Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 82
Текст из файла (страница 82)
9.2. Для объекта регулирования х = — ах + Ьи найти оптимальное управление вида (9.16) и (1) = — д(1) х (1), минимизирующее квадратичный функционал качества г 1 = ) (с,х'+ с,и') с(с. о (9. 17) Конечное состояние движения не задано. Репгенне. Уравнение Беллмена для рассматриваемой задачи имеет вид дд* . е дР— — = пцп [с„х' -1- с,и'+ — ( — ах + с(и)). (9.18) Приравнивая производную правой части уравнения (9.18) по и нулю, получим И (9.19) 2се дк Подставляя выражение (9.19) в уравнение (9.18), найдем дг + д ( их 2 д )+ (сгх +сз1 2 д ) ~ =О. (9.20) Будем искать решение в виде с'о (х, С) = р (1) с (х).
(9.21) Из соотношения (9.19) и условия, при котором управление и (1) имеет форму д (Ф) х (Ф), находим, что функция с (х) имеет вид хг. Подставляя го = = р (1) х' (1) в уравнение (9.20), получим — х'+2хр( — ах — —, 2хр) + ~с,х'+с,( — 2хр) ~ О. (9.22) Рис. 9.2. Структурном схема оптимальной система стабилизации лептвелоного аппарата по углу, крена Подставляя уравнения (9.14) в уравнение движения (9.1), заметим, что в первом случае движение системы аснмптотически устойчиво, а во втором— неустойчиво. Поэтому и'(е, е) = е+)ГЗ з, (9.15) а граничными условиями 1пп в'е(Ф, х) =1(шр(г)хе=О, в-вт вег откуда следует, что р(Т) = О. (9.24) Уравнение (9.23) — дифференциальное уравнение Рикатти.
Для его решения используем метод разделения переменных (св/Ьв) ар (9.25) Рв + (2сва)ьв) Р— свсв)ьв Если р, и р, — корни миогочлена рв + (2сваlьв) р — с,св)йв = О, го общее решение для уравнения (9.25) имеет вид (9.26) РЮ вЂ” Рв й ~Ьв ( )11 (9.27) р (1) Рва екР Ньтсв1 (Р— Рв) с1 + Рв (д 28) ) — Ь екр асс) (рв — рв) в) Используя граничное условие р (Т) = О, находим р, екр ((Ьв)св) (рв — рв) Т1' (9.29) Таким образом с помощью соотношения Р' (х, 1) = р (1) х' и выраже. ния (9.19) получим и (1) = — — — = — — в — х. ь д,)' ьр О) (9.30) 2с дв с Структурная схема оптимальной системы, соответствующей выбранному закону управления, показана на рис. 9.3.
9.3. Для объекта регулирования, заданного передаточной функцией ((7 (в) = — = —, 'в' (в) в У (в) (в+ )) в' (9.31) выделить область управляемости и синтезировать оптимальный по быстродействию закон при следующих ограничениях на функцию управления: ~ и (г) ( ~ 1. Решение. По передаточной функции объекта составим дифференциальные уравнения, описывающие его динамику: ц(()+ у(1) =и(1) (9.32) Рас.
У.д. Струкмурлая схема сасомми оляшмаявного улравявлаа одескеом 1-во лорядка 608 Далее находим, что р (1) удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению — — 2ар — — +с,=О др Ь рв Ф св (9.23) илн Ут Ув (г)т ув = — ув (1) + и((), (9.33) где у -у(0' ув-уИ). Заменой переменных х (1)=у (1)+у (1)-иИ)' х,(1) у, ٠— и (1) исходную систему уравнений приводим к виду х, О; х, — хв(8) — и (1). Согласно необходимым условиям принципа максимума для определения оптимального управления составим в первую очередь гамильтониан Н(х, и, тр) = — 1 — трв (1) х, (1) — трв (1) и(1).
(9.36) Максимизируя эту функцию по и, найдем иа (1) = — з(кп трт (е). (9.37) Функция трт (1) согласно тем же условиям удовлетворяет дифференциальному уравнению дкт дН(к, и, тр) (9.38) (9.35) Неувре Нлнтла 6 Рит, 9.т. Фоловеи траектории: а екетремелв; б — аатвмельвме треектарвв; в аблеетв уарввлеввв 609 Подставляя решение этого уравнения в функцито управления, получим ие(1) =и,з(11п е 'р„ (9.39) где рв — постоянная интегрирования.
Заметим, что и* (1) постоянная по 1 функция иа не меняет знака на всем интервале управления. Пусть и' = Ь = — 1; в этом случае решение системы уравнений (9.35) имеет вид хн(1) = с,; хв(1) = све ' — Д (1 — е т). ) (9АО) Семейство экстремальных траекторий, соответствующих этим уравнениям, показано на рис. 9.4, а. Выделим на фазовом пространстве переменных х, и х, множество точек, для которых у у О. Согласно уравнениям связи (9.34) в точках этой области х, = х,. Следовательно, синтезируемое управление постоянно и Рис.
у.у. Структурная схема система онвимаяеного унраетния обиекнюм, имеющим нередаточную 4)унк 5 цию )у (е) =— (е+ 1) е должно обеспечивать попадания фазовых траекторий на прямую хе = х,. Как видно нз рнс. 9.4, б, не все точки фазового пространства (х„х) удовлетворяют этому условию. Точки, для которых этн условия выполняются, входят в область управляемости. Для рассматриваемой задачи областью управляемости является множество вида 6 6,() 6,() 6в (9.41) где 6, = 1(х1, хе): ) хе! ( Ц; 6, ((х„х,):хе~1, хе~ахи); 6, = «(х, х,): х, ~ — 1, х - хе).
Взаимное расположение управляемых н неуправляемых областей системы показано на рис. 9.4, в. Для управляемых областей оптнмальный по быстродействню закон имеет вид (9.42) и (х,х,) = з1яп (х, — х,). т) Е (И (()) 1П1П с ) И (т) С(т. (9.45) ии) Для определения и' (1) воспользуемся необходимыми условиями принципа максимума. Составим гамнльтониан, который для рассматриваемой задачи имеет внд Н (х, и, ф) — ие+ фххе+ феи. (9.45) Максимизнруя гамильтоннан по и, найдем и* (() = — фе (().
(9,47) ФУнкции еу, (т) и фе (т) длЯ т ) 1 должны УдовлетвоРЯть диффеРенцнальным уравнениям ф1(т)= — ' ' =О; дН(х, и, ф) дхе $е(т) = — ' ' = — 1Р,(ч). дН (х, и, ф дхе (9А3) 510 После подстановки выражений (9.34) в формулу (9.42) оптимальный закон управления объектом относительно выяодных координат примет внд и(у, у) — з!йпу. (9.43) Структурная схема оптимальной системы показана на р1(с. 9.5. 9.4. Синтезировать оптимальный по минимуму энергии закон управле. ння объектом регулирования, описываемым уравнениями вида х, (() х ((); (9А4) хе(1) * и(().
Решение. Если ( — произвольный момент времени из интервала (О, Т(), то оптимальное управление в этот момент времрнн должно удовлетворять следующему условию: Решая эту систему уравнений, получим ф (т) =ф (1)' ф.(т) = (1 — т) ф,(1)+ фг(1). (9.49) Подставляя фг (т) в функцию управления (9.47) и интегрируя затем систему (9.44) на интервале (1, Т7), с начальными условиями х, (г), х, (г), найдем хг (т) = хг (1) + (т 1) хг (1) + фг (1) з + фг(1) а + +( -1) ~ф,(1) ","+ф.(1)(1 — )~; х,(т)=х, (1)+ф,(1) — +фя(1) (1 — т).
(9.50) Используя граничные условия х, (Тг) = 0; х, (Тг) = О, получим (9.51) Решая последнюю систему уравнений относительно фг (1), найдем Ф,(1) =, х,(1)+ ~ 1 «г(1). 6 4 (9.52) Подставляя выражение (9.52) в соотношение (9.47), получим закон управления в виде а 4 и (х,,х,) = — — х,— х,.
(тг — г) (тг — О (9.53) Коэффициенты закона управления нестационарны, так как при 1-» Тг они неограниченно возрастают. Сле7(овательно, в таком виде оптимальный закон реализовать нельзя. Его можнп осуществить лишь в виде квазиоптимального закона (рис. 9.6). 9.5. Синтезировать оптимальную по быстродействию систему управления полетом космического летательного аппарата, имеющую следующие параметры: й = 10 и/с', А,„= О,1 сlм; й, = 0,1 м ', 1п,) = 0,6; и„, = = сопз(, "и„= сопз1.
Блок-схема контура управления скоростью и дальностью полета летательного аппарата показана на рис. 9.7. Рис. 9.7. Структурная схема системы уяраеления колетом летательного аяяарата Рис. У.о. Структурная схема оятимальной сисяеемы регулиро. линия 511 Решение. Составим дифференциальные уравнения, описывающие динамику системы, приведенной на рис.
9.7: )= о ((); Ь= йп, ((); Ли, = им — й,( (г); Ли, и„— ййо (г); и„= ф(бип Аи,). (9.54) Пусть координаты переменных состояния й~ х,= — Либ х,= — — Ьи;, йвк (9.55) тогда система уравнений (9.54) примет вид х,=х,+ — и; й~ х, („' '®) =х,(г')+б; дфй х.,' = и (г)' дН (х, и, ф) дН(к,и,Ф) О.
дх~ дН (х, и, ф) фи= фм дх, (9.$7) Решая два последних уравнения системы, найдем Ф1 ( ) п1 $2 (~) п1~ + пм а максимизируя гамильтониан по и, получим и» (г) = и „з1ип ( — п,г + и,). (9.58) Отсюда видно, что оптимальное управление кусочно-постоянно и меняет знак не более одного раза. Пусть ии = Л = — и,„. Интегрируя первые два уравнения системы (9.57), предварительно поделив первое уравнение на второе, получим 512 Обозначим — и„= б и й,йп, = и ((). В этом случае задача оптий~ мального синтеза сводится к определению закона управления и = и (х» хз), который переводит вектор состояния (хм х,) системы х, х,(г)+б; (9.56) х, и(г) в начало координат за минимальное время. Для решения задачи воспользуемся необходимыми условиями принципа максимума, согласно которому оптимальные управления находят с помощью максимизации гамильтониана Н (х, ф, и) = — 1 + ф, (() х, (г) + ф, (г) б + ф, (г) и (1).
При этом экстремальные траектории должны являться решениями следующей системы уравнений: Хд~ 2а (Ха+6) +Са, 1 (9.59) Аналогично, для у найдем т = ((хд, хД: х = — — (хо+ 6)е + —, хе ~ 0~. (9.61) 1 е Ье 2итед о 2итед ' Объединение у' [) у определяет в пространстве переменных (х,, х,) линию переключения '9 ((х„х,): х, *= — [ — [(х, + 6)' — Ь')). (9.62) которая разделяет все фазовое пространство на две области: Г' е управлением+и „н Г с управлением — и, Расположение областей Г' и Г относительно линии переключения у показано на 'рис. 9.9, откуда видно, что множества Г+ и Г определяются следующими соотношениями: Г+ ((х„хе): хд ~ — — ~1 ~ Нхе+ 6)' — Ьф (9.63) Г =((хд,хе):хд>- ~ [(х,+6)' — Ьаф 2иеи, [ко [ (9.64) Учитывая выражения (9.60), '(9.61), (9.63) и (9.64), оптимальный по быстродействию алгоритм управления можно записать в виде +и х~т'[)Гд; — и х~у ЦГ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
