Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В результате снова приходим к неравенству (7.28); необходимое число шагов интегрирования за период Та оказывается Ма»ач=И(А!)ар=И2тан»=Та!2 10 а Та=0,5 10а. Обычно приходится рассчитывать многие периоды решения, т. е. расчет ведется на интервале порядка многих Та (см. ниже $ 7.5), поэтому в стационарном случае явные методы часто непригодны. Затруднения, возникающие при применении явных методов, когда разброс постоянных времени велик, объединяют термином «проблема постоянных времени», Устойчивость неявного метода Эйлера. Обратимся к алгоритму неявного метода Эйлера (7.11) н опять ограничимся случаем линейной цепи (7.12), (7.13).
Подставив (7.12) в (7.11)„ получим к[в+1)=х[п1+ЮАх[п+11, (7.29) т. е. уравнение относительно х[п+1]. Рассматриваемая цепь линейна, поэтому решается оно без труда: (! — МА) к[в+1!=х[н!'. (7.30) Умножая обе части (7.30) слева на матрицу, обратную 1 — ИА, получим выражение для решения на «новом» шаге через решение на предыдущем: Таким образом, матрица Ф полностью определяет алгоритм интегрирования уравнения нелинейной цепи неявным методом Эйлера; заметим, что теперь, чтобы найти Ф, требуется обратить некоторую матрицу на ЭВМ. Как показано в теории матриц, собственное число для Ф находится в силу соотношения (7.32) по формуле.
ь;(Ф =1/(1 — АВ;(А) ) 1сравните с (7.17) 11 олагая, как и ранее в (7.18), собственное число матрицы в обшем случае комплексным, найдем 1,;(Ф) =-1/[(1 — А/о;) — 1ййо;1; модуль этого числа 11;(Ф) =1/ Р (1 — А/о;)з+(И)зорь Если сама исследуемая цепь устойчива, т. е. все о;(О, то все. ~)„,(Ф) ~ 1/ (1+,А(~о,~)г+(А/)Я Я, -1 Отсюда .ледует, что условие устойчивости процесса интегрирования линейных уравнений неявным методом Эйлера выполняется всегда, т. е. при любом (!) шаге А/. Следовательно, при выборе шага можно руководствоваться только соображениями, связанными с погрешностью интегрирования (см. рис. 7.2).
Как мы видели выше, это означает, что шаг А/ может быть выбран гораздо большим, чем тот, который обусловливался требованиями устойчивости и который характерен для явных методов. О выборе метода интегрирования (резюме). При выборе метода интегргрования нелинейной цепи необходимо прежде всего оценить порядок разброса постоянных времени хотя бы в грубом линейном приближении. Если этот разброс велик (~1бз), безусловно должны применяться неявные методы.
В сложных или сильно. нелинейных цепях оценка постоянных времени затруднена; в этом случае целесообразно из осторожности также использовать неявные методы. Неявные методы позволяют работать со сравнительно большими шагами интегрирования А/, и это часто компенсирует необходимость разрешения уравнений типа (7.11) относительно х1л+11. Отметим, что при использовании неявных методов нет необходимости формировать уравнения нелинейной цепи в форме (7.3)— (7.4), а можно использовать непосредственно «неявные» уравнения, рассмотренные в % 7.2. 7.5. РАСЧЕТ НА ЭВМ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В НЕАВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Роль априорной информации.
Рассмотрим теперь некоторые особенности машинного расчета стационарных режимов в нелинейных цепях. Следуюшие обстоятельства осложняют расчет тания режимов: 1) возможное отсутствие стационарного режима (в част- 269 ности, периодического) при принятой идеализации цепи, например прн выбранной аппроксимации нелинейных элементов; в этом случае машвнный счет может продолжаться сколь угодно долго без :положительного результата; 2) сосуществование нескольких стационарных режимов; при этом расчет на ЭВМ может при~вести к любому из них, если не принять специальные меры; 3) отсутствие сведений о частоте колебаний, если система автоколебательная. Чаще всего машинный расчет стационарного режима производят «через переходный»; задают некоторые начальные условия и интегрируют дифференциальные уравнения цепи, получая решение .для нарастающих значений времени й При небольших г это решение отображает переходный процесс приближения к стационар.ному (если последний существует), и лишь начиная с некоторого момента процесс можно считать стационарным.
Если априорная информация о цепи содержит сведения о том, что цепь конвергентна, то при любых воздействиях начальных условий машинный расчет всегда приведет нас к одному и тому же ,решению. «Неудачный» выбор начальных условий может лишь увеличить необходимое для расчетов машинное время.
Когда мы знаем, что цепь диссипативна, то при любом (конечно, устойчивом) процессе машинного счета исключено появление неограниченно больших значений в массивах чисел, образующих решение, т. е. исключен останов из-за переполнения разрядной сетки ЭВМ. В случае периодического воздействия на цепь информация о .дисокпативности означает, что в конце счета будет достигнут действительно установившийся режим, так как хотя бы один такой периодический режим обязательно устанавливается в цепи.
Когда :же априорная информация о цепи, находящейся под периодическим воздействием, содержит указание одновременно и о коивергентностн, и о диссипативности цепи, т. е. возможности реализа.ции единственного устойчивого периодического режима, то можно быть уверенным, что, начав с любых начальных условий, мы придем при устойчивых вычислениях к одному и тому же искомому ре:шению. В случаях, когда периодических нли иных стационарных решений несколько, и расчет вновь идет через переходный процесс, чрезвычайно важно знать, при каких начальных условиях устанавливается тот или иной периодический режим. Например, если требуется рассчитать выходные колебания в делителе частоты, отличающиеся начальными фазами (см. 5 5.6), то в ЭВМ желательно вводить именно те начальные условия, которые приводят к колебанию с данной фазой.
Поэтому на стадии задания априораой информации нужно хотя бы приближенно разбить множество начальных условий на области, обеспечивающие наступление того или иного периодического режима. В заключение коснемся априорной оценки частоты автоколебаний в автономных системах, Точное значение этой частоты может быть получено лишь в результате самого машинного исследования (в частности, с учетом поправок за счет высших гармоник— см. 5 4Я). Приближенная же величина может быть подсчитана 276 заранее по собственным частотам контуров автогенератора.
Пря" расчете стационарных режимов также важна априорная оценка разброса постоянных времени, определяющая выбор метода интегрирования, о чем было сказано выше. Два подхода к машинному расчету стационарных режимов. Один подход нам уже известен — это расчет через переходный процесс.
Возможен и другой принцип расчета процессов в нелинейной цепи. Рассмотрим, например, расчет параметров автоколебаний в соответствии с методом медленно меняющихся амплитуд. Согласно (4.162) стационарный режим определяется решением уравнений: Фо=() 'ро=О.
(7Л4г Их можно решить на ЭВМ и найти параметры автоколебаний принципиально для сколь угодно сложных форм нелинейных характеристик„а не только для простых аппроксимаций. Сопоставим эти два подхода. При расчете через переходный режим основным вычислительным процессом является иптегрирова~ние, продолжающееся до окончания переходного режима. Если стационарный режим устанавливается в исследуемой цепи медленно, что характерно для цепей с высокодобротными контурами, то даже п)ти не очень малых шагах интегрирования машинный расчет займет много времени. С другой стороны, такой подход не требует никаких предположений о характере цепи; в частности, его можно использовать в случае сильно нелинейных цепей. Если же говорить о втором способе, то здесь основная 'задача вычисления состоит в решении системы нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений.
Длительного процесса интегрирования можно избежать. Заранее трудно сказать, какой из двух подходов приведет к меньшим вычислительным затратам; выбор должен делаться применительно к конкретной задаче. В последующей части этого параграфа будем иметь в виду только расчет через. переходный процесс. Критерии стационарности (правила астапова интегрирования). В ЭВМ должно быть введено правило, в соответствии с которым: машина должна припять решение об окончании йереходного режима и наступлении стационарного. Таких правил известно несколько, но все опи основываются на сопоставлении векторов решений х(Ц на следующих друг за другом отрезках оси времени: (О, Т|, "1Т, 2Т1,..., ~пТ, (и+1)Т~1,...
Здесь Т вЂ” период искомогс.- стационарпого периодического решения уравнений (7.3). Напомним, что в неавтономных цепях Т может быть равно периоду воздействия То; быть кратным нли субкратным То (при анализе делителя или ум~ножителя частоты); определяться свойствами самой цепи, если опа автоколебательная. В последнем случае на первых. стадиях проверки стационарности используется приближенная априорная оценка периода автоколебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
