Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 54
Текст из файла (страница 54)
рядка. Ураваенне (7.3) характерно тем, что слева входит производная перваго порцциа вектора состояния, которая явно вычисляется' по функции 1. Формирование уравнений состояния требует специальных операций на ЭВМ. Однако требование записи уравнений в форые (7.3) — (7.4) не являХд ется обязательным; существуют ма(г шинные методы, обеспечивающие инг тегрирование уравнений, не разре- 1 Г « шенных относительно производных. Подобные уравнения получаются, например, при анализе того же генератора ма ТД (см. рис.
4.17) методом « узловых потенциалов. Выбирая в каРис. 7.1 честве базисного «заземленногоэ узла схемы нижний зажим источника Е н объединяя последовательно включенные иидуктивности и сопротивления, получим схему рис. 7 1, на которой узлы пронумерованы. Уравнения составляют для узлов схемы, ие связанных непосредственно с источником Е, т. е.
для узлов 2 и 8: /э= 1 — /д — /с О, /з=/д+/с — /ь=б. Подставляя сюда связи между токами н напряжениями на индуктнвности и емкости и учитывая (4.76), получаем систему двух нелинейных интегродифф ренцизльных уравнений генератора: Š— нз о (из — из) — Ф (нз — из) — С =о, г Л(,— нз) ( р Ф (из — из) + С г(г' Ь,) — — )изб.=О. система непосредственно интегрируется на ЭВМ и ее решения определяю потенциалы узлов 2 и 3, т.
е. функции из(г) н из(г). Выходное напряжение й'н после этого может быть также рассчитано. 7.3. РАЗЛИЧИЯ В МАШИННОМ ИССЛЕДОВАНИИ ОТДЕЛЬНЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ. АПРИОРНАЯ ИНФОРМАЦИЯ Характер и сложность машинного исследования и расчета нелинейной цепи определяются не только тем, что мы хотим рассчитать (например, переходный илн стагзионарный режим), но и особенностями самой цепи. Оказывается, что с этой точки зрения можно выделить некоторые важные классы нелинейных устройств.
Кратко рассмотрим их и укажем особенности их машинного исследования. Конвергснтные н неконвергентные цепи. Важнейший способ машинного расчета нелинейной цепи основывается на интегрировании дифференциальных уравнений, например, вида (7.3) одним из численных методов. В зависимости от начальных условий в. нелинейной цепи могут возникать различные стационарные режимы. Поэтому при различных параметрах процесса интегрирования на ЭВМ' н при введении в ЭВМ различных начальных значений он может «привести» к различным стационарным режимам, возможным в исследуемой цепи.
Цепи называются канверзенгными, если с течением времени все траектории на фазоврй плоскости, отображающие переходные режимы в цепи, стремятйя спиться в одну. В противном случае они считаются неконверуентиыми. Математическое определение конвергентной цепи таково. Рассмотрим две векторные функции времени х1(г) и хз(г), являющиеся двумя решениями уравнений цепи при разных начальных условиях х|(0) и хз(0). Определим норму разности этих решений (см. приложение 2) 11х~(г) — хз(()11. Цепь является кониергентной (по Л, В.
Данилову), если 1(ш 11 х1 (() — хз (() 11 = О, (7.7) г» какова бы ни была пара векторов начальных условий и какое бы воздействие не было приложено. ' Под параметрами процесса интегрирования понимшотся постоянные, от которых зависит данный алгоритм интегрирования; типичным таким параметром является шаг интегрирования. 26з Таким образом, если исследуемая цепь является конвергент~' ной, то прн любых параметрах процесса интегрирования рано ил ' поздно установится интересующий нас режима.
Дисснпативные и недиссипативные цепи. Если решения диффренциальиых уравнений, описывающие колебательный режим|в нелинейной цепи, оказываются в некотором смысле ограниченными, то это сильно упрощает машинный расчет. Сведения об этом желательно получить до того, как задача «поставлена» иа машкиу. Цепь называют диссипативной, если может быть выбрано такое число Ф, не зависящее от начальных условий, что предел, к которому при 1 — оа стремится норма решения уравнения (7.3), будет меньше 1т': 11ш)!х(() ~1(И.
При этом внешние воздействия т а должны быть ограниченными. Оказывается, что если к диссипативной цепи приложено периодическое воздействие, то в ней возможно установление хотя бы одного (а может быть, и более чем одного) периодического режима. Значит, зная заранее, что цепь диссипативна, мы можем уверенно рассчитывать на ЭВМ периодическое решение. Цепи, обладающие одновременно свойством конвергентностн и диссипативности, обладают важной особенностью: если к ним приложено периодическое воздействие частоты ге, то обязательно устанавливается единственный периодический режим частоты (е, устойчивый при любых начальных условиях.
Поэтому предварительное (перед началом работы на ЭВМ) установление диссипативности и конвергентности цепи сильно упрошает ее машинный расчет. Установлено, например, что любая нелинейная цепь, диссипативна и конвергентна, если 1) она содержит линейные резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и элементы взаимоиндукции; 2) в цепи включены источники напряжения и тока произвольной формы„но ограниченные по величине; 3) в качестве нелинейных элементов используются нелинейные резисторы с монотонными ВАХ Ф(х) (производная Ф'(х) имеет неизменный знак). Автономные и неавтономные цепи. Согласно определению гл. 4 автономные цепи характерны тем, что к ним не приложено внешнее воздействие; остальные цепи — неавтономные.
При расчете неавтономной цепи, когда к ней приложено периодическое воздействие известного периода, и к тому же заранее известно, что цепь диссипативна и конвергентна, частота единственного периодического режима цепи точно определена: она равна частоте воздействия. Поэтому машинный расчет периодических режимов неавтономных цепей при прочих равных условиях проше, чем автономных. Нелинейные цепи с малым и большим разбросом постоянных времени. Пусть нелинейная цепь описывается уравнениями (7.5) и (7.4) и нелььнейность невелика. Тогда многие особенности ее з Разумеется, некоторые условия иа процесс интегрирования все же накладываются, например, он должен быть усгсйчивым. инного расчета связаны с тем, близки ли друг к другу собстые числа (см, приложение 2) матрицы А или же они образуве группы «малых» и «больших» собственных чисел.
В пейных радиотехнических цепях, в частности, содержащих узолоспые контуры и фильтры, часто встречается последний слув таких цепях отношение модулей некоторых собственных чиоставляет 10« и более. место разброса собственных чисел 1«(А) часто говорят о разе постоянных времени з;(А). Последние определяются в соотвии с одним из соотношений: т;(А) =1/!Х;(А) ~, зч(А) =1/(йе)«(А) ~. (7.87' Степень разброса постоянных времени исследуемой цепи должна быть хотя бы ориентировочно оценена до обращения к ЭВМ, так кзк она определяет выбор параметров процесса интегрирования уравнений системы.
Информация, касающаяся упомянутых выше особенностей цепи, составляет часть так называемой априорной информаг4ии о цепи, которая должна быть собрана до начала собственно машинного расчета. 7.4. РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИР( ЦЕПИ Широкий круг вопросов, относящихся к расчету нелинейной цепи, связан с изучением динамики цепи, т. е. изменением во времени токов, зарядов, напряжений и т.
п. Для установления этих вопросов приходится интегрировать нелинейные дифференциальные уравнения цепи, рассмотренные в $ 7.2. Ознакомимся с некоторыми формами и характе)»истинами методов интегрирования, связанными с особенностями цепей. Поскольку априорная информация о свойствах исследуемой цепи играет важную роль как при выборе метода интегрирования, так и его параметров, этот выбор должен производиться инженером, решающим задачу расчета цепи, Методы интегрирования дифференциальных уравнений можно Разбить на явные н неявные.
Явные характерны тем, что значение решения на некотором шаге итеративного процесса явно выражается через значения решения на предыдущем шаге (или шагах) в форме некоторого разностного соотношения. Неявные же методы требуют для расчета «иового» значения интеграла (т. е. мнтеграла на «новом» шаге) решения некоторой системы недифференциальных уравнений. Происходит это потому, что соответствующее Разностное соотношение неявно определяет искомую величину. Поясним это на примере одного из самых простых методов интегрирования — метода Эйлера (только эвим методом мы и огра- 263 нячимся в дальнейшем).
Пусть интегрируется уравнение ния (7.3), которое запишем теперь Дхйц=1(х, 1). ) Поскольку внешнее воздействие х, (~) мзвестным образом сит от времени 1, то эта зависимость может быть учтена в ции, стоящей в правой части дифференциального уравнения гумент х, д(1) можно явно не указывать. Новая функция . вой части для простоты обозначена в (7.9) так же, как и в т. е. через й Из курса вычислительной математики известно, что р е векторного уравнения (7.9) задается как последовательность векторов х(0), х(Лг), х(2ог), ..., х(лМ), ..., где М вЂ” шаг интегриРовання. Сокращенно эта последовательность может быть обозначена как х[0], х[Ц,... „х[л],..., где прямые скобки указывают на дискретный характер переменной л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
