В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Таким образом, функция  x, t  описывает распределение температуры в стержне от мгновенного, точечного источника (рис. 5).u(x,t)t1t2t3oxoxРис. 5§ 9. Метод сеток решения задачи ДирихлеДля численного решения уравнений в частных производных необходимо уметь заменять частные производные приближёнными разностнымиуравнениями.24Рассмотрим конечно-разностную аппроксимацию лапласиана:u  2u  2u.x 2 y 2Пусть функция u (x*, y*) имеет достаточное число непрерывных частныхпроизводных в некоторой окрестности точки (x*, y*). Тогда:u  x *  h, y *  2a  x*, y *  u  x * h, y * 2ux*, y *  0  h2 2 2xhиu  x*, y *  h   2a  x*, y *  u  x*, y * h  2ux*, y *  0  h2  .2 2yhСкладывая эти формулы, получаем:u  x * y *  2u  2ux 2 x 21 2 u  x *  h, y *  u  x * h, y *  u  x*, y *  h   u  x*, y * h   4u  x * y *  0  h 2 .h(1)Таким образом, для подсчёта лапласиана ∆u необходимо знать значенияфункции u (x, y) в пяти точках (x* ± h, y*), (x*, y* ± h), (x*, y*).На плоскости Оху эти точки расположены следующим образом (рис.

6):hh-1(x*,y*)hh-1-4-1-1Рис. 6Рис. 7Поэтому формулу (1) часто приводят в виде схемы (рис. 7). Величина вузле есть (с точностью до множителя 1/h2) коэффициент, стоящий перед значением u(x, y) в данном узле. Формула (1) даёт наиболее часто встречающуюся,но не единственно возможную аппроксимацию лапласиана.25Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона:u  f ,u r   ,где область G – прямоугольник x0  x  x0  a, y0  y  y0  b .Пусть размеры прямоугольника таковы, что он допускает разбиение насетку одинаковых квадратов со стороной h, причём вдоль основания укладывается N квадратов, а вдоль высоты – M. Отсюда следует, что a  Nh , b  Mh .Прямые разбиения перенумеруем так, как указано на рис.

8, точки их пересечения называются узлами сетки. Для краткости будем обозначать значениеФ  ih, jh  произвольной функции Ф  x, y  в узле сетки  ih, jh  через Фij , а самузел –  i, j  .yMО12oNxРис. 8Метод сеток краевой задачи (не обязательно задачи Дирихле) состоит вследующем: неизвестная функция u  x, y  представляется своими значениямиuij в дискретном множестве узлов сетки; дифференциальное выражение, крае-вые условия и правые части аппроксимируются конечными разностями. Затемрешается полученная система сеточных уравнений.Разностная схема (то есть совокупность способа разностной аппроксимации и метода решения системы сеточных уравнений) называется сходящейся,если при h  0 решение системы сеточных уравнений uij  стремится к точному решению U ij  краевой задачи.Разностная схема, рассматриваемая здесь, сходящаяся, однако доказательство сходимости выходит за рамки настоящего пособия.26Используя разностную схему (рис.

7) для ∆u, получаем следующую систему сеточных уравнений для задачи Дирихле:1 h 2  ui 1, j  ui 1, j  uij 1  uij 1  4uij   fijuij r  ij(2)(3)Уравнение (2) имеет смысл лишь для внутренних узлов сетки, то есть для1 ≤ i ≤ N - 1, 1 ≤ j ≤ M - 1. Напротив, уравнение (3) выполняется только для точек, лежащих на границе r (у них i  0 или i  N , либо j  0 или j  M ); такиеточки называются контурными узлами.В конечном счёте мы получаем систему из  M  1 M  1  N  1 N  1уравнений снеизвестными.

В нашем случае, когда рассматривается задачаДирихле, последние 2  M  N  уравнения (3) уже решены; в случае другихкраевых условий это не так.Систему (2), (3) можно решать различными способами. Изложим одиниз самых простых – метод последовательных приближений. Из формулы (2)выразим uij :1ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  h 2 fi , j .4Теперь можно организовать простой итерационный процесс:1uik, j 1   uik1, j  uik1, j  uik, j 1  uik, j 1  h 2 fi , j 41 i  N ,1 j  M ,uij u0,k j  0, j ,uNk , j  N , j ,uik,0  i ,0 ,uik,M  i ,M(4)(5)Здесь верхний индекс означает номер приближения.

Данные уравненияпредставляют собой уравнения метода простой итерации для системы (2), (3).Метод последовательных приближений аналогичен процессу установления тепла, описываемому уравнениемu(6) u  f .tРешение уравнения (6) с краевыми условиями Дирихле и произвольныминачальными данными при t   сводится к решению стационарной задачи.Можно проверить, что система уравнений (4) является разностной системой длядифференциального уравнения (6), если отрезки разбиения по x и y равны h, аотрезок разбиения по времени t равен h2 / 4 .27Итерационный процесс (2), (3) сходится независимо от начального приближения uij .

Однако, чтобы ускорить сходимость, в качестве начального приближения можно брать сеточную функцию, которая «не слишком уклоняется»от точного решения. Для уравнения u  f таковой является, например, линейная интерполяция краевых условий, задающаяся формулой:1ijui0, j  0, j   N , j  0, j   i ,0  i ,1  i ,0  .2NMОценка погрешности разностной схемы производится с помощью такназываемого правила Рунге.Можно доказать, что разность  ij  h  между значением решения системы (2), (3) uij  h  на сетке с шагом h и значением в этом же узле точного решения uij удовлетворяет асимптотической формуле: i , j  h   ui , j  h   ui , j  ci , j  h2  di , j  h4  ci , j  h2  o  (h4 ) .Тогда,hhui , j    ui , j   i , j    0,25  ci , j  h2  o  (h 4 ).22Отсюда,hui , j  h   ui , j    0,75h2  o  (h4 )  0,75 i , j  h   o  (h 4 ).2Для малых h это даёт оценку погрешностиu h  Практически вычисления ведут, каждый раз уменьшая h вдвое, до совпадения (с машинной точностью) u  h  и u  2h  .  h   u  h   u    .32§ 10.

Решение плоской задачи теории упругости в конечных разностяхДля решения плоской задачи теории упругости при контуре прямоугольной области используют бигармоническое уравнение: 4 4 4 2 2 2  4  0.x 4x yy(1)Требуется найти выражения для напряжений σx, σy, τxy решаемой задачи, пользуясь следующими формулами для напряжений:28 2 2 2 x  2 ;  y  2 ;  xy  ,yxxy(2)где φ – бигармоническая функция (функция напряжений), которая должна удовлетворять условиям на контуре прямоугольной области.Отыскание функции   x, y  в (1) возможно различными методами: решение простой задачи в полиномах, решение плоской задачи в тригонометрических рядах, решение плоской задачи при помощи конечных разностей.Точное решение бигармонического уравнения (1) плоской задачи во многих случаях оказывается очень сложным.

Для его решения можно применитьприближённый метод конечных разностей. Этот метод позволяет заменитьдифференциальное уравнение системой линейных алгебраических уравнений.Установим зависимости между производными функциями в произвольной точке и значениями функции в этой и в соседних точках. На рис. 9 изображена кривая   x  и показаны пять точек, абсциссы которых отличаются намалую величину ∆x.

По определению производная функции   x  в точке Oравна '0  lim1  12xφ(x)φ1φ0.φ2φ1φ2h∆x-2-1012xxoРис. 9Если интервал между двумя точками h  x мал, то производную в точке О приближенно можно представить так:2911  1  .2hАналогично можно представить производную в точке 1:1 '1  2  0 2hи в точке -1 '0  '1 (а)10  2  .2hВторую производную в точке О можно получить, используя дваждыпредставление первой производной: 1 ''0   '0   '1   '1  2h1 1112002 4h 2 2  20  1  .2h  2h2hУменьшая интервал в два раза, можно получить более точное значениевторой производной в точке О:1(б) ''0  2 1  20  1 .hДалее вычисляем третью производную в точке О: 1 '''0   ''0  1  1 h1 11(в)  2 2  21  0   2 0  21  1   h hh1 2 2  21  21  2  ,hа затем и четвертую: 10   ''0  2 1  20  1 h1 121 2  2 2  21  0   2 1  20  1   2 o  21  2   (г)h hhh1 4 2  41  60  41  2  .hВ случае плоской задачи функция φ будет функцией двух координат xи y, поэтому появится необходимость выражать через конечные разностичастные производные.

Для этого исследуемую плоскую область (рис. 2)разбивают сеткой на ячейки с размерами ∆x и ∆y. Для упрощения расчётовсетку выбирают ∆x = ∆y = h. В дальнейшем будут рассматриваться только30сетки с квадратными ячейками. Частные производные от функции φ (x,y) вточке О могут быть выражены через значения функции в тринадцати точках, пронумерованных на рисунке.yавс79kℓm2630110412511∆x=hРис. 10Первые и вторые производные в точке по одной из координат легко составить по аналогии с формулами (а) и (б):1    1  2  ,  x 0 2h  1   2   4  ,  y 0 2h(д)  2 12, 21o32 x 0 2h(е)  2 1 2   2 2  2o  4  . y o 2hВторую смешанную производную в точке О найдём, применив дваждыформулы (д):31  2    1          xy 0 y  x 0 2h  x 2  x  4 1 11(ж)12  10  682h  2h2h1 2 6  8  10  12  .4hЧетвёртые частные производные по одной из координат в точке О составим согласно формуле:n,где n – любое целое число; ℓ – длина пластинки в направлении оси x.  4 1 4   4 5  41  6o  43  9  ,  x 0 h(з)  4 1 4   4 7  42  6o  44  11  ,  y 0 hа четвёртую смешанную производную найдем, применяя дважды формулу (е):  4   2    2   2   2  1   2  2 2   2  2   2  2   2  2    2    x y 0 y  x  h  x 2 x 0  x 4 1 121  22  8   2 1  2o  3   2 12  24  10   (к)2  2  oh hhh1 4  4o  2 1  2  3  4   6  8  10  12   .hСвязь между функциями в тринадцати рассматриваемых точках установлена с помощью бигармонического уравнения плоской задачи (1).

Характеристики

Список файлов книги