Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В явном методе Эйлера значение решения на (и+1)-м шаге явно выражается через решение на предыдущем шаге: х[л+ й] х[п]+ЬЛ[х[из], и]. (7.10) В простейшей форме неявного метода Эйлера имеем х[п+Ц=-х[л]+М1[х[л+Ц, и+Ц, (7.11) Здесь определяемый вектор х[п+Ц входит в уравнение не только слева, как в (7.10), но и под знаком функции й Если эта функция нелинейна, то (7.11) есть нелинейное алгебраическое или трансцендентное уравнение относительно х[п+Ц и решать его приходится на каждом шаге интегрирования. Казалось бы, последнее обстоятельство указывает на нецелесообразность применения неявного метода Эйлера (как и других неявных методов) при расчете нелинейных цепей из-за роста вычислительных затрат.
Однако во многих задачах радиоэлектроники оказывается, что именно неявные методы интегрирования обеспечивают сокращение затрат на вычисления. Чтобы уяснить это, вспомним, что подразумевается под устойчивостью вычислительного процесса — в нашем случае под устойчивостью процесса интегрирования. Известно, что всякий процесс 'вычислений подвержен действию своеобразных «помех» — ошибок, вызванных разными причинами.
Для нас важнейшими из этих причин являются две: округление чисел в ЭВМ и то обстоятельство, что формулы интегрирования являются приближенными, причем точность приближения зависит от шага Ж. Чем меньше шаг Ж, тем при прочих равных условиях меньше ошибка, называемая ошибкой усечения. Наоборот, ошибка, вызванная ок' Руглением, падает с ростом шага Лг. Качественно зависимость ошибок округления (1) и усечения (2) и суммарной ошибки (8) от шага изображены на рис. 7.2.
Как известно, при некоторых условиях действие ошибок, сопровождающих вычисления на каждом шаге, накапливается; в 2в4 таких случаях говорят, что вычислительный процесс «теряет устойчивость». Про этом обычно оказывается, что приближенное решение дифференциального уравнения даже качественно не отвечает точному решению (пример см. на рис. 7.3, где цифрами 1 и 2 обозначено соответственно точное и приближенное — при потере устойчивости — решения х(г) некоторого дифференциального уравнения).
Рис. 7.3 Рис. 7.2 Попытаемся выяснить [191 -условия устойчивости процесса интегрирования и их связь с параметрами цепи. Ограничимся для простоты случаем ли~пейной цепи, однако и он весьма поучителен. Кроме того, допустим, что цепь — а~втономная, т. е. внешние воздействия к ней не приложены; поэтому правая часть (7.9) не зависит от й Данное ограничение не является существенным, так как во многих случаях -условия устойчивости можно определить по автономной модели [191'- Поскольку цепь принята линейной с постоянными во времени параметрами, то в (7.9) с(х(си=1(х) = Ах, (7.12) где А — квадратная матрица, составленная из констант; она полностью характеризует линейную цепь.
Иными словами, (7.9) соответствует системе линейных дифференциальных уравнений: ах~/а(=аих~+ ... +а~ хв (7.13) с(х,/И=а,|х1+ ... +а х. Критерий устойчивости явного метода Эйлера. Рассмотрим сначала устойчивость явного метода Эйлера. Подставив (7.12) в основной явный алгоритм (7.10), получим х[п+Ц =-х[п]+МАх[п1:= (1+аГА)х[п1, (7,14) где 1 — единичная матрица. Далее обозначим Г= 1+ЫА. (7.! б) Эта матрица, как видно из (7.14), полностью определяет алгоритм интегрирования; он зависит от шага А( и свойств цепи, отобра- 265 жаемых матрицей А.
Итак, следующее значение вектора решения Х1и+Ц получается из предыдущего Х(п) таким образом: х[и+ Ц =Гх(п). (7.16) Напомним (см. $ 7.3), что ю'-е собственное число некоторой матрицы т' обозначается Х;(У). Как доказывается в теории матриц, Ц(Г) выражается через Х;(А) так: 7, (Г) =1+Лг), (А). (7.17) Теперынам понадобятся два факта из общей теории устойчивости. Первый относится к устойчивости цепей и, по существу, уже известен нам из $4.2, но будет приведен здесь в иной форме. Критерий устойчивости линейной цепи, характеризуемой матрнцей А, таков: действмтельные части всех собственныхх чисел матрицы А должны быть отрицательныы. Иными словами, если 7н (А) =о, +1 аь (7.18) то для всех 1 должно быть си<0.
(7.19) Второй факт относится не к исследуемой цепи, а к алгоритму (7.16). Чтобы процесс интегрирования по (7.16) был устойчивым, т. е. чтобы не было неограниченного накопления действия ошибок, должно выполняться условие: модули всех собственных чисел матрицы Г (не А1) должны быть менее единицы. Подставив (7.18) в (7.17), получим собственное число и его модуль — 1+Лаев- т+ А( 'сот (7.20), (7.21) Условие устойчивости интегрирования будет (1+~Ив ) '+ (Ж) та'<1. (7.22) Для устойчивой цепи (когда все ос<0) получаем из (7.22) Ы<2)о;~/(о';+а',) для всех й (7.23) Итак, интегрирование будет устойчивым, если шаг интегрирования не превосходит некоторого критического шага (М)вв.
Величина (А() р, очевидно, равна наименьшей из всех правых частей (7.23). Критический шаг определяется тем собственным числом матрицы А, которое приводит к наименьшему выражению ~сй)/ (ит;+гзт;). Чтобы сделать более ясным физический характер этого Результата и вытекающие из него следствия, предположим, что все собственные числа А чисто вещественны: Х;=о; для всех й Обозначим наибольшее ) о;) через о „, а наименьшее — через о ~ . Введем теперь постоянные времени цепи с помощью выражений (7.8) т;(А) =1/~о;~. (7.24) Минимальному по абсолютной величине собственному числу отвечает максимальная постоянная времени и наоборот. Возвращаясь к основному соотношению (7.23) при юг=О, получаем Л/<2~о-;)/вар=2/~в;) для всех 1 или (7.25) Ы<2/о.; (Л/)яр=2/в =2т»н, тгагп = 1/ахах.
(7.26) Итак, при явном методе Эйлера критический шаг, который нельзя превосходить нз-за необходимости обеспечения устойчивости процесса интегрирования, равен удвоенной минимальной постоя~иной времени. Расчет нелинейной цепи устойчивым явным методом Эйлера. Пусть сначала рассматривается переходный режим нелинейной цепи. Если все собственные числа вещественны, то длительность переходного процесса Тиар определяется максимальной постоянной времени т „х=1/о„,гх'. Можно считать, что Т,р по порядку равна не- сколы.им т, например Т„р — — Зт,. Найдем число шагов интегрирования, необходимое для окончания расчета переходного процесса: М,р —— Т,р/Ы; минимальное число шагов М,р„„„, отвечающее наибольшему шагу, т.
е. (Ы)ир, будет г бттах пер хво = Тоер/(Ы) тах = Таар/ (Ы) хр = Зтхюх/2тто1 = " . (7.27) тгаах Величина с х/т,„обычно называется разбросом постоянных времени. Поэтому мы можем сказать, что число шагов при расчете переходного режима по порядку равно разбросу постоянчгых времени. Соотношение (7.27) определяет число шагов из соображений, связанных с устойчивостью процесса интегрирования, когда шаг не может превышать (Ы)„р —— 2т;„. Но шаг определяется еще и ошибками интегрирования. Возвращаясь к рис. 7.2, замечаем, что для уменьшения ошибки интегрирования целесообразно выбирать шаг (Ы), „обращающий суммарную ошибку в минимум.
При этом число шагов М,р обычно получается большим из-за малости шага, С другой стороны, вводимые в ЭВМ данные сами имеют погрешность, как правило, ббльшую, чем та, которой отвечает шаг (Ы)опт. Эти и некоторые другие соображения позволяют задать уровень ошибки 4 (см. рис. 7.2) большим минимального. Это отвечает двум шагам: (Ы), и (Л/)т>(Ы1). Целесообразно выбрать конечно, шаг (Ы)т как больший. Таким образом, требования, связанные с допустимой ошибкой, приводят к шагу (Л/)м а соображения устойчивости — к шагу (Ы)р. Во многих случаях, особенно относящихся к высокочастотным радиоэлектро~ным цепям: * допускается нестрогость, так как понятие постоянной времеви строго определено лишь для линейной цепи.
В нервом приближении для цепей со слабой иелинейностью можно считать, что рассматриваются постоянные времени линеариаованвой части нелинейной цепи. 267 х[н+11=(1 — А!А) 'х[н1. Введя обозначение (7.31) Ф= (1 — ИА) (7.32) представим (7.31) в форме, аналогичной соотношению (7.16): х[н+11 =Фх[н). (7.33) (А!) ар« (АГ) а. (7.28) Поэтому не погрешность расчета, а устойчивость процесса интегрирования определяет величину шага, и число шагов составляет М,р по (7.27).
При большом разбросе постоянных времени число шагов н машинное время, необходимое для расчета переходного процесса на ЭВМ, могут стать недопустимо большими даже при высокопроизводительных современных ЭВМ. В высокочастотных устройствах, содержащих одновременно узкополосные фильтры и контуры и сравнительно широкополосные тракты (например, разделительные )7С-цепочки), нередко получаются т /т а =10« —:10».
Явные методы интегрирования (не только метод Эйлера) оказываются при этом неприменимыми. До сих пор рассматривался расчет переходного режима. Пусть теперь к нелинейной цепи приложено периодическое воздействие периода Та и требуется определить стационарный периодический режим цепи. По соображениям достаточной точности интегрирования можно выбрать (АГ),=аТа., коэффициент са, как показывает опыт расчетов, часто лежит в диапазоне 0,005 — 0,05. Минимальная же постоянная времени цепи т нн определяющая критический шаг, в высокочастотных цепях нередко оказывается т ш=(10-« —: вЂ: 10 'а) Та.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
