Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 57
Текст из файла (страница 57)
После того как действуя в соответствии с введенным правилом, ЭВМ приняла решение о том, что стационарное решение име- 27П ет место, интегрирование дифференциальных уравнений прекращается. Далее имеются две возможности: 1) прекратить вычисления и вывести на печать массивы чисел, отвечающие некоторым или всем компонентам вектора решения дифференциальных уравнений и вектора отклика у(1) на одном периоде Т; 2) некоторым предписанным заранее образом обработать эти массивы, например найти амплитуды и фазы гармоник решения в разложении Фурье, мощности различных составляющих, средние крутизны и т.
п. Правило, в соответствии с которым прекращается интегрирование, может быть названо также критерием стацнонарности. Чаще всего используются следующие критерии стационарности для х(1): Пх((п+1) Т) — х(пТ) П(бь (7.35) пг п1ах [ (х;(1) — х;((+Т) )'Ж(бь (7.36) (и — ну числа 61 и бд должны быть назначены заранее. В первом случае вычисления строятся так. На отрезке временной оси, равном периоду Т, в двух крайних точках вычисляются значения компонент вектора х(1).
Иначе говоря вычисляются л~ (пТ), хд(пТ), ..., хд(пТ) и х1 ((и+1) Т), ..., хд((п+1) Т) при и= =0„1, 2,...,й. Для каждого и (т. е. ~а каждом периоде) вычис.ляется норма вектора, равного разности х((в+1)Т) и х(пТ). Да.лее зта норма сравнивается с заданным порогом бь Если она меньше порога, интегрирование прекращается, если больше или .,равна ему, то интегрирование продолжается на следующем .отрезке длнны Т, т. е. и увеличивается ма единицу, и т.
д. При использовании критерия (7.36) решение о стационарности выносится на основании анализа значений х(1) не в двух точках, .разделенных интервалом длины Т, а при сопоставлении двух мас-сивов чисел, отвечающих решению на отрезке [(и — 1)Т, пТ) и [пТ, (и+1) Т). Это сопоставление связано с вычислением среднего квадрата разности между двумя частями решения для каждого й т. е. для каждого компонента вектора х(1). Затем выбирается наибольший из интегралов (среди всех значений (), и он сравнивается с порогом бь Вычисления, связанные с критерием (7.35), конечно, проще, но имеют тот недостаток, что сильнее подвержены влиянию сбоев в ЭВМ: сбой в расчете всего лишь одного значения какой-либо компоненты вектора х(1) может привести к грубой ошибке в оценке стационарностн. Выбор чисел 61 и бд связан с требованиями к точности вычислений и допустимому машинному времени, так как чем меньше б, и бм тем дольше будет идти счет.
Кроме того, при :выборе порогов следует учитывать точмость исходных данных цепи, вводимых в ЭВМ: если зта точность невелика, нет смь1сла делать 61 и бд очень малыми. Некоторые способы сокращения машинного времени при расчете неавтономных цепей. Как уже было отмечено, в радиозлектронных нелинейных цепях расчет стационарного режима через пере- .272 ходный может быть связан с очень большими затратами машннного времени. Поэтому полезно хотя бы коротко рассмотреть некоторые способы сокращения этих затрат.
Один из самых простых способов состоит во введении переменного шага интегрирования. Точнее говоря, переходный процесс. (информация о котором, как мы предполагаем, не представляет интереса) считается со сравнительно болыпим шагом, т. е. невысокой точаостью (что и обеспечивает экономию времени), а стационарный отрезок решения — с малым '. Малость шага интегрирования при расчете стационарного режима должна гарантировать требуемую точность. Однако для того чтобы этот прием не привел бы к грубым ошибкам, необходимо выполнить некоторые условия. В частности, следует обеспечить устойчивость процесса интегрирования при больших шагах.
Нужно позаботиться н о том„ чтобы большая ошибка при расчете переходного процесса не привела бы к отличному от искомого стационарному режиму. Последнее проще всего обеспечивается в случае конвергентности и диссипативности рассчитываемой цепи. Второй распространенный способ сокращения машинного времени основан иа рассмотрении условия периодичности искомого решения х (О) = х ( Т) (7.37) как некоторого операторного уравнения относительно вектора начальных условий х(0). Из (7.9) следует, что вектор решения и точке Г=Т, т.
е. х(Т), будет т х(Т) = )((х, т)Ж+х(0), (7.38) о прячем х(7) есть решение дифференциального уравнения (7.9). Следовательно, на правую часть (7.38) можно смотреть как на некоторый оператор, ставящий в соответствие каждому начальному значению х(0) некоторое значение х(Т). Попытаемся найти такое х(0), что указанный оператор будет переводить его снова в х(0); если теперь рассчитать решение х(7) на участке (О, Т) исходя из данного х(0), мы можем немедленно получить стационарное периодическое решение. Для решения (7.37) относительно х(0) можно воспользоваться, например, методом Ньютона.
Оказывается, что ньютоновские. итерации часто приводят к цели быстрее, чем обычное интегрирование через переходный процесс. Третий способ по своей идее близок к только что рассмотренному. Заметим сначала, что выражение в левых частях критериев стационарности (7.38) и (7.36) для периодического режима обращаются в нуль. Рассмотрим их соответственно при п=0 ни=) и учтем, что эти выражения являются функциями от началь- ' Чтобы отличать отрезки решения друг от друга, можно, например, вычвслять левые части критериев стацнонарноств (7.35) нлн (7.36). 273' ного значения х(0).
Зададимся х(0) и будем вычислять х(7) только на интервале [О, 2Т) каким-либо методом янтегрирования, а затем рассчитаем, например, левую часть (7.36). Если неравенство (7.36) ие выполнено, выберем новое х(0) и снова рассчитаем к(г) при (е:-[О, 2Т), после чего вновь проверим (7.36), и т. д. Периодическое решение считается найденным, когда (7.36) удовлетворено. Для выбора последующих векторов х(0) может быть использован какой-либо метод минимизации функции многих переменных, известный из курса вычислительной математики (ясно, что чем меньше левая часть (7.36), тем лучше). Заметим в заключение, что в двух последних методах расчета стационарного режима фактически обходятся без интегрирования на участке переходного режима.
7.6. ПРИМЕР МАШИННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОР( ЦЕПИ Прояллюсгрнруем сказанное выше ва примере машинного исследования нелинейной цепи — транзисторного умножятеля частоты' (рнс. 7.4а). Считаем контур в цепи коллектора пасгроегшым ва гармонику частоты входного свгяала е(Г).
Элементы Ее, Ез, Е„задают режим транзистора во постоякпому току: источник Ев н резвстар Аэ — в цепи базы, источник ń— в цепи коллектора. ~,(б= =.~„йл а Рнс. 7.4 Индуктивность Ьез предотвращает протекание токов высокой частоты в цепи базового смещеввя. Сев предотвращает прагеканае настоянного тока через источник сигнала ечю Перед тем как записать уравнения состояния транзисторного умножктеля, транзистор заменяют его моделью (эквивалентной схемой). Опуская цепи автапвя, т. е.
считая режим работы трапзвстора по постоянному току заданным, получаем схему рнс. 7.4б, в которой принята ключевая модель трапзнстора (обведена пунктиром): замыканке ключа соответствует открыванию эмнттераого перехода, размыканае — его закрыванию. Остальные параметры схемы характеризуют: С, — емкость перехода эмиттер — база, цепь )грСк — процесс рекомбинации в базе, ㄠ†генерат выходного тока, зависящий от входного воздействия, Е' — уровень, прн котором переключается ключ К (прн превышении Е' траюпсгор открывается).
Влиянием выходного напряжения па ток (з пренебрегаем. Это позволяет псключвть контур ЕС нз соотаошенай, описывающих процессы в схеме (уравнепнй состояния) н считать, что ап лишь обеспечивает выделение на выходе схемы нужной гармоники. Переходя к составлению уравне)шй состоявня, заметам, что в любой момент в схеме фигурирует лишь один реактивный элемент: прн разомкнутом ' Исследование проведено автором этой главы совместно с М. И. Аболвц и Е. П. Мальцевой по модели и уравнениям цепи В. Г. Лаврушенкова и И.
л. Попова. 274 (7.41) ключе — коцденглтор С„при замкнутом — комбинация конденсаторов С, и Сл., Поэтому вектор состояния содержит лишь один элемент, дифференциальиое- уравиеиие состояния при любом положении ключа оказывается первого»юрнд- ка и его формирование нетрудно осуществить вручвую (без помощи ЭВМ). Выберем в качестве переменной вектора состояния заряд дх дп (Е)' («7.30).
где д,=,4 гл+д о — сумма зарядов соответствующих конденсаторов. Используя эту переменную, уравнение состояния умножителя, как оиазы- вается, можно записать так: «/х/«11=«р«(х)»(-/»» з«пг»1+(Ез — Е')Я» ч«ри х~0 «(х/«У=«э»(х)«+/» э(п«зз+(Е» — Е«)Я» ' при х(0, (7.401 где «р«(х) и «(ч(х) — некоторые функции переменной состояния, определяемые. свойствами транзистора. Два последних слагаемых в уравнениях (7.40) можно. трактовать как токи воздействия, т. е. компоненту хь«»л(1) в (7.2). Тогда функ- ция 1 в (7.3) приобретает форму д«(х)+1 з«пЫ+(Е» — Е')Я, прн л)0, 1(х(1), х, (1), 1) = «р»(х)+/ .з(пюэ)-(Е» — Е')Я, при х(0. Теперь обратимся к (7.4). Ток 1„приблизительно пропорционален д и, что.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
