В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Согласно равенству (5)смещение точек струны u  x, t  складывается из двух слагаемых:u1    x  at (9)u2    x  at  .(10)иРассмотрим сначала частный случай, когда   0 , т. е. когда смещениеструны определяется формулой (9). Предположим, что независимые переменные изменяются так, что разность x  at остаётся постоянной, т. е. чтоx  at  C .dxВ таком случае dx  adt  0 , или a.dtОтсюда следует, что если точка x движется с постоянной скоростью a вположительном направлении, то смещение u1 струны в этой точке во всё времядвижения будет равно   c  , оставаясь, таким образом, постоянным (рис.

2).Это движение смещения   c  по струне называется прямой бегущей волной.Она характеризуется частным решением u1    x  at  волнового уравнения (1).Аналогично частному решению u1    x  at  будет соответствоватьдвижение смещения   c  , но совершающееся в обратном направлении (рис. 3).Здесь мы имеем дело с обратной бегущей волной. Постоянное число a является скоростью распространения волн по струне.ααРис.

2Рис. 39В общем случае, выражаемом формулой (5), действительное смещениеструны получается путём суперпозиции (наложения) прямой и обратной бегущих волн в каждый данный момент времени t.§ 4. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струныМетод Фурье или метод разделения переменных является одним изнаиболее распространённых методов решения уравнений с частными производными. С помощью этого метода рассмотрим решение задачи о колебанияхструны, закреплённой на концах. Эта задача сводится к решению уравнения2 2u2  uat 2x 2(1)u x 0  u x   0(2)при граничных условияхи начальных условияхu t 0  f  x  ,u F  xt t 00  x   .(3)Будем искать частные решения уравнения (1), не равные тождественнонулю, в виде произведенияu  x, t   X  x T  t  ,(4)удовлетворяющие граничным условиям (2).Подставляя (4) в уравнение (1), получимT   t  X  x   a 2T  t  X   x илиT   t  X   x .a 2T  t  X  x (5)Последнее равенство, левая часть которого зависит только от t, а правая –только от x, возможно лишь в том случае, если обе части его не зависят ни от x,ни от t, т.

е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через -λ. Тогда из равенства (5) получим два обыкновенных дифференцированных уравнения:T   t   a 2T  t   0,(6)X   x    X  x   0 .10(7)Чтобы получить нетривиальные, т. е. не равные тождественно нулю, решения вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо найтинетривиальные решения уравнения (7), удовлетворяющие граничным условиям(8)X  0   0, X    0 .Таким образом, приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (7),удовлетворяющие граничным условиям (8).

Эту задачу называют задачейШтурма-Лиувилля.Т. е. значения параметра λ, при которых задача (7) - (8) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами эти решения –собственными функциями.Найдём теперь собственные значения и собственные функции задачи (7) - (8).Рассмотрим отдельно три случая, когда   0 ,   0 и   0 .1.

При   0 общее решение уравнения (7) имеет вид:X  x   c1e x c2e  x.Используя граничные условия (8), получимc1  c2  0 c1e  c2e  0.(9)Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то c1  c2  0 . Следовательно, X  x   0 .2. При   0 общее решение уравнения (7) имеет вид:X  x   c1  c2 x .Граничные условия (8) даютc1  c2o  0c1  c2  0Отсюда c1  c2  0 и, следовательно, X  x   0 .3. При   0 общее решение уравнения (7) имеет вид:X  x   c1 cos  x  c2 sin  x .Используя граничные условия получимс1 1  с2  o  0,c1 cos   c2 sin   0 .Из первого уравнения следует c1  0 , а из второго – c2 sin   0 ; мыдолжны считать c2  0 , так как в противном случае X  x   0 . Поэтому,sin    0, т.е.где k – любое целое число.11k,Следовательно, нетривиальные решения задачи (7) - (8) возможны лишьпри значениях k k     k  1, 2, 3,....Этим собственным значениям соответствуют собственные функцииk xX k  x   sin.2При   k общее решение уравнения (6) имеет видTk  t   ak cosk at bk sink at,где ak и bk – произвольные постоянные.Таким образом, функцииk atk at  k xuk  x, t   X k  x Tk  t    ak cos bk sin sinудовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых ak и bk.В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая конечная суммарешений будет также решением.

То же справедливо и для ряда:k atk at  k xu  x, t     ak cos bk sin,(10) sink 1 если он сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и t.Определим коэффициенты ряда ak и bk так, чтобы удовлетворялись начальныеусловия (3).Продифференцируем ряд (10) по t:u  k a k atk at  k x bk cos.(11) ak sin sint k 1Полагая в (10) и (11) t  0 , получим, в силу начальных условий (3),k xk ak xf  x    ak sin, F  x  bk sin.k 1(12)k 1Формулы (12) представляют собой разложение заданных функций f  x и F  x  в ряд Фурье по синусам в интервале (o, ℓ).Коэффициенты этих разложений вычисляются по известным формулам:ak 2 f  x  sink xdx, bk o2F  x  sink a k xdx .(13)oТаким образом, решение задачи (1) - (3) даётся рядом (10), коэффициентыкоторого ak и bk определяются по формулам (13).12Решение (10) можно записать в следующем виде:k x  k atu  x, t    Ak sinsin  k  ,k 1где ak  Ak sin k , bk  Ak cosk .(14)Каждый член ряда (14) представляет собой так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движеk ak xние с одинаковой фазой φk, с амплитудой Ak sinи частотой  л .При таком колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты k ; частота основного (самого низкого) тона выражается формулой1 a.Остальные тона, соответствующие частотам, кратным 1 , называютсягармониками.

Решение (14) складывается из отдельных гармоник; амплитудаих, а потому и влияние их на интенсивность звука обыкновенно быстро убывает при увеличении номера гармоники, и всё их действие сводится к созданиютембра звука, издаваемого струной.§ 5. Вынужденные колебания струны, закреплённой на концахРассмотрим вынужденные колебания однородной струны, закреплённойна концах, под действием внешней силы p  x, t  , рассчитанной на единицудлины.

Эта задача сводится к решению уравнения2 2u2  ua q  x, t t 2x 2(1)u x 0  u x   0(2)при граничных условияхи начальных условияхu F  x .t t 0u t 0  f  x  ,(3)Будем искать решение этой задачи в виде суммы:u    ,где  – есть решение неоднородного уравнения2 22  a q  x, t  ,t 2x 213(4)удовлетворяющее граничным условиям x0  0,  x  0(5)и начальным условиямt t 0  0, 0,(6)t 0а ω – есть решение однородного уравнения2 22  a,е2x 2удовлетворяющее граничным условиям x0  0,  x  0и начальным условиям F  x .t t 0 t 0  f  x  ,Решение  представляет вынужденные колебания струны, то есть такиеколебания, которые совершаются под действием внешней возмущающей силы,когда начальные возмущения отсутствуют.Решение  представляет свободные колебания струны, то есть такие колебания, которые происходят только вследствие начального возмущения.Методы нахождения свободных колебаний были рассмотрены выше, такчто здесь остановимся на нахождении вынужденных колебаний  .

Как и в случае свободных колебаний, будем искать решение в виде рядаk x  x, t   Tk  t  sin,(7)k 1так что граничные условия (5) удовлетворяются сами собою.Определим теперь функции Tk  t  так, чтобы ряд (7) удовлетворял уравнению (4) и начальным условиям (6).Подставляя ряд (7) в уравнение (4) получим:k x Tk t   k2Tk t  sin  q  x, t  ,(8)k 1где положеноk k.Разложим функцию q(x,t) в интервале (o,ℓ) в ряд Фурье по синусам:k xq  x, t    qk  t  sin.k 114(9)Сравнивая разложения (8) и (9) для одной и той же функции q(x,t), получим дифференциальные уравнения:2qk  t   q  , t  sinkd .(10)oTk t   k2Tk  t   qk  t  k  1, 2, 3,...(11)определяющие функции Tk  t  .Чтобы решение  , определяемое рядом (7), удовлетворяло и начальнымусловиям (6), достаточно подчинить функции Tk  t  условиям:T 'k  0   0Tk  0   0 , k  1, 2, 3... .(12)Решение задачи (11), (12) нетрудно получить с помощью преобразованияЛапласа.ЕслиT k  p    e Tk  t  dtptoи q k  p    e qk  t  dt ,ptoто для определения изображения Tk  p  имеем соотношениеp 2 T k  p   k2 T k  p   q k  p  ,откудаT k  p qk  p .p 2  k2Применяя теорему о свёртке, находим оригиналTk  t  1kt q   sin  t    d .kkoПодставим вместо qk   его выражение (10):Tk  t  2kk d  q  ,  sin  t    sin dtko.(13)oТаким образом, решение задачи (1) - (3) выражается в виде ряда:k atk at  k xu  x, t    Tk  t   ak cos bk sin, sink 1где коэффициенты Tk  t  определяются по формулам (13), а15(14)ak 2 f  x  sink xdx ,bk o2F  x  sink a k xdx .o§6.

Характеристики

Список файлов книги