« ~ « - ..) - '-" М~. а з (3.40) Е 0+0 Π— 0 О а. з Обозначая Г ь(8)=) ссеифсов«фЬ~. имеем О з!п(и — л)О в(п(и+6)8 +, для и~3, 2(и — й) ' 2(т+А) Г «(8)= О зш2ий — + для и=йчь0. 2 4т (3.41) для и=« = О. Теперь можем записать Я 1«= — ((Е- 0«) Г«Ф+0гГ* —.0-Г- Ъ '2Я 1в = ((Š— 0«)Г«г+БьГы 0~Г«1) 2Я 1„= — ((Е 0«)Гвы+ичà — 0 Г ). (3.42) Если п=2 или 3 и 0 <0, нз (340), получаегся единственное решение для О в интервале 0<6<аг, и последующйй расчет по выражениям (3.42) позволяет определить спектральные компоненты тока. При п~З и достаточно больших 0 /Ц из решения (3.40) получается несколько значений О<6<и, и тогда выражения для 1, н ] оказываются отличными от (3.42).
66 Здесь О=оА — угол отсечки. Величина О определяется нз условия и=,0« плк с учетом (З.ЗЗ) .из уравнения -х -в в в хай Рис. 3.9 МЕТОД, ОСНОВАННЫИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ фОРМРЛ ТРЕХ И ПЯТИ ОРДИНАТ Это приближенный графоаналитичесиий метод гармонического анализа колебаний, используемый в инженерной практике для оценки нелинейных искажений в усилителях, модуляторах и иных устройствах/:В отличие от других методов спектрального анализа, данный не требует предваритель- нои аппроксимации характеристики нелинейного элемента. Пусть на вход нелинейной цепи действует гармоническое напряжение (3.26). Метод основанный на использовании ф о р м у л пяти ординат, позволяет просто н быстро определить среднее значение тока и амплитуды его первых четырех гармоник, т.
е. получить ток в виде Рис. 3.10 (=/в+11 соз ет/+/асов 2та/+/а соз Зта/+14 соз 4етй (3.43) Йля определения пяти постоянных 1е — 1ч накладываем на выражение (3.43) пять условий, сводящихся к требованию, чтобы при те/, равных О, и/3, и/2, 2п/3 и и', значения тока, получающиеся из (3.43), совпали бы с действительными величинами тока й обо- ' Для таких м1 расстояния между ссседннми точками ВАХ по осн напряжений сказыва~ется одинаковыми.
3" 67 значенными яа рис. 3.10: 1, /ь /о, 1а, а" а„. В соответствии с рис. 3.10 получаем следующую систему уравнений: в/=0, 1 .=1а+1~+1а+1а+141 1 1 1 в/ллп/3 1 =1о+ 1 1а 1 — — 14 2 2 2 в/ = и/2, 10= 10 — /а+ 141 1 1 1 в 1 = 2 и/3 1 = /о — 1 — — 1 + 1а — — 14 1 2, ' 2 ' ' 2 в/=п, алял=/о 11+12 13+14. (3.44) МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ ОТ'МНИМОГО АРГУМЕНТА Метод используется преимущественно для анализа работы детекторов и преобразователей частоты при аппроксимации вольтамперной характеристики экспонентой или суммой экспонент. Решая эту систему уравнений относительно неизвестных 1о — 14, получаем 1 /о= (1 х+1тсл+2 (/а+/а)) /а = ( — ( ал+/а (а) 6 3 1 1 1а = (1лхх+ 1тгл 2 ао) /а = (1тах 1тал 2(1а 1а))з ) ! 12 (3.45) Для проверки правильности нахождения величин 1о — 14 рекомендуется после ~нх определения подсчитать сумму всех значений 1в которая в пределах точности расчетов должна совпасть с величиной 1 лх согласно первому из уравнений (3.44).
Метод, основанный на использовании формул трех орд и н а т, основан на требовании совпадения рассчитанных ординат тока с действятельнымн в трех выбранных точках (1, (ь | а, соответствующих в1=0, я/2 и и) и потому позволяет определить только первые три компоненты тока (3.43): постоянную составляющую и амплитуды двух первых гармоник. Расчетные формулы имеют вид 1 14= — (1 „х+1т,.л+21о), /а= — (1вшх — 1тал) (3.40) 1 1а хл — (1 „х+ 1тал — 2 (о) 4 Точность определения этих величин при использовании формул трех ординат ниже, чем прн использовании формул пяти ординат.
Рассмотрим воздействие гармонического колебания (3.26) на полупроводниковый диод, характеристика которого (см. рис. 2.6а) аппроксимирована экспонентой (2.13). Подставляя в (2.13) нап- ряжение (3.26), получаем г — А(еонеапесвег 1) ~(3.47) Из (3.47) следует, что ток является четной периодической функцией времени частоты ог, а потому может быть представлен в виде ряда Фурье (3.30).
Для определения коэффициентов раз- ложения удобно воспользоваться следующими выражениями из теории функций Бесселя 1231: в е а сов о — Б (а) 4 2 эв Б, (о)соз ьгр (3.48) а=! ее вне=Бе(а) +2Б1(а)з(игр+ 2Бг(а)сов 2гр+ + 2Бз(а) ып Згр+2Б4(а)соз 4<р+ ... (3.49) Формулы (3.48) и (3.49) представляют разложения в ряд Фурье экспоненциальных функций е" с"' я и ев "в ч. Коэффициенты этих рядов определяются величинами Б„(а) — модифицированны- ми функциями Бесселя, называемыми также функциями Бесселя от ьгнимого аргумента, зависимости которых от х=а приведены на рис.
311'. Отметим, что Бз(0)=1, а Бг(0)=Бг(0)=...=0. В нашем случае а=ас1, ~р=Ы. Используя выражение (ЗА8), можем переписать (3.47) в виде г=А(еонБо(а(1) — Ц + 2А еонБг(аУ)Соз гог+, +2Ае"нБг(а(1)соз2го1+2Ае ~Бз(ас1)созЗгог+... (350) Сравнение выражения (3.50) и (3.30) позволяет выписать ком- поненты спектра тока: 1о=А(е вБп(а(1) — 11, 1~ =2А еоиБ~ (а(1), 1г=2А е"нБг(аУ), Амплитуды гармоник тока оказываются пропорциональными соответствующим функциям Бесселя от одного и того же аргумента. Проведя на графике рис. 3.11 вертикальную линию для определенного значения х=-а=а(1, замечаем, что с увеличением номера гармоники ее ' амплитуда уменьшается, что вообще характерно для подавляющего большинства НЭ, ' В литературе функции Бесселя от мнимого аргумента обозначмот 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
